浙江大学 1998 年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目 量子力学第一题

浙江大学1998 年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目量子力学第一题：（10 分）（1）写出玻尔-索末菲量子化条件的形式。

（2）求出均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。

（利用玻尔-索末菲量子化条件r 求，设外磁场强度为B ）第二题：（20 分）（1）若一质量为? 的粒子在一维势场V ( x) = ? 级。

（2）若某一时刻加上了形如e sin 为一已知常数）。

? 0, 0 ≤x ≤ a 中运动，求粒子的可能能? ∞, x > a , x < 0 ωx a ，e （1 ）的势场，求其基态能级至二级修正（ω?1 2 2 ? ?ωx , x > 0 ，求粒子（质量为? ）的可能的能级。

（3）若势能V ( x ) 变成V ( x ) = ? 2 ? ∞, x<0 ? 第三题：（20 分）氢原子处于基态，其波函数形如ψ= ce ? r a ，a 为玻尔半径，c 为归一化系数。

（1）利用归一化条件，求出c 的形式。

（2）设几率密度为P ( r ) ，试求出P ( r ) 的形式，并求出最可几半径r 。

（3）求出势能及动能在基态时的平均值。

? ? （4）用何种定理可把< V > 及< T > 联系起来？第四题：（15 分）?2 ?2 ?2 ? = Lx + Ly + Lz ，转子的轨道角动量量子数是 1 ，一转子，其哈密顿量H 2I x 2I y 2I z ? ? ? （1）试在角动量表象中求出角动量分量Lx ，Ly ，Lz 的形式；? （2）求出H 的本征值。

第五题：（20 分）若基态氢原子处于平行板电场中，电场是按下列形式变化E = ? r ? 0, ? ?ε0 e ? ?t t≤0 η, t >0 ，η为大于零? 的常数，求经过长时间后，氢原子处于2P 态的几率。

设H ′为微扰哈密顿，（( ) ? H′100,210 = 28 aε0 e ?ηt ? ? 5 ?e ；t > 0）H′（当3 2 ( ) 100,21±1 = 0）。

第六题：（15 分）（1）用玻恩近似法，求粒子处于势场V ( x ) = ?V0 e （设粒子的约化质量为? ）。

（2）从该问题中，讨论玻恩近似成立的条件。

? r a ，a > 0 ）中散射的微分散射截面。

（浙江大学1999 年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目量子力学第一题：（10 分）（1）试求出100ev 的自由电子及能量为0.1ev 、质量为1 克的质点的德布罗意波长。

( 1ev = 1.6 ×10 ?19 J , h = 6.6 ×10?34 J ? s ) （2）证明一个自由运动的微观粒子对应的德布罗意群速度vg ，即为其运动速度v 。

第二题：（10 分）（1）证明定态中几率流密度与时间无关。

（2）求一维无限深势阱中运动的粒子在第n 个能级时的几率流密度。

第三题：（15 分）x<0 ? ∞, ? （粒子处于一维势阱V ( x) = ??U 0 , 0 ≤x ≤a （取的恒定常量）中运动，? 0, x>a ? （1）画出势能V ( x ) 的示意图，设粒子质量为? ，（2）求解运动粒子的能级E 。

?U 0 < E < 0 ）(写出E 所满足的方程) （第四题：（10 分）一维谐振子，其势能为V ( x ) = 1 2 kx ，k 为常量）（。

若该谐振子又受一恒力F 作用，试求2 其本证能量及能量本证函数。

该振子的质量为? 。

第五题：（20 分）（1）写出线性、厄米算符的定义。

（2）判断下列算符中，哪一个是线性厄米算符？? a. F1 = ? h ? ? ? ? , b. F2 = apx + bx , ( a, b 为恒定实常数) ?x ? iA ? ? c. F3 = e ，A 为线性厄米算符，i 为虚宗量。

（3）证明厄米算符对应有实得本证值。

? ? ? ? ?? ? ? ? ? （4）若算符B 、C 为厄米算符，[ B, C ]+ = BC ? CB = 0 ,若在b, c 分别为B 、C 的本证值，? 证明：①bc = 0 ,②若C = 1 ，则c 必取 c = ±1 。

2 第六题：（20 分）? E1(0) ? ? 设哈密顿算符在能量表象中形如H = ? 0 ? a ? 或 b 为实数，试0 E b (0) 2 a ? ? (0) (0) (0) 其中E1 、E2 、E3 远大于a b ?，? E3(0) ? ? ? （1）写出未微挠哈密顿量H 0 与微挠哈密顿量H ′的合理形式。

