函数的零点与二分法

函数的零点与二分法

一、目标认知

学习目标

(1) 进一步了解函数的广泛应用；

(2) 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数零点与方程根的联系；

(3) 根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求函数零点的近似解，了解这种方法是求函数零点近似解的常用方法. 重点

理解函数零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点，能够借助计算器或计算机用二分法求函数零点的近似解.

难点

对函数零点的性质，二分法求函数零点近似解的原理及隐含其中的数学思想方法的理解.

二、知识要点梳理

知识点一、函数的零点

1.函数的零点

一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.

要点诠释：函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．

2.二次函数零点的判定

二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表.

判别式方程的根函数的零点

两个不相等的实根两个零点

两个相等的实根一个二重零点

无实根无零点

3.二次函数零点的性质

①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.

②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.

引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立.

4.二次函数的零点的应用

①利用二次函数的零点研究函数的性质，作出函数的简图.

②根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号，观察函数的一些性质.

引伸：二次函数的零点的应用可推广到一般函数.

5.变号零点与不变号零点

如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，

则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使.如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点，如果没有穿过x轴，则称这样的零点为不变号零点.

知识点二、二分法

1.二分法

所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法.

2.用二分法求函数零点的一般步骤：

已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度.

第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中.

第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为.计算和，并判断：①如果，则就是的零点，计算终止；

②如果，则零点位于区间中，令；

③如果，则零点位于区间中，令

第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为.计算和，并判断：①如果，则就是的零点，计算终止；

②如果，则零点位于区间中，令；

③如果，则零点位于区间中，令；

继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止.这时函数的近似零点满足给定的精确度.

三、规律方法指导

1.如何求函数的零点？答：求函数的零点即为求出相应方程的解或函数图象与轴交点的横坐标.

2.如果函数在其定义域内为单调函数，则函数在其定义域内最多有几个零点？答：单调函数在其定义域内最多有一个零点.