几何法求空间角二面角(最新人教版优质教案)( 含解析 )

任务检查
二面角
问题定位
1在正方体中，截面与底面所成二面角的正切值为（）
A．B．C．D．
答案C
解答
如图，连接交于点，连接，
在正方形中，为中点，
在正方形中，，
，
又在正方形中，，
即为二面角的平面角，
设，
在中，，
故截面与底面所成二面角的正切值为，
故选．
2如图，空间四边形中，，对角线，，求二面角的大小．
答案．
解答取的中点，连接，，如图所示，
，，
，
，
和是等腰直角三角形，
又点是的中点，
，，
是二面角的平面角，
，，
由余弦定理得，
，
，
，
具体步骤作、证、求
常用方法
方法一：棱上一点双垂线法
在棱上任取一点(特殊点)，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的
平面角.
即二面角的大小为
．
原因分
析
精准突破
二面角的平面角如图所示，在二面角的棱上任取一点，以为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线
和
，则射线
和
构成的
叫做二面角的平面角．二面角的范围为，.
3如图所示，已知三棱锥
，，，，为的中点，且
是正三角形，
．
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的正弦值．
(1)
答案详见解答过程．
解答，为中点，
，
又为正三角形，
，
，
故为直角三角形，即，
，又，
，、在面内，
面，又面，
，
又已知，
，、在面内，
面，
又面，
面面．
详见解答过程．
解答
如图所示，取中点，中点，
连接、、，
由⑴知，为等腰又为中点，
，
又，，，
又面面，面，面，
即为所求角，
又，，，
，，
在中，，
在中，，
在中，，
，
，
在中，，
为直角三角形，即，
．
4如图，在四棱锥A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=.
(1)证明:DE⊥平面ACD;
(2)求二面角B-AD-E的大小.
答案见解析
解答(1)在直角梯形BCDE中,由DE＝BE＝1,CD＝2,得BD＝BC＝2,
222
由AC＝2,AB＝2,得AB＝AC＋BC,即AC⊥BC.
又平面ABC ⊥平面BCDE.从而AC ⊥平面BCDE.所以AC ⊥DE.又DE ⊥DC,从而DE ⊥平面
ACD.
(2)作BF ⊥AD,与AD 交于点F,过点F 作FG ∥DE,与AE 交于点G,连接BG,由第1问知DE ⊥AD,则FG ⊥AD.所以∠BFG 是二面角B A D E 的平面角.在直角梯形BCDE 中,由CD ＝BC ＋BD ,得BD ⊥BC,又平面ABC ⊥平面BCDE,得BD ⊥平面ABC,从而BD ⊥AB.由于AC ⊥平面BCDE,得AC ⊥CD.在Rt △ACD 中,由DC ＝2,AC ＝,得AD ＝,在Rt △AED 中,由ED ＝1,AD ＝,得AE ＝
.在Rt △ABD 中,由BD ＝
,AB ＝2,AD ＝
,得BF ＝
,AF ＝
AD.从而GF ＝.
在△ABE,△ABG 中,利用余弦定理分别可得cos ∠BAE ＝,BG ＝
.
在△BFG 中,cos ∠BGF ＝.
所以,∠BFG ＝
,即二面角B -AD -E 的大小是
.2225如图，在矩形
中，
，
，点在线段上且，现分别沿，
将，
翻折，使得点落在线段
上，则此时二面角的余弦值
为（
）
A ．
B ．
C ． D
．
答案D
解答在折叠前的矩形中连接BD 交EC 于O ，
方法二：面上一点三垂线法
自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上
一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角.
