永安三中2023届高一(下)第一次月考--数学

永安市第三中学高中校2020级高一下学期3月份月考数学试卷

（考试时间：120分钟 总分：150分） 第Ⅰ卷（非选择题 共60分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1、已知复数(1)2ai i bi +=-，,a b R ∈，则a b += ( ) A.

3 B.

1 C.

1-

D.

3-

2、已知复数2

4(2)z m m i =-+-，（m R ∈），则“2m =-”是“z 为纯虚数．．．”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3、在ABC ∆中，若

sin cos A B

a b

=, 则B =（ ） A.

6π B.4

π

C.3

π

D.

4

3π 4、在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，

75,60,4===C B a ，则b =（ ）

A . 62

B . 52

C . 32 D.

311 5、已知向量,a b ，其中||3a =，||2b =，且()a b a -⊥，则向量a 和b 的夹角是（ ）

A ．

6π B ．3

π

C ． 23π

D ．

56π 6、在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若sin()sin()22

a B

b A π

π

-=-，

则ABC ∆的形状一定是（ ）

A . 直角三角形

B . 等腰三角形

C . 等边三角形

D . 等腰直角三角形 7、已知(3,2)AB =，(,3)AC λ=，且||1BC =，则AB BC ⋅=( ) A.

3-

B.

2- C. 2

D.

3

8、如图在ABC ∆中，D 是BC 的中点，E 是AD 的三等分点（靠近D 点），若

CE r AB s AC =+（,r s R ∈），则r s += ( )

A ．1 B.

13 C ．23- D ．1

3

- 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9、在复平面内点,,A B C 所对应的复数分别为1231,2,12z i z i z i =+==-,则下列结论正确的是( )

A. 3z 的共轭复数3z 虚部为2i

B. 2

1

|

|z z = C. 2

1z 为纯虚数

D. 若AD BC =，则点D 对应的复数是23i +

10、下列命题中,正确．．的命题为（ ） A . 对于向量,a b ，若||||a b =，则a b =或a b =- B .若e 为单位向量，且a ∥e ，则||a a e =±；

C .若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线

D . 四边形ABCD 中，AB CD AD CB +=+

11、设平面向量,,a b c 两两所成的夹角相等，且||1a =，||1b =，||3c =，则||a b c ++的值可能为( )

A ．2

B ．3

C ．5

D 12、在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=+,则下列叙述 正确的有（ ）

A. 3

A π

=

B. 若2a =,则ABC ∆的面积的最大值为

3

C. 若2AB =,3AC =,且2CE EB =, 则23

AE CB ⋅=

D. 若b =，且满足条件的ABC ∆不存在．．．

，则边a 的取值范围是a >

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13、若(1)1z i i +=-，则||z = ．

14、设平面向量(1,2),(2,)a b λ==-，若//a b ，则|3|a b += ． 15、如图，冠豸山上原有一条笔直的山路BC ，现在又新架设了一条索道AC ，

小李在山脚B 处看索道AC ，测得张角

120=∠ABC ；从B 处攀登4千米到达D 处，回头看索道AC ，测得张角

150=∠ADC ；

从D 处再攀登8千米方到达C 处，则索道AC 的长为 千米．

16、在ABC ∆中有如下结论：“若点M 为ABC ∆的重心，则0MA MB MC ++=”．设,,a b c 分别为

内角,,A B C 的对边，点M 为ABC ∆的重心. 若3

03

aMA bMB cMC ++=，

则内角A 的大小为 _；当3a =时，ABC ∆的面积为 _.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17、（本题共10分） 设复数ai z +=21（其中R a ∈），234z i =-．

（Ⅰ）若21z z +是实数，求21z z ⋅的值；

（Ⅱ）若2

1

z z 是纯虚数，求1z ．

18、（本题共12分） 已知两个非零向量

,a b ．

（Ⅰ）若向量,a b 是夹角为120°的单位向量．．．．

，试确定实数，使k a b +和a b -垂直； （Ⅱ）若,26,2()AB a b BC a b CD a b =+=+=-，求证：三点共线．

k ,,A B D