广东省深圳市龙岗区2019-2020年人教版高一物理必修1第二章专题追及相遇与图象(含答案解析)

追及相遇与图象重点知识回顾
1．自由落体与竖直上抛运动基础知识
2．竖直上抛运动处理方法
⑴ 分段法：上升过程是a g =-，0t v =的匀减速直线运动，下落阶段是自由落体运动。

⑵ 全程法：将全过程看作是初速为0v ，加速度是g -的匀变速直线运动，可以对全过程列方程，但必须注意方程的矢量性。

习惯上取0v 为正方向，则0t v >表示正在上升，0t v <表示正在下降；h 为正表示物体在抛出点上方，h 为负表示在抛出点下方。

**************************************************************************************** 教师版说明：有关自由落体各种比例关系的推论，讲义中没有专门讲，暑假涉及过相关题目，让学生自己总结，如果老师认为有必要，可以把这些比例关系复习一下。

① 前s T ，前2s T ，前3s T ……位移之比为221:2:3:…… ② 第s T 内、第2s T 内、第3s T 内……的位移之比为1:3:5:…… ③ s T 末，2s T 末，3s T 末……速度之比为1:2:3:……
④ 前x ，前2x ，前3x ……
内所用的时间之比为…… ⑤
通过连续相等的位移所用时间之比为1:::……
****************************************************************************************
1．
以下对物体做自由落体运动的说法中正确的是
A ．物体开始下落时，速度为零，加速度也为零
B ．物体下落过程中速度增加，加速度保持不变
C ．物体下落过程中，速度和加速度同时增大
D ．物体下落过程中，速度的变化率是个恒量
【答案】 B D 2．
关于自由落体运动，下列说法中正确的是
A ．某段时间的中间时刻的速度等于初速度与末速度之和的一半
B ．某段位移的中点位置的速度等于初速度与末速度之和的一半
基础训练
C．在任何相等时间内速度的变化相同
D．在任何相等时间内位移的变化相同
【答案】A C
3．关于自由落体运动，下面说法正确的是
A．在开始连续的三个1s内通过的位移之比是1:4:9
B．在开始连续的三个1s内通过的位移之比是1:3:5
C．在开始连续的三个1s末的速度大小之比是1:2:3
D．在开始连续的三个4.9cm位移内，所经历的时间之比为
【答案】B C
4．质点作竖直上抛运动，回到出发点，下列说法正确的是
A．上升、下落经过同一位置时的速度相同
B．在最高点时，速度和加速度均为零
C．整个运动过程中，任何相等时间内速度的变化均相等
D．不管上抛初速度多大，上升过程的最后1秒内的位移总是一样的。

【答案】C D
5．以24m/s的速度竖直向上抛出一个物体，若重力加速度取2
10m/s。

试求：
⑴物体上升的最大高度；
⑵物体上升到最大高度所用的时间；
⑶物体落回原地所用的时间；
⑷物体运动到23.8m高度时所用的时间；
【答案】⑴28.8m⑵ 2.4s⑶ 4.8s⑷ 1.4s或3.4s
例题精讲
例题说明： 例1~例3考察自由落体运动，例4~例6考察竖直上抛运动。

例1利用基本公式推出一个常用结论；例2是公式的简单计算，关键是读懂题目描述的情景；例3是一类典型问题，知道中间或最后某段位移对应的时间，需要列方程组求解，有一定难度，另外，这道题可以用多种方法求解，是对自由落体运动的综合练习。

例4是易错题，学生容易误认为是自由落体问题，本题考察全程法的应用；例5考察对称性；例6考察多解性。

【例1】
从某一高度相隔1s 先后由静止释放的两个相同的小球甲和乙，不计空气阻力，它们在空中的任一时刻
A ．甲、乙两球距离越来越大，甲、乙两球速度之差越来越大
B ．甲、乙两球距离始终保持不变，甲、乙两球速度之差保持不变
C ．甲、乙两球距离越来越大，但甲、乙两球速度之差保持不变
D ．甲、乙两球距离越来越小，甲、乙两球速度之差越来越小
【解析】 设后释放的球运动时间为t ，则它们之间的距离22111
(1)222
x g t gt gt g ∆=+-=+。