∵BC =4，CD =2，CD =2，DE =1，∴BC ：CD =CD ：DE ,即△BCD ∽△CDE ，∴∠DBC =∠ECD ，∴∠DBC =∠ECD ，
∴∠ECD +∠ODC =90∘，即BD ⊥CE ，折起后，
∵BD ⊥CE ，DO ⊥CE ，
∴∠BOD 是二面角D −EC −B 的平面角，在△BOD 中,OD =
BD =
由余弦定理得cos ∠BOD =
，OB =BD −OD =
，
，
6已知在四棱锥一
中，底面是矩形，平面，
，
，、分别是
、
的中点．
(1)求证：平面；
(2)求与平面所成角的正切值；
(3)求二面角的正切值．
(1)
答案见解析．
解答取的中点，连接、，如图所示：
是的中点，
是的中位线，
，且，
在矩形中，，，
又是的中点．
．
，，
四边形是平行四边形．
又平面，平面
平面．
(2)
答案．
解答连接，如图所示：
平面，
是直线与平面所成的角的平面角，底面是矩形，
，，
在中，，在中，，
即直线与平面所成的角正切值为．
(3)
答案．
解答作，交的延长线于，连接，如图所示：
平面，
是在平面上的射影，
由三垂线定理，得，
是二面角的平面角
，，
，
，
可得，
二面角一一的正切值为．
7如图，在四棱锥中，底面是矩形，已知，，，，．
(1)证明平面．
(2)求异面直线与所成的角的正切值．
(3)求二面角的正切值．
(1)
答案见解析．
解答依题意，在中，，，，
则，
，
在矩形中，，
又，
平面，平面，
平面．
(2)
答案．
解答由题设，底面是矩形，
，
（或其补角）是异面直线与所成的角．
其中，，，，，
在中，由余弦定理得
，由知平面，平面，
，
又，
，
则是直角三角形，
故，
异面直线与所成的角的正切值为：．
(3)
答案．
解答依题意，过点做于，过点做于，连结，
由知，平面，平面，
方法三：空间一点垂面法
自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。

，
又
，
平面
，
平面
，
，平面
，
故
为
再平面
内的射影，
由三垂线定理可知，
，
是二面角
的平面角，
由题设可得，
，
，
，
，
又底面
是矩形，
，
其中
，，，，
，
则在
中，
，
二面角的正切函数值为．
8在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，P A ⊥平面ABCD ，P A=AB=a ，求B-PC-D 的大小
答案
解答如图，P A ⊥平面ABCD ，BD ⊥AC
BD ⊥PC
过BD 作平面BDH ⊥PC 于H
PC ⊥DH 、BH
（拓展）方法四：投影法
利用面积射影公式S ＝S cos ,其中为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角.
∠BHD 为二面角B-PC-D
的平面角。

因PB=a ，BC=a ，PC=a ,　PB·BC=S △PBC =PC·BH ，则BH==DH ，　
又BD =
在△BHD 中由余弦定理，得：
cos ∠BHD ＝，
又0＜∠BHD ＜π ，则∠BHD =，二面角B-PC-D
的大小是
射原9
如图①，在矩形
中，
， 是
的中点，将三角形
沿
翻折
到图②的位置，使得平面 平面
.（1）在线段上确定点
，使得
平面
，并证明；（2）求
与
所在平面构成的锐二面角的正切值.
答案见解析解答(Ⅰ)点
是线段
中点时， 平面.
证明：记
，
的延长线交于点
，因为
，所以点
是
的中点，所以
.
而
在平面
内， 在平面
外，所以
平面
.
(Ⅱ)在矩形
中，
，
，
因为平面 平面，且交线是，所以 平面.
在平面内作 ，连接，则 .
所以就是与所在平面构成的锐二面角的平面角.
因为, ，所以.
课中巩固
10如图，三棱柱中，四边形是菱形，，面，二面角为，．
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的余弦值．
(1)
答案详见解答过程．
四边形为菱形，
，
面，，
面，
平面，
，
、面，
且，
平面，
又平面，
平面平面．
(2)
．
解答四边形为菱形，，
为正三角形，
取的中点，连接，，如图：
，
又面，
，
，
为二面角的平面角，即，
，
，
，
过、的交点作，垂足为，连接，如图：
由⑴得平面，
，
，
为二面角的平面角，
由可得：
，
又，
，
，
二面角的余弦值为．
11（2016浙江）如图，在三棱台中，已知平面平面，，
，，．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
答案（1）见解析；（2）
解答（1）延长，，相交于一点，如图所示．因为平面平面，且
，所以，平面，因此，．又因为，
，，所以为等边三角形，且为的中点，则．所以平面
．
（2）过点作，连结．
因为平面，所以，则平面，所以．所以，是
二面角的平面角．在中，，，得．在
中，，，得．
所以，二面角的平面角的余弦值为．
12如图，在矩形中，点在线段上， ， ，沿直线将
翻折成，使点在平面上的射影落在直线上.
