辽宁省大连瓦房店市高级中学2018-2019高二下学期期中考试数学(理)试卷

瓦房店市高级中学2018-2019学年度下学期高二期中考试 数学理科试题
一．
单选题（共12小题，每小题5分）
1.i 是虚数单位，下列复数是纯虚数的是（ ） A.2i B.3i C.()i i +1 D.()i i -1
2.正弦函数是奇函数，()()1sin 2+=x x f 是正弦函数，因此()()1sin 2+=x x f 是奇函数，以上推理（ ）
A.结论正确
B.大前提不正确
C.小前提不正确
D.全不正确
3.i
i z +=310，则z 为（ ）
A.i 31+-
B.i 31--
C.i 31+
D.i 31-
4.已知函数()x f y =的图象在点()()1,1f 处的切线方程为012=+-y x ，则
()()121f f '+的值是（ ）
A.21
B.1
C.2
3
D.2 5.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a,b,c 中恰有一个是偶数”正确的反设为（ ）
A. a,b,c 中至少有两个偶数
B. a,b,c 中至少有两个偶数或都是奇数
C. a,b,c 都是奇数
D. a,b,c 都是偶数
6.将3张不同的电影票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同的分法种数为（ ）
A.2160
B.720
C.240
D.120
7. 若函数()x kx x f ln -=在区间()+∞,1单调递增，则k 的取值范围是（ ） A.(]2,-∞- B.(]1,-∞- C.[)+∞,2 D.[)+∞,1
8.用数学归纳法证明()*--∈+=++++N n n n n 121222321 时，假设k n =时命题成立，则当1+=k n 时，左端增加的项数是（ ） A.1项 B.k-1项 C.k 项 D.k 2项
9.已知函数()223a bx ax x x f +++=在1=x 处取得极值为10，则=a （ ） A.4或-3 B.4或-11 C.4 D.-3
10.某教育有限公司计划利用周五下午14:15-15:00,15:15-16:00,16:15-17:00三个时间段举办语文，数学，英语，物理4科的专题讲座，每科一个时间段，每个时间段至少有一科，且语文，数学不安排在同一时间段，则不同的安排方法有（ ） A.6种 B.24种 C.30种 D.36种
11. 函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤-=2
0,40
,22x x x x x f ，则()dx x f ⎰-22
的值为（ ） A. 6+π B.2-π C.π2 D.8
12. 函数()x f 的定义域为R ，()20=f ，若对任意()()1,>'+∈x f x f R x ，则不等式
()1+>⋅x x e x f e 的解集为（ ）
A.()+∞,0
B.()0,∞-
C.()()+∞⋃-∞-,11,
D.()()1,01,⋃-∞- 二．填空题（共4小题，每小题5分）
13.在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲
说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”。

四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是_______
14.函数()a x x x f --=ln 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是______ 15.在平面几何中，有如下结论：正ABC ∆的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则
4
121=S S ，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P-ABC 的内切球体积为1V ，外接球体积为2V ，则
=2
1
V V ______ 16.函数()⎩⎨⎧>≤-=1,ln 1,12x x x x x f ，若方程()21
-=mx x f 恰有四个不相等的实数根，则实
数m 的取值范围是_______
三．解答题
17.（本题满分10分）
已知c b a ,,表示ABC ∆的边长，0>m ，求证：m
c c
m b b m a a +>
+++ 18.(本题满分12分)
已知函数()()x x a ax x f ln 22++-=
（1）当1=a 时，求曲线()x f y =在点()()1,1f 处的切线方程；
（2）若对任意()2121,,0,x x x x <+∞∈，有()()()12212x x x f x f -<-恒成立，求a 的取值范围。

（在19,20两题中任选一题作答，满分12分）
19．(本题满分12分)在直角坐标系xoy 中,曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==α
α
sin cos 3y x (α为
参数),以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为
244sin =⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
πθρ. （1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 直角坐标方程；
（2）设P 为曲线1C 上的动点,求点P 到2C 上点的距离的最小值,并求此时点P 的坐标.
20．(本题满分12分) 已知函数
()1+=x x f
（1）求不等式()112-+<x x f 的解集；
（2）关于x 的不等式()()a x f x f <-+-32的解集不是空集，求实数a 的取值范围．
21.(本题满分12分)已知函数()()()()R k x k x x f ∈+---=,111ln （1）求函数()x f 的单调区间；
（2）若()0≤x f 恒成立，确定实数k 的取值范围。

22.(本题满分12分)已知函数()()01
2≥++=m e mx x x f x
，其中e 为自然对数的底数． (1)讨论函数()x f 的极值；
(2)若()2,1∈m ，证明：当[]m x x ,1,21∈时，()e
x x f 1
121++->．
（在23，24两题中任选一题作答，满分12分）
23．(本题满分12分)在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为01cos 42=+-θρρ，直线l 的参数
方程为()为参数t t
y t x ,21323
3⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=，点A 的极坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛6,32π，设直线l 与曲线C 相
交于P,Q 两点．
（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）求OQ OP AQ AP ⋅⋅⋅的值．
24．(本题满分12分)设函数()12+--=x x x f 。

（1）求函数()x f 的最大值为m ， （2）在（1）的条件下，若
()0,,3
>=
++c b a m
c b a ，证明：1≥++c
a b c a b 。