? （2）证明H 为厄米算符（E1 、E2 、E3 全为厄米算符本证值）。

(0) (0) (0) （3）若E1 （4）若E1 ( 0) ( 0) ( ( < E20) < E30 ) ，用微扰论起初其本征能量（至二级）。

( < E20) = E3( 0) ，试求其本征能量（至一级）。

第七题：（15 分）用玻恩近似计算粒子（质量为? ）被形如V ( r ) = Bδ( r ) 的势场散射时的微分散射截面，并说明其特点。

B 为常数）（r r 年攻读硕士学位研究生入学考试试题浙江大学2000 年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目量子力学第一题：（20 分）（1）下列说法哪个是正确的？对不正确的说法给予修正。

a.量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系。

b.电子是粒子，又是波。

c.电子是粒子，不是波。

d.电子是波，还是粒子。

（2）a.厄米算
符的定义是什么？算符x b.等式e ? e = e ? g f? ? g + f? d 是否厄米？dx 是否成立？何时成立？（3）若太阳为一黑体，人所能感受的太阳光能量的最大的波长为λm = 0.48? m ，太阳半径R = 7.0 ×108 m ，太阳质量m = 2 ×1030 kg ，试估算太阳质量由于热辐射而损耗1% 所需要的时间。

（斯特藩常数ζ= 5.67 ×1012 W / (cm 2 k 4 ) ）第二题：（20 分）若有一粒子，质量m ，在有限深势阱V ( x ) = ? （1）试推出其能量本征值所满足的方程。

（2）如何求能量本征值？试作出求解本征值的草图。

（3）若粒子不作一维运动，而是三维运动，V ( r ) = ? 个本征能的条件。

? 0, ? ?V0 , ? x ≤a 中运动，V0 为某一正常数。

x >a ? 0, 0 < r < a ，试求出至少存在一r≥a ?V0 , 第三题：（20 分）? ? （1）量子力学中，H 不显含时间，若? 则力学量A 为守恒量的定义是什么？守恒量A 的本征态有何特点？（2）本征值简并的概念是如何表述的？一维运动的粒子（势场为V ( x ) ），其能级是否简并？? （3）在一维势场V ( x ) 中运动的粒子，其动量Px 是否守恒？（4）试说出氢原子问题中的量子跃迁的选择定则的内容。

第四题：（25 分）若一二维谐振子哈密顿量为：? ? ? H = H0 + H ′1 1 ? ?2 ?y H0 = ( px + p 2 ) + ?ω 2 ( x 2 + y 2 ) 2? 2 ? H ′= 2λxy ，λ为一小量）（（1）用微扰论，求其基态的能量修正（至λ项）及第一激发态的能量修正（至λ项） 2 （2）如何求出非微扰论的本征能量？试求之，并同微扰论的结果比较。

（3）相干态的定义为：α= e? α 2 2 ∑n=0 ∞αn n! ? ? n ，H 0 为一维线性谐振子的哈密顿量，H 0 n = En n ，1 En = (n + )hω，试证明，相干态是测不准关系取最小值时的状态。

2 第五题：（15 分）质量为m 的粒子受到势能为V ( r ) = a 的场的散射（a 为某一正常数），在入射能量极低的r2 l ? ? sin ? x ? π? 2 ? ? 条件下，计算其微分散射截面。

（球贝塞尔函数jl →，x →∞）。

x 浙江大学2001 年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目量子力学第一题：（15 分）（1）试确定，在3K 温度下，空腔辐射的最大能量密度所对应的光子的波长λm 是多少？（2）此时，光子的对应能量为多少？（3）光电效应中，如何测定某金属板的脱出功 A ？第二题：（20 分）设氢原子处于状态：ψ( r , θ, ? ) = 1 3 R21 (r )Y10 (θ, ? ) ? R31 ( r )Y11 (θ, ? ) 2 2 （1）问测量氢原子的能量，所得的可能值及相应的几率为多少？? （2）问测量氢原子的角动量平方L2 ，所得的可能值及相应的几率为多少？? （3）问测量氢原子的角动量分量Lz 的可能值及相应的几率为多少？第三题：（20 分）x<0 ? ∞, ? （1）一质量为m 的粒子于势场V ( x ) 中运动，V ( x) = ? 0, 0 ≤x ≤ a ? ∞, x>a ? 求该粒子的能级及对应的本征波函数？（2）若一质量为m 的粒子与势场满足的方程。