（Ⅰ）求证：直线平面；
（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值.
答案见解析
解答（Ⅰ）证明：在线段上取点，使，连接交于点.
正方形中， ， 翻折后， ，，
又 ， 平面，
又 平面， 平面平面
又平面平面 ，
点在平面上的射影落在直线上，
又点在平面上的射影落在直线上，
点为直线与的交点，
平面即平面， 直线平面；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得是二面角的平面角的平面角.
，在矩形中，可求得， .
在中， ，
二面角的平面角的余弦值为.
13在如图所示的几何体中，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，AB=3，BC=BE=7，△DCE是边长为6的正三角形.
（1）求证：平面DEC⊥平面BDE；
（2）求二面角C—BE—D的余弦值.
答案（1）见解析；（2）.
解答(1)证明：因为四边形ABCD为直角梯形，
AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,AB=3,所以BD=，
又因为BC=7，CD=6，所以根据勾股定理可得BD⊥CD，
因为BE=7，DE=6，同理可得BD⊥DE.
因为DE∩CD=D，DE⊂平面DEC，CD⊂平面DEC，
所以BD⊥平面DEC.
因为BD⊂平面BDE，
所以平面DEC⊥平面BDE；
(2)在△CBE中,BC=7,CE=6,BE=7,∴S△CBE=，
在△BED中,BD=,DE=6,BE=7,∴S△BED=，
【补救学习】
【拓展提升】
∴二面角C −BE −D 的余弦值为
总结优化
14
正方体ABCD -A B C D 中，二面角B -
A D -C 的大小为______．
1111111答案
解答
如图，A B ⊂半平面A D C ，
A B ⊥A D ；同理易知，BA ⊥A D
；
故∠BA B
是二面角B −A
D −C 的平面角，又∵
ABCD −A B C D 是正方体，∴∠BA B =
1111111111111111111111115
如图，棱长为的正方体的顶点在平面
内，三条棱,
, 都在平面
的同侧.
若顶点
,
到平面
的距离分别为,
，则平面
与平面
所成锐二面角的余弦值
为________
答案
解答略
16已知三棱锥的底面积是边长为的正三角形， 点在侧面内的射影为的垂心，二面角的平面角的大小为，则的长为（ ）
A. 3
B.
C.
D. 4
答案C
解答连结交于点，连结，设在底面内的射影为，则平面，连
结交于点
∵点在侧面内的射影为的垂心
∴平面，
∴
∵， 平面， 平面
∴平面
∴
∵平面， 平面
∴
∵， 平面， 平面
∴平面
∵平面
∴
同理可证
∴是的垂心
∴三棱锥为正三棱锥
∵三棱锥的底面是边长为的正三角形
∴， ，则
∵二面角的平面角的大小为
∴为二面角的平面角
在中， ，
∴
在中， ，
∴
立体几何综合问题
问题定位
17（2017浙江）如图,已知正四面体D-ABC(所有棱长均相等的三棱锥),P,Q,R分别为AB,BC, CA上的点,AP=PB, ==2.分别记二面角D-PR-Q,D-PQ-R,D-QR-P的平面角为α,β,γ,则 ( )
A.γ<α<β
B.α<γ<β
C.α<β<γ
D.β<γ<α
答案B
解答设O为三角形ABC中心，则O到PQ距离最小，O到PR距离最大，O到RQ距离居中，而高相等，因此α<γ<β.故选B.
