课件2：2.2.4 点到直线的距离

导．(难点)
【情境引入】 在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之 连接起来，易知从仓库垂直于铁路方向所修的公路最 短，将铁路看作一条直线 l，仓库看作点 P，怎样求得 仓库到铁路的最短距离呢？
【新知初探】
1．点到直线的距离
(1)平面内点到直线的距离，等于过这个点作直线的垂线 所得垂线段
2.2.4 点到直线的距离
学习目标
核心素养
1．掌握点到直线的距离公式
并能灵活运用此公式解决距 1．通过点到直线的距离公式的推
离问题．(重点)
导，培养逻辑推理的数学核心素养．
2．会求两条平行直线之间的 2．借助点到直线的距离公式与两平
距离．(重点)
行线间的距离公式，提升数学运算
3．点到直线的距离公式的推 的核心素养．
5533．
规律方法 求两平行线间距离一般有两种方法 (1)转化法：将两平行线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到 另一条直线的距离．由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时， 常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算． (2)公式法：直接用公式 d＝ |CA1－2＋CB2|2，但要注意两直线方程中 x，y 的系数必须分别相同．
l1 与 l2 是否平行？若平行，求 l1 与 l2 间的距离．
[解] l1 的斜率为 k1＝27，l2 的斜率 k2＝261＝27．
因为 k1＝k2，且 l1 与 l2 不重合，所以 l1∥l2，
l2 的方程可化为 2x－7y－7＝0，
所以 l1 与 l2 间的距离为 d＝－282＋＋772＝
1＝ 53
解①②得 a＝3，b＝3，所以 B′(3)． 于是 AB′的方程为3y－－11＝3x－－44，即 2x＋y－9＝0． 所以由32xx－ ＋yy－ －19＝ ＝00， ， 解得xy＝＝25，. 即直线 l 与 AB′的交点坐标为(2,5)． 所以点 P(2,5)为所求．
[母题探究] 在本例中，求到 A(4,1)和 C(3,4)的距离之和最小的 P 点的坐标？
的长度．
|Ax0＋By0＋C|
(2)点 P(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离 d＝
A2＋B2 ．
思考：点 P(x0，y0)到直线 l1：x＝x1 的距离是多少？点 P(x0，y0)到直线 l2：y＝y1 的距离为多少？ [提示] |x0－x1|；|y0－y1|．
2.两条平行直线之间的距离 (1)两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上 任意一点到 另一条直线的 距离．
(3)两直线
x＋y＝m
与
x＋y＝2n
的距离为|m－2n|． 2
(
)
(4)两直线 x＋2y＝m 与 2x＋4y＝3n 的距离为|m－53n|． (
)
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
[提示] (1)正确． (2)应是 d＝|y0－b|． (3)正确． (4)错误．将 2x＋4y＝3n 化为 x＋2y＝32n，因此距离为m－532n．
距离为
．
1 [d＝|－73－2＋－422|＝1．]
5．求与直线 l：3x－4y－11＝0 平行且与直线 l 距离为 2 的直线方程． [解] ∵与 l 平行的直线方程为 3x－4y＋c＝0． 根据两平行直线间的距离公式得 |c3－2＋－－114|2＝2， 解得 c＝－1 或 c＝－21． ∴所求方程为：3x－4y－1＝0 或 3x－4y－21＝0．
2．上述问题中，当 d 取最大值时，请求出两条直线的方程． [提示] 由上图可知，当 d 取最大值时，两直线与 AB 垂直． 而 kAB＝26－ －－ －13＝13， ∴所求直线的斜率为－3． 故所求的直线方程分别为 y－2＝－3(x－6)和 y＋1＝－3(x＋3)， 即 3x＋y－20＝0 和 3x＋y＋10＝0．
类型三 距离公式的综合应用
[探究问题] 1．两条互相平行的直线分别过点 A(6,2)和 B(－3，－1)，并且 各自绕着 A，B 旋转，如果两条平行直线间的距离为 d．你能 求出 d 的取值范围吗？ [提示] 如图， 显然有 0<d≤|AB|． 而|AB|＝ 6＋32＋2＋12＝3 10． 故所求的 d 的变化范围为(0,3 10]．
2．原点到直线 x＋2y－5＝0 的距离是(
A． 2
B． 3
C．2
) D． 5
D [由点到直线的距离公式得：d＝|0＋120＋－252|＝ 5．]
3．分别过点 M(－1,5)，N(2,3)的两直线均垂直于 x 轴，则
这两条直线间的距离是
．
3 [d＝|2－(－1)|＝3．]
4．两条平行线 l1：3x＋4y－7＝0 和 l2：3x＋4y－2＝0 间的
4．已知两点 A(3,2)和 B(－1,4)到直线 mx＋y＋3＝0 的距离相等，
则 m 的值为
．
12或－6 [由题意知直线 mx＋y＋3＝0 与 AB 平行或过 AB 的中点， 则有－m＝－4－ 1－23或 m×3－2 1＋2＋2 4＋3＝0，∴m＝12或 m＝－6．]
5．已知直线 l 经过点 P(－2,5)且斜率为－34． (1)求直线 l 的方程； (2)若直线 m 与 l 平行，且点 P 到直线 m 的距离为 3，求直线 m 的方程． [解] (1)由点斜式方程得，y－5＝－34(x＋2)， ∴3x＋4y－14＝0． (2)设 m 的方程为 3x＋4y＋c＝0， 则由平行直线间的距离公式得|c＋514|＝3，∴c＝1 或－29． ∴直线 m 的方程为 3x＋4y＋1＝0 或 3x＋4y－29＝0．
设所求直线的方程为ax＋ay＝1，即 x＋y－a＝0．
由题意知|3＋1－a|＝ 2
2，解得 a＝2 或 a＝6．
∴所求直线的方程为 x＋y－2＝0 或 x＋y－6＝0．