瓦房店市高级中学2018-2019学年度下学期高二期中考试 数学理科参考答案
一．BCCDB BDDCC AA
二．13.甲 14.1-<a 15.271
16.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛e e ,21 三．17.证明：
m b a a m a a ++>+，m
b a b
m b b ++>
+ m
b a b
a m
b b m a a +++>
+++∴ ……4分 只需证明m
c c
m b a b a +>
+++ 方法一，设()m
x x
x f +=
()0,0>>m x ，….6分 ()()
02
>+=
'm x m
x f ()x f ∴在()+∞,0上为增函数 … 8分 ()()c f b a f c b a >+∴>+, ，所以命题成立 …. 10分
方法二，即证()()()c m b a m c b a ++>++ …. 6分 化简得()cm m b a >+，0>m
得到c b a >+显然成立，所以命题得证 … 10分 18.（1）当1=a 时，()x
x x f 1
32+-=' ()()21,01-=='∴f f 则切线方程为2-=y …..4分
（2）对任意()()()2211212122,,,0,x x f x x f x x x x +<+<+∞∈ 设()()x x f x g 2+=，则()x g 在()+∞,0上单调递增 ….6分
即()0≥'x g 在()+∞,0上恒成立，()x ax ax x g 1
22+-='， ….8分
0122≥+-ax ax 在()+∞,0上恒成立
当0=a ，成立；当0≠a ，函数122
+-=ax ax y 的对称轴为4
1
=x 且过（0,1）点 则0≤∆，即80≤<a
总上所述，80≤≤a ….. 12分
19. （1）由曲线1C :⎩⎨
⎧==α
αsin cos 3y x 得,
即曲线1C 的普通方程为13
22
=+y x ….2分 由曲线得:,
即8cos sin =+θρθρ,所以x+y-8=0,
即曲线2C 的直角坐标方程为x+y-8=0. ….4分 （2）由（1）知椭圆1C 与直线2C 无公共点, 依题意有椭圆上的点
到直线x+y-8=0的距离为
, ….8分
所以当13sin =⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
πα时,d 取得最小值23, ….10分 此时6
π
α=
,点的P 坐标为⎪⎭
⎫
⎝⎛21,23。

….12分 20. （1）∵
，
∴
当x<-1时，不等式可化为-x-1+2x+1+1<0，解得x<-1，所以x<-1； 当2
1
1-≤≤-x ，不等式可化为x+1+2x+1+1<0，解得x<-1，无解； 当2
1
-
>x 时，不等式可化为x+1-2x-1+1<0，解得x>1，所以x>1 综上所述， …..6分
（2）因为 … 8分
且
的解集不是空集，
所以a>1，即a 的取值范围是()+∞,1 …..12分
21.（1）()x f 的定义域为()+∞,1，且()k
x x f --=
'11
….2分
当0≤k 时，()0>'x f ，()x f 在()+∞,1上是增函数 ….4分 当0>k 时，()0,11,1>'⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+
∈x f k x ()上为增函数，
在⎪⎭⎫ ⎝⎛
+∴k 111x f
()()上为减函数在，⎪⎭⎫
⎝⎛+∞+∴<'⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞+∈,k 11x f ,0x f ,11k x ….6分
(2) 由（1）可得， 当
≤k 时，
()
x f 在
()
+∞,1上是增函数，而
()()()恒成立不符合，在与∞+≤>-=10x f ,012k f ….8分 ()()()()k
k f x f x f x f x f k
x k ln 111
1,0max -=⎪⎭
⎫
⎝⎛+=∴+=>最值仅有一个极值，则为的极大值点
为当 ….10分 1k ,0ln ≥≤-∴即k ….12分
22.(1)解：()()()()x
e m x x x
f ----=
'11． ….2分
当0>m 时，1-m<1，令()0='x f ，解得x=1或1-m ．
则函数()x f 在()m -∞-1,上单调递减，在()1,1m -内单调递增，在()+∞,1上单调递减．
m x -=∴1时，函数()x f 取得极小值；x=1时，函数()x f 取得极大值． …5分
当0=m 时，()0≤'x f ，函数()x f 在R 上单调递减，无极值． ….6分 (2)证明：当[]m x x ,1,21∈时，()e x x f 1121++->，只要证明()max 2min 1)1
1(e
x x f ++->即可， ….8分
由(1)可知：()x f 在[]m x ,1∈内单调递减，()()m
e
m m f x f 1
22min
+==∴． e e x 111max 2=⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
++-
只需要证明
()2,1,1
122∈>+m e e m m
令()()2,1,1
22∈+=m e
m m g m
， ….10分 ()()2,1,1
422∈-+-='m e m m m g m ，()0142,02=-+-='m m m g 则 ()()0,221,0,221,1,221<'⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+∈>'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈+
=m g m m g m m 当当 221+=∴m 为()m g 的极大值点，仅有一个极值，则为最值，
()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=221max g m g ()()()e e m g e e
g e g 1
3,392,312>
>∴>==， 即()2,1,1
122∈>+m e e
m m
证明成立 …. 12分 因此原命题成立．
23.(1)曲线C 的直角坐标方程为：
，即
， ….2分 直线l 的普通方程为03=-y x …..4分
(2)点A 的直角坐标为()
3,3，设点P ，Q 对应的参数分别为21,t t ,点P ，Q 的极坐标分别
为⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛6,,6,21πρπρ，将()为参数t t
y t x ,21323
3⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=
与
联立得
：
，
由韦达定理得：1,121=⋅=AQ AP t t ….8分 将直线的极坐标方程()R ∈=
ρπ
θ6
与圆的极坐标方程
联立
得：01322
=+-ρρ,1,121=⋅=OQ OP ρρ
所以， …..12分
24. （1）31212=---≤+--x x x x ,()3≤∴x f
()x f 的最大值为3 ，m=3 ….4分
（2）由（1）知，于是
因为
b a a
b
2≥+,当且仅当b a =时取等号， c b b
c
2≥+，当且仅当b=c 时取等号， a c c
a
2≥+,当且仅当a=c 时取等号， 相加可得1≥++c
a b c a b ，当且仅当a=b=c 时取等号 …..12分。