?V >0, ? V(x) = ? 0 ? 0, ? x ≥a x <a 中运动，求束缚态能级E 所（3）若一质量为m 的粒子于三维势场V ( r ) 中运动，V(r) = ? ??V0 , 0 ≤r ≤a r>a ? 0, V0 > 0 ，则若欲得二个束缚能态，其势能值V0 至少应为多少？第四题：（15 分）? （1）何谓厄米算符，试写出其定义，及判断算符A = ? ? ? （2）计算对易子[ X , P n ] 的值？（3）证明厄米算符有实的本证值？（4）试说明为何要力学量对应为厄米算符？下面二组题（五、六题与七、八题）任选一组解答。

? 是否厄米？?x 第五题：（15 分）? 证明对任何束缚态，粒子动量px 的平均值为零。

第六题：（15 分）如果氢原子的核不是点电荷，而是半径为r0 表面分布着均匀电荷的小球，计算这种效应对氢原子基态能量的一级修正。

（已知r0 a ，a 为玻尔半径）第七题：（15 分）一质量为m 的高能粒子被势场V (r ) = 波矢。

（1）用哪种方法计算其散射截面较为合理？（2）试指出在哪些方向上，散射粒子最少？?V0 ? e ? r e ?2 r ×? ? 1.125 ×r ? a a ? ? 散射，V0 较小，k 为入射? 第八题:(15 分) 试写出定态微挠论中对非简并态微扰的能级修正（至二级）浙江大学2002 年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目量子力学第一题：从下面四题中任选三题（15 分）（1）试说明光电效应实验中的“红限”现象，为何光电效应实验中有所谓截止频率的概念？（2）如何从黑体辐射实验的Planck 公式中推出Stefan 公式？（只要求给出思路）。

根据该公
式，能否做出什么测温仪器？（3）你认为Bohr 的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。

（4）你能从固体与分子的比热问题中得出哪些量子力学的概念？第二题（20 分）：设氢原子处于状态：Ψ(r ,θ, ? ) = 1 7 1 R21 (r )Y11 (θ, ? ) ? R21 (r )Y10 (θ, ? ) + R31 (r )Y1?1 (θ, ? ) 4 4 2 （1）测量该原子的能量，测得的可能值为多少？相应的几率为多少？? （2）测量该原子的角动量平方L z ，测得的可能值为多少？相应的几率又为多少？ 2 （3）测得的角动量分量Lz 的可能值和相应几率为多少？第三题：（20 分）一质量为m 的粒子处于势场V ( x ) 中运动，若（1）V ( x ) = ? ?∞? ?0 ? x >a 则该粒子的本征能量为多少？x ≤a （2）V ( x ) = aδ( x ) ， a < 0 为已知常数，则该粒子的本征能量为多少？特征长度为多少？（3）V ( x ) = ? ?V0δ( x), ? ? ∞, ? x <a ，V0 > 0 ，是一个给定的常数，则该粒子满足的方程为何？x ≥a （4）能量为E 的平行粒子束，以入射角θ射向平面x = 0 ，在区域x < 0 ，V = 0 ，在区域x > 0 ，V = ?V0 。

试从量子力学的角度，分析粒子束的反射及折射规律。

用θ及（? V ?2 n = ?1 + 0 ? 表示反射几率R 及折射几率D 。

E? ? 1 第四题：（15 分）? （1）如何证明一个算符为厄米算符？算符A = ihx d 是否为厄米算符？dx ? ? （2）若[ x, px ] = ih ，计算对易子? x 3 , px 3 ? 。

?? ? ? （3）证明厄米算符对应不同本征值的本征函数相互正交。

（4）为何物理量要用厄米算符来表示？下面二组试题（五题、六题与七题、八题），任选一组解答第五题：（15 分）在一维谐振子问题中，若谐振子的质量为m 相互作用势用V ( x ) = 1 m(ω12 x 2 + ω2 x + e) 来表2 ? ? 示，其中ω1 ，ω2 ，e 为一常数。

若< x >t = 0 = 0 ，< p >t = 0 = 0 ，问其位移x 的平均值与时间的关系为何？第六题：（15 分）如果有一二能级系统 1 ，2 ，其相应的能级的能量分别为E1 ，E2 ，哈密顿算符的有关矩阵元为? 1 H 1 = E1 + b ，? 2 H 2 = E2 + b ，? ? 1 H 2 = 2 H 1 =a 其中E1 ，E2 ，a ，b 为已知常数，满足一切近似条件。