原因分析
线面角是直线与平面内的直线所成角的最小值；
二面角是平面内的直线与另一平面所成线面角的最大值
精准突破
最小角定理
18
（2019浙江）设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含
端点），记直线
与直线
所成角为
，直线
与平面
所成角为
，二面角
的平面角为
，则（ ）
A.
B. C. D.
答案B
解答方法1
：如图
为
中点，在底面的投影为，则
在底面投影在线段上，
过作垂直，易得，过作
交于，过作，交
于
，则
，则
，即
，，即，
综上所述，答案为B.
方法2：由最小角定理，记的平面角为（显然）
由最大角定理
，故选B.
方法3：（特殊位置）取
为正四面体，为中点，易得
，故选B.
19
已知四棱锥S −ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为θ，SE 与平面ABCD 所成的角为θ，二面角S −AB −C 的平面角为θ，则（ ）[A ．θ≤θ≤θ B ．θ≤θ≤θ C ．θ≤θ≤θ D ．θ≤θ≤θ123123321132231
答案D
解答设O 为正方形ABCD 的中心，M 为AB 中点，过E 作BC 的平行线EF ，交CD 于F ，过O 作ON 垂直EF
于N ，连接SO ，SN ，OM ，则SO 垂直于底面ABCD ，OM 垂直于AB ， 因此从而因为
，所以
即
，选D.
点睛：线线角找平行，线面角找垂直，面面角找垂面.
20已知四面体SABC 中，二面角B-SA-C ，A-SB-C ，A-SC-B 的平面角的大小分别为，则（
）
A ．
B ．
C． D．
答案C
解答
课中巩固
21如图，正四面体ABCD中，P、Q、R在棱AB、AD、AC上，且AQ=QD，==，分别记二面角A﹣PQ﹣R，A﹣PR﹣Q，A﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（ ）
A．β＜γ＜α B．γ＜β＜α C．α＞γ＞β D．α＞β＞γ
答案D
解答观察可知，α＞β＞γ，
α为钝角，β，γ均为锐角，β平缓一点，γ陡急一点，
【补救学习】
∴
，
则α＞β＞γ，故选：D
．
22如图所示，已知三棱锥A-BCD 的所有棱长均相等，点E 满足，点P 在棱AC 上运动，设
EP 与平面BCD 所成角为，则
的最大值为____________。

答案
解答
总结优化
【拓展提升】
23如图所示，已知三棱锥D-ABC ，记二面角C-AB-D 的平面角是，直线DA 与平面ABC 所成的角是，直线DA 与BC 所成的角是
，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D
．
答案A
解答
24
如图，在三棱锥A-BCD 中，平面ABC
平面BCD ，
与BCD
均为等腰直角三角形，且
，BC=2，点P 是线段AB 上的动点，若线段CD 上存在点Q ，使得异面直
线PQ 与AC 成30 的角，则线段PA 长的取值范围是（ ）A ．
B ．
C ．
D
．
0答案B
解答
效果验证
25已知，分别是正三棱柱的侧棱和上的点，且
．求过，，的平面与棱柱的下底面所成的二面角的大小．
答案．
解答略
26已知两个平面和三条直线，若，且，，设和所成
的一个二面角的大小为，直线和平面所成的角的大小为，直线所成的角的大小为
，则
A． B．
C．， D．，
答案D
解答
27如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，且PD＝AD＝1，AB＝2，点E 是AB上一点，当二面角P－EC－D的平面角为时，AE＝( )
A ． 1 B. C ．2－ D ．2－
答案D
解答过点D 作DF ⊥CE 于F ，连接PF
∵PD ⊥平面ABCD ，∴DF 是PF 在平面ABCD
内的射影∵DF
⊥CE ，
∴PF ⊥CE ，可得∠PFD 为二面角P −EC −D 的平面角，即∠PFD =Rt △PDF 中，PD =DF =1
∵矩形ABCD 中，△EBC ∽△CFD ∴
，得
Rt △BCE 中，根据勾股定理，得BE ==
∴AE =AB −BE =2−
28如图所示，在侧棱垂直于底面的三棱柱中，
是棱BC 上的动点.记直线A P 与平
面ABC 所成的角为，与直线BC 所成的角为，则
的大小关系是（ ）
A.
