经典不等式证明—排序不等式—切比雪夫不等式—平均不等式—柯西不等式

不妨设
a1 a2 ... an
b1 b2 ... bn
由切比雪夫不等式为
1 (a1 a2 ... an )(b1 b2 ... bn ) a1b1 a2b2 ... anbn n
令 ai bi (i 1, 2,..., n) 则有
aibi-ajbi+ajbj-aibj=(ai-aj)(bi-bj)≥0
即顺序和≥乱序和（当且仅当 ai=aj 或 bi＝bj 时等号成立） 当有多个乱序时可由数学归纳法即得结论： a1bn+a2bn-1+…+anb1≤a1bj1+a2bj2+„+anbjn≤a1b1+a2b2+„+anbn (其中 j1,j2,…，jn 是 1,2,…,n 的一个排列) 当且仅当 a1=a2=…=an 或 b1=b2=…=bn 时等号成立 2.切比雪夫不等式 若两个正实数数组{ai} , {bi} 满足 a1≤a2≤„≤an ,b1≤b2≤„ ≤bn,
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1. 排序不等式 设两个数组{ai} , {bi}满足 a1≤a2≤„≤an,b1≤b2≤„≤bn, 则有 a1bn+a2bn-1+…+anb1≤a1bj1+a2bj2+„+anbjn≤a1b1+a2b2+„+anbn (其中 j1,j2,…，jn 是 1,2,…,n 的一个排列) 当且仅当 a1=a2=…=an 或 b1=b2=…=bn 时等号成立 证明： （先证有一个乱序的情形，其余的可根据结论得证） 设序列{ai}中仅有 ai 与 aj 调换次序 由 a1b1+a2b2+…+ajbi+…+aibj+…+anbn 记为○ 1 式（为乱序） a1b1+a2b2+…+aibi+…+ajbj+…+anbn 2 -○ 1 得 ○ ： 记为○ 2 式（为顺序） 恒成立 .
c
c
y1= 1 = c ，y2= 1 =
x1 a1 x2
c2 a1a2
,„,yn= 1 =
xn
cn a1a2 ...an
=1
(其中 c n a1a2 ...an ，因为{xn},{yn}两个数列对应成倒数，所以 无论它们数列的各项的值的大小如何，乘积的和都是 1，且 可视为两个数列反序乘积和的形式， 比如： 若 xn 最大， 则 yn=
1 式取倒数即得 对○
n 1 1 1 ... a1 a2 an
n
n a1a2 ...an
○ 2
a1a2 ...an
a1 a2 ... an n
（此处利用排序不等式证明）
c
an 2 先构造两个数列：x1= a1 ,x2= a1a ,„,xn= a1a2 ... =1 n 2
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3.平均不等式 当 ai 为正实数组（i=1,2,„,n）时，有
n 1 1 1 ... a1 a2 an n a1a2 ...an
2 2 a1 a2 ... an a 2 a2 ... an 1 n n
当且仅当 a1=a2=„=an 时等号成立.
n 1 1 1 ... a1 a2 an
n
n a1a2 ...an
证明：○ 1
（此处先利用 由于
a1a2 ...an
a1 a2 ... an n
的结论） 1式 ○
1 1 1 ... a1 a2 an 1 1 1 n ... n a1 a2 an
=n
1 a1a2 ...an
n n 2 ( a b ) 4 i i i 1 i 1
ai bi i i
2 1 1
n
n
2
0
化简即得
2 2 a b i i
n
n
i 1
i 1
n aibi i 1
2
a1 a2 an ... 当且仅当 b b2 bn 时等号成立 1
1 xn
最小，因而其乘积和是反序的)
x2 y2 ... xn yn
总是两数组的反序和。
于是由排序不等式的“乱序和 反序和” ，总有
x1 yn x2 y1 ... xn yn1 x1 y1 x2 y2 ... xn yn
则有
a b
i 1
n
i n 1i
n n 1 n ai bi ai bi n i 1 i 1 i 1
当且仅当
a1=a2=…=an 或 b1=b2=…=bn 时等号成立
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证明：由
a1b1 a2b2 ... anbn a1 a2 ... an b1 b2 ... bn n n n
（提示：上式从第○ 2 行到最后一行可视为 ai 顺序乘以 bi 的一 个乱序） 根据“顺序和 乱序和” （从第○ 2 行到第○ n 行同时使用） ，可 得
n a1b1 a2b2 ... anbn a1 a2 ... an b1 b2 ... bn
同理：由乱序和 反序和，可得
a1 a2 ... an b1 b2 ... bn a1bn a2bn 1 ... anb1 n n n
综合即得：
a b
i 1
n
i n 1i
n n 1 n ai bi ai bi n i 1 i 1 i 1
即
a a1 a2 ... n 1 1 ... 1 n c c c
a1 a2 ... an c n a1a2 ...an n
即
n
a1 a2 ... an a1a2 ...an n
（利用切比雪夫不等式证明） ,
2 2 a1 a2 ... an a 2 a2 ... an 1 n n ○ 3
ait i
1
n
bi
2
1 式 ○
n n n 2 2 f t ai t 2 ( ai bi ) t bi2 i 1 i 1 i 1
由○ 1 式知 即
f(t)

0 恒成立 （因为 f(t)是众平方之和）
则由韦达定理知
0
2
4.柯西不等式 设 ai , bi R （i=1 , 2 , … , n）, ai 0, bi 0 ,则有
ai2 bi2 aibi
i 1 i 1
n
n

n

2
i 1
当且仅当
a1 a a 2 ... n b1 b2 bn
时等号成立
证明：构造函数 f t 拆开得
1 2 2 (a1 a2 ... an ) (a1 a2 ... an ) a12 a2 ... an n
两边同时除以 n 再同时开方即得
a1 a2 ... an n
2 2 a12 a2 ... an n
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n a1b1 a2b2 ... anbn a1 a2 ... an b1 b2 ... bn
而
a1 a2 ... an b1 b2 ... bn
= a1b1 a2b2 ... anbn + a1b2 a2b3 ... anb1 + a1b3 a2b4 ... anb2 +„„ + a1bn1 a2bn ... anbn 2 + a1bn a2b1 ... anbn1 n -1 ○ n ○ 1 ○ 2 ○ 3 ○