问：（1）若以1 ，2 为零级近似波函数，至一级近似，本征能量为何？（2）至二级近似，本征能量为何？第七题：（15 分）若有一质量为m 的低能粒子被一强势场散射，若散射时的有效质量为? ，势场形式为??V , r < a V (r ) = ? 0 ，V0 > 0 ， a 为一已知常数。

问：? 0, r ≥ a （1）使用玻恩近似还是用分波法比较合适？（2）试问相移δL 的正弦与散射势能及散射波函数的关系为何？（3）求出零级近似下的微分散射截面。

（4）若不知道势场V ( r ) 的具体形式，能否利用散射实验来确定V ( r ) ？第八题：（15 分）试证固体物理中常用的Thomas-Reiche-Kuhn 求和规则：? ∑( En ? Ea ) n x a n 2 = h2 ，其中n ， a 为系统的二个任意的能态，En ，Ea 为任意2m 两个能级的能量，m 为粒子的质量。

浙江大学2003 年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目量子力学第一题（35 分）： 1.如果ψ 1 和ψ 2 是某一体系含时薛定谔方程的两个解1）它们的线性迭加ψ= aψ 1 + b ψ 2 ，a ，b 是常数）（，是否满足同样的含时薛定谔方程？2）若令ψ′= ψ1ψ 2 ，你认为ψ′是否满足同样的含时薛定谔方程？2.质量相同的两个粒子分别在宽度不同的两个一维无限深势阱中，试问窄势阱中粒子的基态能量低，还是宽势阱中的基态能量低？3.1）你是否认识这三个矩阵?0 1? ? ? ?1 0? ? 0 ?i ? ? ? ?i 0 ? ?1 0 ? ? ? ? 0 ?1 ? 在量子力学中他们称为什么？? ? ? ? 2）大家知道，[ x, p ] = ih 为量子力学中最基本的对易关系（这里x 和p 分别是位置算符? ? ? 和动量算符）你是否记得角动量Lx ，Ly ，Lz 之间的对易关系？请写出来！? ? ? ? ? ? ? ? ? 3）请算一下? ? Lx , Ly ? , Lz ? + ? ? Ly , Lz ? , Lx ? + ? ? Lz , Lx ? , Ly ? = ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? 第二题（20 分）：有一个双势阱（与量子前沿问题有关）? ∞? ?V ? 0 ? 0 V ( x) = ? ? ?V0 ?1 ? V0 ?2 x<0 0< x<a a < x < 2a 2a < x < 3a 3a < x 试写出各区域内波函数的合理形式以及连接各区域的边界条件（不必具体求解）这里V0 > 0 ，第三题（25 分）：处在均匀电场中的二维带电谐振子的哈密顿量为1 ? H= ( px2 + p y2 ) + 1 mω 2 ( x2 + y 2 ) + eEx （其中电场强度E 为常数）2m 2 （1）求出其能级。

（2）
电场 E 的大小会产生什么影响？第四题（20 分）如果把原子实看作由一个点核和价电子均匀分布在半径为a0 的球内所组成，：? ze 2 r ? ? 那么其散射势可表示为V ( r ) = ? r R ? 0 ? r < a0 r > a0 其中R = 2 a0 ，试用玻恩近似求微分截面。

ze 2 浙江大学2004 年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目量子力学第一题（35 分）：? ? （1）由正则对易关系[ x, p ] = ih 导出角动量的三个分量Lx = y ? ? ?z ?z ?y Ly = z ? ? ?x ?x ?z Lz = x ? ? ?y ?y ?x 的对易关系。

（2）证明厄米算符的本征值为实数。

（3）什么是量子力学中的守恒量，它们有什么性质。

（4）写出测不准关系，并简要说明其物理含义。

（5）写出泡利矩阵ζx =? ? ?1 0? ?0 1? ζy =? ?i ? 0 ?i ? ? 0? ζz =? ? ? 0 ?1 ? ?1 0? 满足的对易关系。

第二题（30 分）：二维谐振子的哈密顿量为H = （1）求出其能级。

1 1 ?x ?y ( p 2 + p 2 ) + m(ω1 x 2 + ω2 y 2 ) 2m 2 （2）给出基态波函数。

（3）如果ω1 = ω2 ，试求能级的简并度。

第三题（30 分）：有一个质量为m 的粒子处在如下势阱中?∞??V ? V ( x) ? 0 ? V0 ? 0 ? x<0 0< x<0 a < x < a+b a+b < x （这里V0 > 0 ）（1）试求其能级与波函数。