综上所述，所求直线的方程为 x－y＝0 或 x＋7y＝0
或 x＋y－2＝0 或 x＋y－6＝0．
类型二 两条平行线间的距离
【例 2】 已知直线 l1：2x－7y－8＝0，l2：6x－21y－21＝0，
本课结束
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[跟进训练] 1．求在两坐标轴上截距相等，且到点 A(3,1)的距离为 2的 直线的方程． [解] ①当直线过原点时， 设直线的方程为 y＝kx，即 kx－y＝0． 由题意知|3kk2－＋11|＝ 2，解得 k＝1 或 k＝－17． ∴所求直线的方程为 x－y＝0 或 x＋7y＝0．
②当直线不经过原点时，
A．75
B．175
C．145 D．23
C [l1 的方程可化为 9x＋12y－6＝0， 由平行线间的距离公式得 d＝|－962＋＋11202|＝145．]
3．两平行直线 3x＋4y＋5＝0 与 6x＋ay＋30＝0 间的距离为 d，
则 a＋d＝
．
10 [由两直线平行知，a＝8，d＝ |1352－＋54|2＝2，∴a＋d＝10．]
[跟进训练] 2．求与直线 l：5x－12y＋6＝0 平行且到 l 的距离为 2 的直线的方程． [解] 法一：设所求直线的方程为 5x－12y＋m＝0， ∵两直线的距离为 2， ∴ |562－＋m1|22＝2，∴m＝32 或 m＝－20． ∴所求直线为 5x－12y＋32＝0 或 5x－12y－20＝0．
【合作探究】
类型一 点到直线的距离
【例 1】 求过点 M(－2,1)且与 A(－1,2)，B(3,0)两点距离 相等的直线的方程． [解] 当直线的斜率不存在时，直线为 x＝－2， 它到 A、B 的距离不相等， 故可设直线方程为 y－1＝k(x＋2)，即 kx－y＋2k＋1＝0． 由|－k－k22＋＋21k＋1|＝|3k＋k22＋k＋1 1|，解得 k＝0 或 k＝－12． 所求直线方程为 y＝1 或 x＋2y＝0．
(2)两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离． (3)两条平行直线 |Cl11：－ACx2＋| By＋C1＝0 与 l2：Ax＋By＋C2＝0 之间的距离 d＝ A2＋B2 ．
【初试身手】
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当点在直线上时，点到直线的距离公式仍适用． ( )
(2)点 P(x0，y0)到与 x 轴平行的直线 y＝b(b≠0)的距离 d＝y0－b．( )
【例 3】 在直线 l：3x－y－1＝0 上求一点 P，使得 P 到 A(4,1) 和 B(0,4)的距离之差最大． [思路探究] 点到直线的距离的最值问题可转化为对称问题、共线问题． [解] 如图所示， 设点 B 关于直线 l 的对称点 B′的坐标为(a，b)，则 kBB′·kl＝－1，
即 3·b－a 4＝－1． 所以 a＋3b－12＝0．① 又由于线段 BB′的中点坐标为a2，b＋2 4，且在直线 l 上， 所以 3×a2－b＋2 4－1＝0．即 3a－b－6＝0，②
[解] 如图所示， 设点 C 关于直线 l 的对称点为 C′， 求出点 C′的坐标为35，254． 所以 AC′所在直线的方程为 19x＋17y－93＝0， AC′和 l 的交点坐标为171，276．故 P 点坐标为171，276为所求．
规律方法 求最值问题的处理思路 (1)利用对称转化为两点之间的距离问题． (2)利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离． (3)利用距离公式转化为一元二次函数的最值问题．
【课堂小结】
1．点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小 值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程 化为一般式．当直线与坐标轴垂直时可直接求之． 2．利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合 图形，数形结合，会使问题更加清晰． 3．求两平行直线间的距离，即可利用公式 d＝ |CA1－2＋CB22| 求解， 也可在已知直线上取一点，转化为点到直线的距离． 4．本节课的易错点是求两条平行线间距离时易用错公式．
【学以致用】
1．点(5，－3)到直线 x＋2＝0 的距离等于( )
A．7
B．5
C．3
D．2
A [直线 x＋2＝0，即 x＝－2 为平行于 y 轴的直线，
所以点(5，－3)到 x＝－2 的距离 d＝5－(－2)＝7．]
2．两条平行线 l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0 间的距离 等于( )
法二：设所求直线的方程为 5x－12y＋c＝0． 在直线 5x－12y＋6＝0 上取一点 P00，12， 点 P0 到直线 5x－12y＋c＝0 的距离为 d＝－521＋2×－12＋12c2＝|c－136|， 由题意得|c－136|＝2，则 c＝32 或 c＝－20． ∴所求直线的方程为 5x－12y＋32＝0 或 5x－12y－20＝0．
规律方法 点到直线的距离的求解方法 (1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程， 直接应用点到直线的距离公式求解即可． (2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线 x＝a 或 y＝b，求点到它 们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写 成 d＝|x0－a|或 d＝|y0－b|． (3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距 离公式列方程求解参数即可．