华师大数学九年级上第23章相似三角形判定和性质

相似三角形判定和性质
1．两条线段的比
如果选用同一个长度单位量得两条线段AB ,CD 的长度分别是m ,n ，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB :CD =m :n ，或写成AB m CD n =. 2. 比例线段
对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果____________________与____________________(如
d c b a =)，那么称这四条线段是成比例线段，简称__________________．
3. 比例性质 如果d
c b a =，那么__________ 4.平行线分线段成比例
两条直线被一组平行线所截，所得的_____________.
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例.
5．相似图形
________________________是相似图形.
6.相似多边形
相似多边形____________相等，____________相等.
反过来，如果两个多边形满足____________，____________那么这两个多边形相似．
7. 黄金分割
一般地，点C 把线段AB 分成两条线段 AC 和 BC （如图）， 如果AC BC AB AC
=，那么称线段 AB 被点 C ________， 点C 叫做线段 AB 的________，AC 与AB 的比叫做_______．
8．相似三角形判定定理
______三角形一边的______和其他两边______，所构成的三角形与原三角形相似．
如果两个三角形的______对应边的______，那么这两个三角形相似．
如果两个三角形的______对应边的比相等，并且______相等，那么这两个三角形相似.
如果一个三角形的______角与另一个三角形的______，那么这两个三角形相似．
（1）、两角分别相等的两个三角形相似
【例1】如图，D，E 分别是△ABC 的边AB，AC上的点，DE ∥BC，AB = 7，AD = 5，DE = 10，求BC 的长.
练1.在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A＝56°，∠B＝28°，∠A′＝56°，∠C′＝28°，那么这两个三角形能否相似的结论是______．理由是________________．
练2、在△ABC 与△DEF 中，∠A = ∠D = 70°，∠B = 60°，∠E = 50°，这两个三角形相似吗？为什么？
（2）．两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
【例2】如图，D，E 分别是△ABC 的边AC，AB 上的点，AE = 1.5，AC = 2，BC = 3，且
3
4
AD
AB
=，求
DE 的长.
练3.在△ABC和△A'B′C′中，如果∠A＝34°，AC＝5cm，AB＝4cm，∠A’＝34°，A’C’＝2cm，A’B’＝1.6cm，那么这两个三角形能否相似的结论是______，理由是____________________．
练4.在△ABC 中，∠B = 39°，AB = 1.8 cm，BC = 2.4 cm；在△DEF 中，∠D = 39°，DE = 3.6 cm，DF = 2.7 cm．这两个三角形相似吗？为什么？
（3）、三边成比例的两个三角形相似
【例3】如图，在△ABC 和△ADE 中，AB BC AC
AD DE AE
==，∠BAD = 20°，求∠CAE 的度数.
练5.在△ABC和△DEF中，如果AB＝4，BC＝3，AC＝6；DE＝2.4，EF＝1.2，FD＝1.6，那么这两个三角形能否相似的结论是____________，理由是__________________．
练6.如图，△ABC 与△EFG 相似吗？为什么？
（4）、黄金分割
【例4】计算黄金比.
练7．采用如下方法可以得到黄金分割点：如图，设AB是已知线段，经过点 B 作BD⊥AB，使
BD = 1
2
AB；连接DA，在DA 上截取DE = DB；在AB 上截取AC = AE．点C 就是线段AB 的
黄金分割点．你能说说其中的道理吗？练
8.宽与长的比是
21-5
（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们
以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（）
A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH
9．性质1
相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于_________.
10. 性质2
相似三角形的周长比等于________，面积比等于________.
（5）、三角形相似的性质
【例5】如图，AD 是△ABC 的高，AD=h ，点R 在AC 边上，点S 在AB 边上，SR ⊥AD ，垂足为E.当SR=12BC 时，求DE 的长.如果SR=13
BC 呢？
练9. △DEF ∽△ABC ，若相似比k ＝1，则△DEF ______△ABC ；若相似比k ＝2，则
=AC
DF ______，=EF BC ______． 练10. 若△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为k 1；△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，且相似比为k 2，则△ABC ______△A 2B 2C 2，且相似比为______．
【例6】如图，小强自制了 一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15 cm ．他准备了一支长为20 cm 的蜡烛，想要得到高度为5 cm 的像，蜡烛应放在距离纸筒多远的地方？
练11. 如图 ， AB 和 CD 表示两根直立于地面的柱子，AD 和 BC 表示起固定作用的两根钢筋， AD 与 BC 的交点为 M ． 已知 AB = 10 m ， CD = 15 m ， 求点 M 离地面的高度 MH ．
练12.△ ABC ∽△ A ′B ′C ′， AD 和 A ′D ′是它们的对应角平分线．
已知 AD = 8 cm ， A ′D ′= 3 cm ，求 △ ABC 与 △ A ′B ′C ′对应高的比.