（2）问通过调节势阱宽度 a ，能否让势阱中的粒子有一定的几率穿透出来。

（3）如果你认为可以，试确定参数 a 的取值范围。

第四题（20 分）：原子序数较大的原子的最外层电子感受到的原子核和内层电子的总位势可以表示为V (r ) = ? e2 e2 ?λ 2 ，λr r 1 试求其基态能量。

第五题（20 分）：求哈密顿量为H = ζ 1 ζ 2 + ζ 1 ζ 2 + λζ 1 ζ 2 的本征值和本征矢量，试分析x x x y z z α= 1 时有何特点。

（提示：泡利矩阵中的下标1 ，2 表示第一个粒子和第二个粒子，因此可用矩阵的直乘理解，即为ζ 1 ζ2 = ζ 1 ? ζ 2 等等）x x x x 第六题（15 分）：有一个量子体系，假如你已经知道基态和激发态的波函数分别是ψ0 ，ψ 1 ，ψ 2 ，3 ··对应于E0 < E1 < E2 < E3 ··把两个全同粒子ψ·，·，（不考虑它们之间的相互作用）放到该系统。

（1）对于自旋为零的粒子，写出基态与第一激发态的波函数。

（2）对于自旋为1 2 的粒子，写出基态波函数。

浙江大学2005 年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目量子力学第一题：简答题（28 分）（1）写出测不准关系；（2）写出泡利矩阵；? （3）对于H = ? p2 ? （+ αLy ，α为常数），下列力学量中哪些是守恒量？2m ? ? ? ? ? ? ? ? H ，px ，p y ，pz ，Lx ，Ly ，Lz ，L2 （4）能级的简并度指的是什么？第二题：（21 分）（1）电子在二维均匀磁场中运动，B = (0, 0, B ) ，试写出描写该系统的哈密顿量；（2）现有三种能级En ∝I r 1 II 2 III ，En ∝n ，En ∝n ，请分别指出他们对应的是哪些系2 n 统。

（3）放射性指的是束缚在某些原子核中的更小粒子有一定的概率逃逸出来，你认为这与什么量子效应有关？第三题：只需选做（A）（B）中一题（20 分）（只需选做（、）中一题）只需选做（A （B 已知氢原子的基态波函数为ψ( r , θ, ? ) = 1 πa0 3 e? r a0 ，求e2 （A）势能的平均值V ( r ) = ? ；r （B）动能的平均值。

第四题：（21 分）考虑一维阶梯势V ( x) = ? ?U 0 ?0 x>0 ，若能量E 的粒子（E > U 0 ）从左边入射，试求该阶x<0 梯势的反射系数和透射系数。

第五题：（20 分）?e ?R ? 将质子看作是半径为R 的带电球壳，V ( r ) = ? ?e ?r ? 尔半径，R r<R ，（其中e 为基本电荷值，a0 为玻r>R a0 ）计算由于质子，（即氢原子核）的非点性引起氢原子基态能级的一级修正。

第六题：选做（A）(B)其中一题即可（20 分）（选做（、(B)其中一题即可选做（A 、(B)其中一题即可）（A）求一粒子被半径为R 的不可穿透硬球散射的s 波相移。

（B）试求屏蔽库伦场V ( r ) = Q ?r a e 的微分散射截面。

r （提示：可直接用中心势散射的玻恩近似公式的化简形式）ζ(θ) = 4m 2 h4 ∫∞0 θr sin( Kr ) V (r )dr ，其中K = 2k sin 。

2 K 2 第七题：（20 分）一个量子点中的单电子能级有两个本征值ε 1 和ε 2 ，并且都是非简并的。

其中ε 1 < ε 2 ，它们相应的单电子空间波函数分别为f ( r ) 和g ( r ) 。

试求该量子点中有两个电子时（电子的自旋为1 2 ），基态和第一激发态的波函数和能级简并度（假定电子间无相互作用）。

r r 浙江大学2006
年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目量子力学第一题（50 分）简答题：? ? （1）从坐标与动量算符的对易关系（[ x, p ] = ih 等）推出角动量算符与动量算符的对易关系。

（2）请用泡利矩阵ζ= ? x ?0 1? ? 0 ?i ? ?1 0 ? y z ? ，ζ= ? ? ，ζ= ? ? 定义电子的自旋算符，?1 0? ?i 0 ? ? 0 ?1 ? 并验证它们满足角动量对易关系。