可见随着时间增大，两球间距越来越大，而两球速度之差(1)v g t gt g ∆=+-=不变，故选项C 正确。

【答案】 C 【例2】
观察者发现，每隔一定时间，水滴会从8m 高处的屋檐自由下落，当看到第五滴水刚要离开屋檐时，第一滴水正好落到地面，则此时第二滴水离地的高度是（取210m/s g =） A ．3.5m
B ．2.5m
C ．1.0m
D ．0.5m
【答案】 A 【例3】
一个物体从H 高处自由落下，经过最后196m 所用的时间是4s ，求物体下落H 高所用的总时间T 和高度H ，请用两种方法求解。

（取29.8m/s g =，空气阻力不计）
【解析】 方法一：根据自由落体公式
2
12H gT
=
⑴ 2
1
()2H h g T t -=
-
⑵
式⑴ 减去式⑵，得2
1
2h gTt gt =-
解得：211
1969.816
22s 7s 9.84h gt T gt ++⨯⨯=
==⨯，22119.87m 240.1m 22
H gT ==⨯⨯= 方法二：利用匀变速运动平均速度的性质
由题意得最后4s 内的平均速度为196
m/s 49m/s 4
h v t ===。

因为在匀变速运动中，某段时间中的平均速度等于中点时刻的速度，所以下落最后2s 内的初
速度为49m/s t v v '==
从开始到下落至最后2s 的时间49s 5s 9.8
t v t g ''=
==
4
5s s 7s 22t T t '=+
=+= 2211
9.87m 240.1m
22H gT ==⨯⨯= 方法三：利用v t -图象 画出这个物体自由下落的v t -图，如图所示开始下落后经时间()T t -和T 后的速度分别为()g T t -、gT 图线的AB 段与t 轴间的面积表示在时间t 内下落的高度h 。

由
()2g T t gT
h t
-+=
221969.844s 7s 229.8h gt t T g ⨯++⨯===⨯
2211
9.87m 240.1m 22
H gT =
=⨯⨯=
【答案】 7s ，240.1m
**************************************************************************************** 教师版说明：这里再补充一道自由落体的运动，可以和例1的情景对比讲解（学生版中没有出现） 用轻绳的两端各拴一个小球，一人用手拿着绳上端的小球站在四层楼的阳台上，放手让小球自由下落，两小球相继落地的时间差为T 。

如果站在三层楼的阳台上，同样放手让小球自由下落，则两小球相继落地的时间差将 A ．不变
B ．变大
C ．变小
D ．无法确定
【答案】 B
**************************************************************************************** 【例4】
气球以10m/s 的速度匀速竖直上升，从气球上掉下一个物体，经17s 到达地面。

求物体刚脱
离气球时气球的高度。

（210m/s g =）
【答案】 1275m 【例5】
某物体以30m/s 的初速度竖直上抛，不计空气阻力，g 取210m/s 。

若运动过程中两次经过A 点所用时间间隔为2s ，两次经过B 点所用时间间隔为4s ，求A 、B 两点间的高度。

【答案】 15m 【例6】
以20m/s 的速度竖直向上抛出一个石块，石块运动到离抛出点15m 处，所经历的时间为（空气阻力不计，g 取210m/s ）
A ．1s
B ．2s
C ．3s D
．(2s +
【答案】 A CD
**************************************************************************************** 教师版说明：下面补充一道竖直上抛较难的题，学生版中没有出现，此题关键是搞清各物理量的关系，
选择适当的公式。

一个小球作竖直上抛运动，经过时间1t 上升到位置1x ，经过时间2t 上升到位置2x ，小球上升到最高点后下落到位置2x 的时间为3t ，继续下落到位置1x 的时间为4t 。

求证重力加速度2122
41328()
()()x x g t t t t -=
---
【解析】 此题求证结果较为复杂，若不加选择地套用竖直上抛运动公式则很难理出头绪，但如果抓住
竖直上抛运动中时间的对称性从某一位置上升到最高点和从最高点落回该位置所用的时间相等则可简化问题的处理
设最高点到位置1x 的距离为1h ，则2
411()[
]22
t t g h -=
； 设最高点到位置2x 的距离为2h ，则2
322()[
]22
t t g h -=
； 而1221h h x x -=-，将以上三式整理即可证。