（6）、相似三角形面积的比、周长比
【例7】如果△ ABC ∽△ A ′B ′C ′，相似比为 2，那么△ ABC 与 △ A ′B ′C ′的周长比是多少？面积比呢？ 如果 △ ABC ∽△ A ′B ′C ′， 相似比为 k ， 那么你能求 △ ABC 与 △ A ′B ′C ′的周长比和面积比吗？
练13. 等腰三角形ABC 的腰长为12，底的长为10，等腰三角形A′B′C′的两边长分别为5和6，且△ABC ∽△A′B′C′,则△A ‘B ′C ′的周长为（ ）。

A.17
B.16
C.17或16
D.34
练14. 如图，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形BCED 的面积为（ ） A.32 B.33 C.34 D.36
（7）、 应用相似三角形的性质
【例8】如图将 △ ABC 沿 BC 方向平移 得到 △DEF ， △ ABC 与 △ DEF 重叠部分（图中阴影部分） 的面积是 △ ABC 的面积的一半． 已知 BC = 2， 求 △ ABC 平移的距离.
练15．如图，在△ABC 和△DEF 中，G，H 分别是边BC 和EF 的中点，已知AB = 2DE，AC = 2DF，∠BAC = ∠EDF．
（1）中线AG 与DH的比是多少？
（2）△ABC 与△DEF 的面积比是多少？.
练16．如图所示，平行四边形ABCD中，AE：EB=1：2，求△AEF和△CDF的周长比，如果S△AEF=6cm2，求：S△CDF.
（8）、相似三角形应用
【例9】11．在一次数学活动课上，李老师带领学生去测教学楼的高度，在阳光下，测得身高为1.65m的黄丽同学BC的影长BA为1.1m，与此同时，测得教学楼DE的影长DF为12.1m，如图所示，请你根据已测得的数据，测出教学楼DE的高度．(精确到0.1m)
练17．如图所示，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距离墙角1.6m，梯上点D距离墙1.4m，BD长0.55m，则梯子长为( )
A．3.85m B．4.00m C．4.40m D．4.50m.
练习题：
1．如图所示，AB∥CD，AE∥FD，AE，FD分别交BC于点G，H，则图中共有相似三角形（）．A．4对B．5对C．6对D．7对
2．如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，中位线EF交对角线AC，BD于M，N两点，若EF=18cm，MN=8cm，则AB的长是___________.
3．灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影长为CD，AB•∥CD，•AB=2m，CD=5m，点P到CD的距离是3m，则点P到AB的距离是（）．
A．56610
(6753)
m B m C m D m
4. 如图，把△PQR沿着PQ的方向平移到△P′Q′R′的位置，它们重叠部分的面积是△PQR面积的一半，若
PQ=2，则此三角形移动的距离PP′是（）．
A．1
2
B．
2
2
C．1 D．2-1
5. 如图，小明想用皮尺测量池塘A，B之间的距离，但现在利用皮尺无法直接测量到这一距离．学习了数学的有关知识后，他想出了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B两点的点O，连接OA，OB，分别在OA，OB上取中点C，D，连接CD，并测得CD=a，由此他就知道了AB间的距离是（）．
A．1
2
a B．2a C．a D．3a
6. 如图,已知△ABC∽△DBE，AB=6，DB=8，则S△ABC：S△DBE=________．
7.如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影长度（）
A．变长3.5米B．变长1.5米C．变短3.5米D．变短1.5米
8.已知：如图所示，试分别依下列条件写出对应边的比例式．
(1)若△ADC ∽△CDB ；(2)若△ACD ∽△ABC ；(3)若△BCD ∽△BAC ．
9.已知：如图，E 是平行四边形ABCD 的边AD 上的一点，且23=DE AE ，CE 交BD 于点F ，BF ＝15cm ，求DF 的长．
10.如图，已知，D 为△ABC 中AC 边的中点，AE ∥BC ，ED 交AB 于点G ，交BC 的延长线于点F ，若BG ：GA=3：1，BC=8，求AE 的长.
11.四边形 ABCD 是平行四边形，点E 是BC 的延长线上的一点，而且CE ：BC=1：3，若△DGF 的面积为 9，试求：（1）△ABG 的面积.（2）△ADG 与△BGE 的周长比和面积比.
12．已知：如图，AD 是△ABC 的中线．
(1)若E 为AD 的中点，射线CE 交AB 于F ，求
BF AF ； (2)若E 为AD 上的一点，且k ED AE 1=，射线CE 交AB 于F ，求⋅BF AF。