（3）量子力学中的可观测量算符为什么应为厄米算符？（4）你知道量子力学中的哪些效应在经典物理中没有对应。

? ? ? ? 其中H ′? （5）Ψn 为H 0 的非简并本征函数，设相应的能量本征值为En ，如果H = H 0 + H ′，可看作微扰。

试写出能级的微扰修正公式（写到二级修正）。

（6）什么叫受激辐射，什么叫自发辐射？（7）写出由两个 1 自旋态矢构成的总自旋为0 的态矢和自旋为1 的态矢。

2 第二题（20 分）：已知氢原子的基态波函数为ψ( r , θ, ? ) = 1 πa0 3 e? r a0 ，（1）求氢原子的最可几半径（即径向几率密度取最大值的r 值）。

（2）求氢原子的平均半径（即r 得平均值）。

第三题（20 分）：有一个质量为M 的粒子在宽度为a 的无限深势阱中运动。

（1）求出其能级和波函数。

（2）如果该粒子的自旋为1 ，则能级二重简并。

加入磁场后Zeeman 效应会让能级分裂，2 简并消除。

当磁场为某个特殊值时，又会出现简并能级。

试求该磁场的值。

第四题（20 分）：? 试求H = 1 ?2 M ? ? Px + p y 2 + ωc 2 ( x 2 + y 2 ) + ωc Lz 的能级。

你觉得能级简并度有什么特2M 2 ( ) 点？[提示：二维各向同性谐振子可用极坐标求解，能级为 E = 2nρ+ m + 1 h ωc ，nρ为径向量子数，m 为磁量子数。

] ( ) 第五题（20 分）：一个体系的哈密顿量为H = ζ 1 ζ 2 + ζ 1 ζ 2 + λζ 1 ζ 2 ，其中λ为实数，泡利矩阵的下标1 ，2 x x x y z z 表示第一个粒子和第二个粒子，用矩阵的直乘理解即为ζ 1 ζ 2 = ζ1 ? ζ 2 等等。

x x x x （1）求出其本征值。

（2）对于不同的λ取值范围，写出相应的基态矢量。

第六题（20 分：选做（A）（B）（C）其中一题即可：选做（A （B 、）其中一题即可）（C 选做（、（A）用玻恩近似求势场V ( r ) = V0 e （B）用分波法求势场V ( n) = ? 2 ? r 2 x0 的散射截面。

?0 r > R 散射的s 波相移。

?∞r ≤R （C）求一维方势阱V ( x) = ? ? 0 ??V0 x ≥a x <a 的透射系数，并给出发生共振透射的条件。

浙江大学2007 年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目量子力学第一题（50 分）简答题：（1）写出泡利矩阵的形式。

（2）量子力学中的可观测量算符为什么要求是厄米算符？（3）放射性指的是束缚在某些原子核中的更小粒子有一定的概率逃逸出来，你认为这与什么量子效应有关？（4）试求质量为m 的粒子处在长度为L 的一维盒子（可看成是无限深势阱）中，试求他对盒子壁的压力。

（5）自发辐射和受激辐射的区别是什么？（6）写出测不准关系，并简要说明其物理含义。

（7）请分别之处下列三种能级对应的是哪些系统，EnI ∝ 1 II 2 III ，En ∝n ，En ∝n 2 n ? ? ? ? ? （8）H = H 0 + H ′，设Ψn 为H 0 的能量本征值为En 的非简并本征函数，如果H ′可看作微扰。

试写出能级的微扰论修正公式（写到二级修正）。

第二题（25 分）：有一个质量为m 的粒子处在如下势阱中?∞??V ? V ( x) ? 0 ? V0 ? 0 ? x<0 0< x<0 a < x < a+b a+b < x （这里V0 > 0 ）（1）求能级与波函数。

（2）你认为通过调节a 和 b 中的哪一个参数值可以让势阱中的粒子有一定的概率穿透出来，为什么？第三、四题（25 分+25 分）从如下（A）（B）（C）中选做二个即可！从如下（A （B 、（C 从如下（、（A）求屏蔽库伦场V ( r ) = b ?r a e 的微分散射截面（提示：可直接用中心势散射的玻r 恩近似公式的化简形式）。