【答案】 略
****************************************************************************************
当两个物体在同一条直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两个物体之间的距离就会发生变化，两物体间距越来越大或越来越小时，就会涉及追及、相遇问题。

1．追及、相遇问题的实质
研究两物体能否在相同的时刻到达相同空间位置的问题。

2．解相遇和追及问题的关键
画出物体运动的情景图，理清三大关系： ⑴ 时间关系：0
A B t t t =±
⑵ 位移关系：0A B x x x =±
⑶ 速度关系：两者速度相等时，物体间有最大（或最小）位移。

这通常是追及问题中能否追上的临界条件，也是分析问题的切入点。

3．追及、相遇问题的分析思路
⑴ 根据运动过程，画出两个物体运动的示意图 ⑵ 根据两个物体的运动性质，列出两个物体的位移方程
⑶ 找出两个物体在运动时间上的关系、位移关系、临界条件（即“两个关系，一个条件”） ⑷ 联立方程求解
知识点睛
3.2 追及相遇问题
****************************************************************************************
教师版说明：
讲义主要是按照追及相遇问题的分析思路，解题关键来进行讲解，没有过多的对运动情况进行分类，主要是考虑分类太多，学生反而容易乱，而且记不住。

如果老师认为有必要分情况说明，也可以参考以下内容。

1．追及相遇的特征
⑴
⑵
⑶
⑷
开始追及时，后面物体与前面物体
间的距离在减小，当两物体速度相等时，
即
⑴
⑵
⑶
位移
⑵ 0x 是开始追及以前两物体之间的距离 ⑶ 2001t t t t -=-
⑷ 1v 是前面物体的速度，2v 是后面物体的速度。

2．两种典型情况的临界条件
⑴ 初速度小者加速追初速度大者：追上前，两个物体速度相等时，有最大距离；
⑵ 初速度大者减速追赶初速度小者：追上前在两个物体速度相等时，有最小距离。

即必须在此之前追上，否则就不能追上。

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例题说明：例7结合图象定性考察追及相遇的位移关系、速度关系等；例8是一道比较常规的追及相遇问题，重点让学生练习解决问题的基本方法，本题用公式和图象都可以解决；例9是涉及两个运动过程的追及相遇问题；例10、例11两道题涉及到两种不同的减速陷阱，学生很容易错，建议老师重点讲解；例12是自由落体的追及问题，例13是自由落体和竖直上抛的相遇问题，而且是两个有长度的物体的相遇问题。

【例7】
甲乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动，0t =时刻同时经过公路旁的同一个路标。

在描述两车运动的v t -图中（如图所示），直线a 、b 分别描述了甲乙两车在020s :的运动情况。

关于两车之间的位置关系，下列说法中正确的是
A ．在010s :内两车逐渐靠近
B ．在10s 20s :内两车逐渐远离
C ．在5s 15s :内两车的位移相等
D ．在10s t =时两车在公路上相遇
【解析】 由v t -图象可知，010s :内，v v >乙甲两车逐渐远离，1020s :内，v v >乙甲两车逐渐靠近，
故A 、B 均错；v t -图象与时间轴所围成的面积表示位移，515s :内，两图线与t 轴包围的
面积相等，故两车的位移相等，C 对；20s t =时，两车的位移再次相等，两车再次相遇，故D 错。

【答案】 C
例题精讲
【例8】
汽车从静止开始以23m/s 的加速度行驶，恰有一自行车以6m/s 的速度从车边匀速驶过。

⑴ 汽车从运动到追上自行车之前经过多长时间两者相距最远？此时距离是多少？ ⑵ 什么时候追上自行车，此时汽车的速度是多少？
【解析】 ⑴ 解法一：
汽车开动时速度由零逐渐增大，而自行车速度是定值，当汽车速度还小于自行车速度时，
两者的距离越来越大，当汽车的速度大于自行车速度时，两者距离越来越小，所以当两车
的速度相等时，两车的距离最大，有==v at v 汽车自行车，所以2s v
t a
==自行车，
21
=6m
2x x x x t at ∆=-⋅-=自行车汽车自行车
解法二：图象法
画出汽车和自行车的v t -图，当s t 时两车速度相等。

