第八讲随机过程的功率谱及性质与计算剖析

2 4 GX ( ) 4 10 2 9
求相关函数与方差。 解: 由因式分解
2 9 / 48 6 5 / 48 G X ( ) 4 2 2 10 9 1 2 9
2 4
由公式： e

2 2 2
R X (0) 7 24
FX ( ) G X ( )
0

•随机过程的有理谱形式：有理谱密度是实际中最常见的
一类功率谱密度或形式，工程中常用来作为有色噪声的逼近
2n a 2(n 1) a 2 a 2 ( m 1) 2 0 2 G X ( ) c0 2m b 2(m1) b 2 b
a2 a2 sin(20t ) 2
X (t ) a cos[0t ]
(0,2 )
2 2 a2 T 1 a a 1 T sin(20t ) dt W lim E{ X 2 (t )}dt lim 2 T 2T T 2 T 2T T
随机过程的平均功率为
1 T W E[W ] lim E{ X 2 (t )}dt T 2T T



随机过程的平均功率随频率的 分布，不同的频率成分对随机 信号的平均功率的贡献。
若过程为平稳过程，
W E[W ] E[ X 2 (t )] RX (0)
8
若为各态历经过程
17
1 3 R X ( ) (9e 5e ) 48
功率谱密度算例 例2 设随机过程
其中 a, 0 求 Y (t ) 的功率谱密度。
2
Y (t ) aX (t ) cos(0t ) 为常量， X (t )的功率谱为为G X ( ) ，
a 解： GY ( ) {GX ( 0 ) GX ( 0 )} 4

其能谱不存在，而功率谱存在
3
3、 随机信号功率谱密度的定义 随机信号的特点： 样本函数是功率有限信号 不存在傅立叶变换
如何定义随机信号的功率谱？ 1）定义每个样本函数的功率谱（处理方法适用于确定性信号） 2）对样本空间中所有样本函数的功率谱求统计平均
x(t )
xT (t )
T
t
0
T
x(t ) t T xT (t ) 0 t T
RY (t , t ) R[Y (t )Y (t )]
a2 RX ( )[cos0 cos(20t 0 )] 2
G X ( )


R X ( )e j d
1 T R X ( ) lim R X (t , t )dt T 2T T


S ( ) s(t )e


jt
dt
1 E s (t )dt 2
2



S ( ) d
2
频谱： 幅度和相位随频率的分布
S ( ) 能谱： 能量随频率限的信号
1 T 2 P lim s(t ) dt T 2T T

截断函数的 能量谱
1 1 2 lim XT (, ) d 2 T 2T

功 率 谱
1 2 G X ( , ) lim X T ( , ) T 2T
5
2） 随机信号功率谱密度的定义 对于随机过程来说，求各样本函数功率谱密度的统计平均
1 2 G X ( ) E[G X ( , )] E lim X T ( , ) T 2T
14
三、平稳随机信号功率谱密度的性质
1 2 G X ( ) lim E X T ( , ) T 2T
由
X T ( , )
2
决定
•对于实的平稳随机过程，功率谱为实的、非负偶函数；
G X ( ) 2 R X ( ) cos d 0

2GX ( ) 0 •物理谱定义：FX ( ) 0 0
2 ( n 1) 2
0
15
•若随机过程均值非零，则功率谱在原点有一函数； 若含有周期分量，则在相应的频率处有函数； •相关性与功率谱的关系为：相关性越弱，功率 谱越宽平；相关性越强，功率谱越陡窄。
1 RX (0) 2