（B）用分波法求势场V ( r ) = ? ?0 r > a 散射的s 波相移。

?∞r ≤ a （C）有一种冷原子有两个能级简并的态1 和 2 ，最近科学家在他们的冷原子“暗态”实验中引入的激光场的效应相当于如下微扰哈密顿量，?ww H′= ? 1 1 ? w2 w1 态。

w1w2 ? ? 。

求出该微扰哈密顿量引起的能级修正和所对应得本征w2 w2 ? 第五题（25 分）电子被束缚在简谐振子势场中：V ( r ) = ：12 12 1 mω 2 x 2 ，若引入2 1 i i ? m ω? ? ? ? mω? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a=? p ? ，a+ = ? p ? ，则有H = hω(a + a + ) ，并有
关? ?x+ ? ?x? 2 mω? mω? ? 2h ? ? ? 2h ? ? ? 系a + ? ? n = n + 1 n + 1 ，a n = n n ? 1 。

显然基态0 应满足a 0 = 0 （1）试求基态波函数ψ0 和第1 激发态的波函数ψ 1 。

（2）如果该势阱中有两个电子（忽略它们间的相互作用）写出他们的基态波函数，（提示：电子的自旋为1 2 的全同粒子）。

（3）如果加入均匀磁场B ，问当B 很强，超过某临近界B 时，上述基态还会是基态吗？是具体求出 B 。

浙江大学2008 年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目量子力学第一题：简答题（30 分）? ? （1）从正则对易关系[ xi , p j ] = ihδij 推出角动量算符的对易关系；（2）用测不准关系估算氢原子的基态能量；（3）什么是量子跃迁？什么是选择定则？线偏振光和圆偏振光照射下的选择定则有什么区别？（4）什么是塞曼效应？什么是斯达克效应？（5）什么是受激辐射？什么是光电效应？第二题：（25 分）设电子以给定的能量E = h2k 2 自左入射，遇到一个方势阱2m ? 0 V ( x) = ? ??V0 x < 0, x > a 0≤x≤a （a）求反射系数和透射系数；（b）给出发生共振隧穿的条件；（c）考虑到电子有自旋（自旋向下或向上），你能否借用上面的结果，设计一个量子调控装置，使反射回来的只有自旋向上的电子而没有自旋向下的电子？第三题：（20 分）对于下列中心势场：（a）V ( r ) = aδ( r ) ；（b）V ( r ) = be?αr ；（c）V ( r ) = ce ?α 2 r 2 。

（从三种势中选做一个即可！，用玻恩近似计算散射截面ζ(θ) 。

）第四题：（25 分）当前物理前沿的一个重要领域是自旋霍尔效应，其中有一类为二维电子气型系统。

该系统的? 哈密顿量为H = 1 ?2 ?2 ? ? ? ? ? ? ( px + p y ) + α( pxζy ? p yζx ) ，其中α是一个系数，ζx ，ζy 代表泡利2m ? 矩阵。

试从该系统的薛定谔方程ih ψ= Hψ出发，导出连续性方程，并给出相应的几率?t 密度和几率流密度的表达式。

第五题：（25 分）? ? ? 许多物理问题可以化成两能级系统，如H = H 0 + H ′= ? 数，并且远小于A ? B ，（a）试求能级的精确值；? A+ a ? b b ? ? ，其中a ，b 为实B + a? （b）再用微扰公式写出能级（到二级近似），并比较两种结果。