6v at ==汽车即2s t =时两车的位移差最远1
266m 2
x ∆=
⨯⨯= ⑵ 由图象可知，当4s t =时汽车追上自行车，=12m/s v 汽车。

【答案】 ⑴ 2s 、6m ⑵ 4s 、=12m/s v 汽车 【例9】
一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以10m/s 的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过5.5s 后警车发动起来，并以22.5m/s 的加速度做匀加速运动，但警
车的行驶速度必须控制在90km/h 以内。

问：
⑴ 警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离是多少？ ⑵ 判定警车在加速阶段能否追上货车？（要求通过计算说明） ⑶ 警车发动后要多长时间才能追上货车？
【解析】 ⑴ 警车在追赶货车的过程中，当两车速度相等时。

它们的距离最大，设警车发动
后经过1t 时间两车的速度相等。

则110
s=4s
2.5t =
=55+410m=95m s ⨯货（.）
22111
= 2.54m=20m 22
s at =⨯⨯警所以两车间的最大距离=75m s s s ∆=-货警
⑵ =55+1010m=155m s '⨯货（.） 22211= 2.510m=125m 22
s at '=⨯⨯警因为s s ''>货
警，故此时警车尚未赶上货车
⑶ 警车刚达到最大速度时两车距离30m s s s '''∆=-=货
警，警车达到最大速度后做匀速运动，设再经过t ∆时间追赶上货车。

则：m '
=
=2s s t v v
∆∆- 所以警车发动后要经过2=+=12s t t t ∆才能追上货车
【答案】 ⑴ =75m s s s ∆=-货警 ⑵ 不能 ⑶ 2=+=12s t t t ∆
【例10】 甲、乙两车相距40.5m ，同时沿平直公路做直线运动，甲车在前，以初速度116m/s v =，
加速度212m/s a =作匀减速直线运动，乙车在后，以初速度2 4.0m/s v =，加速度22 1.0m/s a =与甲同向作匀加速直线运动，求： ⑴ 甲、乙两车相遇前相距的最大距离； ⑵ 乙车追上甲车经历的时间。

【解析】 ⑴ 乙两车速度相等时距离最大：1122v a t v a t -=+，解得：1 4.0s t =
前4s 内，甲车 211111148m 2x v t a t =-=，乙车 2221211
24m 2
x v t a t =+=
所以max 1264.5m x x x x ∆=+-=。

⑵ 甲车运动的时间1
21
8s v t a =
= 甲车位移 1
1264m 2
v x t '=
= 乙车位移 2222221
64m 2
x v t a t '=+=
甲停止时甲、乙两车相距 40.5m x =
甲车停后，乙车以222212m/s v v a t '=+=为初速度作匀加速直线运动 223231
2
x v t a t '=+ 得33s t =
乙车追上甲车时间2311.0s t t t =+=。

【答案】 64.5m 11.0s
【例11】 在铁轨上有甲、乙两列火车，甲车在前，乙车在后，分别以速度15m/s v =甲，40m/s v =乙做
同向匀速运动，当甲、乙间距为1500m 时，乙车开始做匀减速运动，加速度大小为20.2m/s ，问乙车能否追上甲车？
【解析】 由于乙车速度大于甲车速度，因此，尽管乙车刹车后做匀减速直线运动，速度开始减小，但
其初始阶段速度还是比甲车的大，两车距离还是在减小，当乙车的速度减小为和甲车速度相等时，乙车的位移大于甲车相对乙车的位移，则乙车就一定能追上甲车，设乙车速度减为
15m/s v =甲时所用时间为t ，则有v v at =-乙甲，所以4015
s 125s 0.2
v v t a --=
==乙甲。

在这段时间里乙车的位移为：4015
125m 3437.5m 22
v v s t ++=
=⨯=乙甲乙， 甲车位移为：15125m 1875m s v t ==⨯=甲甲， 因为1500s s >+乙甲，所以乙车能追上甲车。

【答案】 能
【例12】 A 球从塔顶自由下落，当落下a 时，B 球从距塔顶b 处开始落下，两球同时落地，求塔高
及B 球自由下落的时间。

【解析】 两球同时落地，设塔高为h ，得
，故()2
4a b h a +=
【答案】
()
2
4a b a
+
【例13】 如图所示，A 、B 两棒长均为1m h =，A 的下端和B 的上端相距20m H =，
若A 、B 同时运动，A 做自由落体运动，B 做竖直上抛运动，初速度040m/s v =。