B.
C.
D.不能确定
1答案
解答
温故知新
29在三棱柱中，侧棱底面， ，且，则
二面角所成角的余弦值 .
答案
解答略
30在三棱锥中，平面，，分别是的中点，
，且.设与所成角为，与平面所成角为，二面角
为，则（）
A. B. C. D.
答案A
解答略
31如图，长方形，分别为上异与点的两点，现把△沿着翻
折，记与平面所成的角为，直线与直线所成的角为，则与的大小关系是（）
(A) (B)
(C) (D) 不能确定
答案C
解答略
32如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.
(1)求证:平面PAC平面PBC.
(2)若AB=2,AC=1,PA=1,求二面角C-PB-A的余弦值.
答案(1)见解析；(2)
解答(1)由AB是圆的直径，得AC⊥BC.
由P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得P A⊥BC.
又P A∩AC＝A，P A⊂平面P AC，AC⊂平面P AC，
所以BC⊥平面P AC.
因为BC⊂平面PBC，
所以平面PBC⊥平面P AC.
(2)过C作CM⊥AB于M.
因为P A⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，所以P A⊥CM，故CM⊥平面P AB.
过M作MN⊥PB于N，联结NC.
由三垂线定理得CN⊥PB.
所以∠CNM为二面角C－PB－A的平面角．
在Rt△ABC中，由AB＝2，AC＝1，得BC＝，CM＝，BM＝.
在Rt△P AB中，由AB＝2，P A＝1，得PB＝.
因为Rt△BNM∽Rt△BAP，所以，
故MN＝.
又在Rt△CNM中，CN＝，故cos∠CNM＝.
所以二面角C－PB－A的余弦值为.
【第七天】
33如图，四边形ABCD为直角梯形，AD//BC BAD=90˚，P A底面ABCD，且P A=AD=AB=2BC，
M、N分别为PC、PB的中点
①求证：PB DM
②求BD与平面ADMN所成角的大小
③点E在线段P A上,试确定点E的位置,使二面角A−CD−E为.
答案见解析
解答①∵N是PB的中点，P A=AB，∴AN⊥PB.
∵P A⊥平面ABCD，所以AD⊥P A.
又AD⊥AB，P A∩AB=A，∴AD⊥平面P AB，AD⊥PB.
又AD∩AN=A，∴PB⊥平面ADMN.
∵DM⊂平面ADMN,∴PB⊥DM.
②连结DN，∵PB⊥平面ADMN，
∴∠BDN是BD与平面ADMN所成的角。

在Rt△BDN中,sin∠BDN=，
∴BD与平面ADMN所成的角是.
③作AF⊥CD于点F，连结EF，
∵P A⊥底面ABCD∴CD⊥P A
∴CD⊥平面P AF∴CD⊥EF
∴∠AFE就是二面角A−CD−E的平面角
若∠AFE=，则AE=AF
由AF⋅CD=AB⋅AD,可解得AF=
∴当AE=时,二面角A−CD−E的平面角为.
31
【第十五天】
34如图，ABCDEF是由两个全等的菱形ABEF和CDEF组成的空间图形，AB=2,.
（1）求证：;
（2）如果二面角B-EF-D的平面角为，求直线BD与平面BCE所成角的正弦值.
答案见解析
（Ⅰ）如图，取的中点，连接、
在菱形中，∵，∴是正三角形，∴，
同理在菱形，可证，
∴平面，∴
又∵，∴.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，就是二面角的平面角，即，
又，所以是正三角形，故有，
如图，取的中点，连接，则，
又由（Ⅰ）得，
32
所以，平面，且，
又，
在直角中，，
所以，
设到平面的距离为，则
，
，
所以，故直线与平面所成角正弦值为.
33。