G X ( )d
16
例3、已知零均值平稳过程的谱密度为
例 设随机过程
其中 a, 为常量， 为均匀分布 (0, ) 中的随机 0 2
变量，求 X (t )的平均功率。
2 a2 a 解： E[ X 2 (t )] E[a 2 cos2 (0t )] E[ cos(20t 2)] 2 2 a2 a2 a2 a2 2 2 cos( 2 t 2 ) d E[cos(20t 2)] 0 2 2 0 2 2
4
2T
随机过程的样本函数及其截断函数
1) 样本函数的功率谱密度 样本函数的截断函数的傅立叶变换：
X T ( ) xT (t )e


jt
dt x(t )e jt dt
T
T
X T ( , )
xT
(t , )
2
1 xT (t ) X T ( )e jt d 2
Frequency (Hz)
7
3）随机过程的平均功率与功率谱密度 频域计算： 任一样本函数的平均功率为
1 W G X (, )d 2
时域计算
任一样本函数的平均功率为
1 W lim T 2T


T
T
x 2 (t , )dt
随机过程的平均功率为
1 W E[W ] E[G X ( , )]d 2 1 G X ( )d 2
第四章 平稳随机过程的功率谱密度
一、什么是功率谱密度
二、功率谱密度与自相关函数的关系 三、功率谱密度的性质 四、互功率谱密度
五、如何估计功率谱密度以及功率谱应用 六、白噪声
1
一 、功率谱密度的概念和定义
1、 频谱分析的基本概念
信号特征分析 时域分析 频域分析 功率谱
确定性信号：幅度谱、相位谱
t
2
2、能量型信号与功率型信号 若确定信号 s (t )是时间t的非周期实函数，满足狄氏条件，且 满足： 2 s (t ) dt 或 s (t )dt 能量有限， 则 s(t ) 的傅立叶变换存在 能量型信号
X (t ) a cos[0t ]
解：
a2 R X ( ) cos0 2
GX ( ) RX ( )e j d


cos0 { ( 0 ) ( 0 )}
a2 a2 cos0 { ( 0 ) ( 0 )} 2 2
( ) 1 1 2 ( )
借助 函数，将任意直流分量和周期分量在频率点上 无限值用 函数表示，则维纳－辛钦定理可推广应用。
11
维纳－辛钦定理的推广
四类典型信号的功率谱
功率谱密度常用来进行周期性检测
12
二、功率谱密度与自相关函数关系
维纳－辛钦定理的推广 对于非平稳信号：
GX ()d
平均功率有限
RX ( )
2 sX
2 mX
要求均值为零 这个定理要求不能应用于含有 直流分量或周期分量的随机信 RX (0) 号，功率谱密度是连续的 实际中含有直流分量和周期 分量的随机过程很多。
0

10
相关函数的典型曲线
二、功率谱密度与自相关函数关系 维纳－辛钦定理的推广 引入 函数 其傅立叶变换
G X ( )


R X ( )e j d
1 T R X ( ) lim R X (t , t )dt T 2T T

时间平均自相关函数与功率谱密度为傅立叶变换对
13
功率谱密度算例
例1 设随机过程
其中 a, 0 为常量， 为均匀分布 (0,2 ) 中的随机变 量，求 X (t ) 的平均功率和功率谱密度。
6
随机性信号功率谱分析的一个例子
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
0
100
200
300
400
500
n
随机信号：
10
2
-1
10
1
-2
10
-3
1x10
-4
Power
0
1x10 10 10
-5
-6
-1
-7
-2
10 10
-8
-9
0
100
200 n
300
400
500
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90 100

18
RX ( )
G X ( )
2 /(a 2 2 )
返回
19


9
二、功率谱密度与自相关函数关系（重点） 平稳过程在一定的条件下，自相关函数和功率谱密度构 成傅立叶变换对(维纳－辛钦定理)
GX ( ) RX ( )e


j
d
1 R X ( ) 2




G X ( )e j d
条件:


R X ( ) d
是 的确 定函数
物理意义：功率谱密度表示单位频带内信号在单位 电阻上消耗的功率的统计平均值. 若为各态历经过程，则有： 缺陷:不含 相位信息
1 1 2 2 lim X T ( , ) G X ( ) lim E X T ( , ) T 2T T 2T