求：
⑴ A 、B 两棒何时相遇。

⑵ 从相遇开始到分离所需的时间。

【解析】 ⑴ 设经过时间t 两棒相遇，由
2201122gt v t gt H ⎛⎫
+-= ⎪⎝⎭
，得020s=0.5s 40H t v ==。

⑵ 从相遇开始到两棒分离过程中，A 棒做初速度不为零的匀加速运动，B 棒做匀减速运动，设从相遇开始到分离所需的时间发t ∆，则
2211222A B v t g t v t g t h ⎛⎫⎛⎫
∆+∆+∆-∆= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

其中A v gt =，0B v v gt =-。

代入后解得0221
s 0.05s 40
h t v ∆=
==×。

【答案】 ⑴ 0.5s ，⑵ 0.05s
**************************************************************************************** 教师版说明：下面补充两道竖直上抛和自由落体的追及相遇问题，其中，第1题是比较简单的基础题；
第2题是比较难的提高题；学生版中不出现这两题。

1． 小球A 从地面以初速度0110m/s v =竖直上抛，同时小球B 从一高为4m h =的平台上以初速度
026m/s v =竖直上抛.忽略空气阻力，两球同时到达同一高度的时间、地点和速度分别为多少？
【答案】 1s t =,5m h =,0A v =,4m/s B v =-(符号表示B 球运动方向向下) 2．
A 球自距地面高h 处开始自由下落，
同时B 球以初速度0v 正对A 球竖直上抛，空气阻力不计。

⑴ 要使两球在B 球上升过程中相遇，则0v 应满足什么条件？ ⑵ 要使两球在B 球下降过程中相遇，则0v 应满足什么条件？
【解析】 两球相遇时位移之和等于h ，即2201122gt v t gt h ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭
，所以0h t v =。

而B 球上升到最高点的时间0v t g =
，B 球在空中总时间为022v t g
=。

⑴ 要使两球在B 球上升过程中相遇，则有1t t ＜，即
0v h v g
＜
，所以0v 。

⑵ 要使两球在B 球下降过程中相遇，则有12t t t ＜＜，即
0002v v
h g v g
＜＜，
0v 。

【答案】 ⑴
0v ⑵
0v ****************************************************************************************
直通高考
例题说明：例14是图象问题，涉及多种情况讨论；例15本身难度不是很大，但叙述情景比较复杂，需要从文字叙述正确抽象处运动情景，对部分基础较差的学生有一定难度。

【例14】 甲、乙两车在一平直道路上同向运动，其v t -图象如图所示，图中OPQ △和OQT △的面
积分别为
1s 和2s （21s s >）。

初始时，甲车在乙车前方0s 处 A ．若012s s s =+，两车不会相遇 B ．若01s s <，两车相遇2次 C ．若01s s =，两车相遇1次 D ．若02s s =，两车相遇1次
【答案】 A BC
【例15】 甲乙两运动员在训练交接棒的过程中发现：甲经短距离加速后能保持9m/s 的速度跑完全程；乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的。

为了确定乙起跑的时机，需在接力区前适当的位置设置标记。

在某次练习中，甲在接力区前013.5m s =处作了标记，并以9m/s v =的速度跑到此
标记时向乙发出起跑口令。

乙在接力区的前端听到口令时起跑，并恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，完成交接棒。

已知接力区的长度为20m L =。

求：
⑴ 此次练习中乙在接棒前的加速度a
⑵ 在完成交接棒时乙离接力区末端的距离
【解析】 ⑴ 在甲发出口令后，甲、乙达到共同速度所用时间为v
t a
=
① 设在这段时间内甲、乙的位移分别为1s 和2s ，则221
2s at = ②
1s vt = ③ 120s s s =+ ④
联立①②③④式解得:2
20
3m/s 2v a s ==
⑵ 在这段时间内，乙在接力区的位移为2
213.5m 2v s a
== 完成交接棒时，乙与接力区末端的距离为220m 13.5m=6.5m L s -=-
【答案】 ⑴ 23m/s ⑵ 6.5m。