第六题：（25 分）当前冷原子物理研究非常活跃。

在实验中，粒子常常是被束缚在谐振子势中，因此其哈密顿? 量为H 0 = ? p2 1 ? ? ? ? ? + mω 2 r 2 。

假如粒子间有相互作用H ′= JS1 ? S2 ，其中S1 ，S2 分别代表粒2m 2 子 1 和粒子2 的自旋，参数J > 0 。

（a）如果把两个自旋1 的全同粒子放在上述势阱中，试写出基态能量和基态波函数；2 （b）如果把两个自旋1 的全同粒子放在上述势阱中，试写出基态能量和基态波函数（注注意：参数在不同范围内，情况会不同）
硕士研究生考试普通物理复习提纲浙江大学硕士研究生考试普通物理复习提纲
一、掌握物理学研究问题的基本概念及方法：国际单位制与量纲、参考系与坐标系、理想模型法、理想实验、对称性与守恒定律等
二、质点运动学
质点，运动学方程，位置矢量和位移矢量
瞬时速度和瞬时加速度，速度和加速度在直角坐标系中的表示形式
自然坐标系，切向和法向加速度
掌握已知运动方程求，已知加速度
三、质点动力学
动量、动量守恒定律、冲量定理及平均冲力的计算
牛顿定律及其应用、非惯性系与惯性力
功、恒力的功和变力的功的计算，质点和质点组的动能定理
保守力和非保守力，重力、弹簧弹力、万有引力的功及其相关的势能
势能与保守力的关系，机械能守恒定律及应用
四、角动量守恒和刚体力学
质点或质点组对某参考点和轴的角动量定理及其守恒定律
质心及转动惯量的计算、平行轴定理
刚体的平动、刚体的定轴转动的运动学方程、角速度、角加速度
刚体定轴转动时的动能表示式、转动定理
刚体定轴转动与质点平动的组合求解
刚体与质点碰撞中的能量及角动量守恒
刚体的进动角速度及旋转方向
应具有一定的综合应用动量、能量和角动量三大定理及其守恒定律解题的能力
五、振动和波动
简谐振动的运动学方程、振幅、周期、频率和相位，简谐振动的能量
同方向、同频率和同方向不同频率简谐振动的合成
互相垂直简谐振动的合成
波的基本概念、平面简谐波的运动学方程（即运动表达式）
波传播过程中的相位变化关系
波的功率（能流）和波的强度（波的能流密度）、波的能量
波的叠加：波的干涉和驻波
多普勒效应的计算方法
其中已知振动曲线或波动曲线求振动方程或波动方程，是这部分的基本要求。

六、相对论
狭义相对论的基本假设及本质含义
时空的相对性，同时的相对性，长度的相对性，运动时钟变慢和长度沿运动方向收缩，洛仑兹时空变换公式
动量、质量与速度的关系，狭义相对论的动能表式，质能关系，能量和动量关系
七、气体分子动理论：速率分布函数的定义及必须满足的三个条件，各种表达式的物理意义；
与速度有关的统计平均值的计算：
了解玻尔兹曼分布：
气体分子的碰撞频率和平均自由程
范德瓦尔斯方程：（重点掌握实际气体和理想气体的差别和对理想气体的两个修正项的来源及物理意义）
八、热力学基础：
1、热力学第一定律：
对四个特殊过程有关计算应熟练掌握！掌握p-V图的灵活应用
、熵的计算方法：
<1> 、直接将状态参量代入公式
<2> 、在始、末态之间构造一个可逆过程（以能连接两态、并计算熵方便为原则）
3、掌握正循环（特别是卡诺循环）及相应热机效率的计算：
九、静电场
库仑定律，电场和电场强度，高斯定理及应用，电势
场强与电势的相互关系
掌握各种对称性带电体周围的电势与场强的分布规律
掌握电容器与的电容及计算方法，静电场能量的计算。

十、磁场
磁场，磁感应强度，毕奥棗萨伐尔定律
掌握磁通量的定义及计算方法，磁场的高斯定理
安培环路定理，磁场对载流导线及线圈的作用
磁介质的极化与起因，带电粒子在电场和磁场中的运动
霍耳效应。

十一、电磁感应
电磁感应的基本定律，动生与感生电动势的计算，自感与互感，磁场的能量的计算。

十二、电磁场与电磁波
位移电流，麦克斯韦方程组积分形式，电磁波的性质
十三、波动光学
1.光的干涉
杨氏双缝干涉，光程，光程差与相位的关系，薄膜干涉，牛顿环条纹特征，迈克耳逊干涉仪的工作原理
2.光的衍射
单缝夫琅禾费衍射及条纹分布，衍射对干涉条纹的调制，光栅衍射规律
光栅分辨本领，光学仪器的分辨本领及最小分辨角的计算
x射线在晶体上的衍射
3.光的偏振
自然光和偏振光，起偏和检编，马吕斯定律，反射和折射时光的偏振，布儒斯特定律，了解光的双折射及椭圆偏振光
十四、近代物理黑体辐射：
两种基本定律及
三者变化关系
光电效应：
掌握爱因斯坦方程及各种概念康普顿散射：
德布罗意波波粒二象性：
区分对比光子和电子的不同之处不确定关系：
同一方向上粒子的位置和动量不能同时确定！能估算有关物理量波尔氢原子理论：能量公式及跃迁方程
什么是电离能？有几个光谱系？红限波长如何确定？每个线系的最短波长与最长波长如何确定？
熟练掌握跃迁图！能求先到达某个最高能级，再向下跃迁等问题。

波函数的统计意义：
的三条件：连续、有限、归一化
→定常数
在已知波函数的情况下，会计算空间某处的概率密度或概率密度最大值处，或某范围内出现的概率等
掌握量子力学下氢原子的四个量子数的物理意义、相互关系及确定方法以及与角动量L
，
L
的关系，某一能级可容纳的最多电子数为
2。