浙江省台州市2021届新高考数学仿真第二次备考试题含解析

浙江省台州市2021届新高考数学仿真第二次备考试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图：
则下列结论正确的是（ ）.
A ．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加
B ．与2016年相比，2019年一本达线人数减少
C ．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.3倍
D ．2016年与2019年艺体达线人数相同
【答案】A
【解析】
【分析】
设2016年高考总人数为x ，则2019年高考人数为1.2x ，通过简单的计算逐一验证选项A 、B 、C 、D.
【详解】
设2016年高考总人数为x ，则2019年高考人数为1.2x ，2016年高考不上线人数为0.3x ， 2019年不上线人数为1.20.280.3360.3x x x ⨯=>，故A 正确；
2016年高考一本人数0.3x ，2019年高考一本人数1.20.260.3120.3x x x ⨯=>，故B 错误； 2019年二本达线人数1.20.40.48x x ⨯=，2016年二本达线人数0.34x ，增加了
0.480.340.410.34x x x
-≈倍，故C 错误； 2016年艺体达线人数0.06x ，2019年艺体达线人数1.20.060.072x x ⨯=，故D 错误.
故选：A.
【点睛】
本题考查柱状图的应用，考查学生识图的能力，是一道较为简单的统计类的题目.
2．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．240
B ．264
C ．274
D ．282
【答案】B
【解析】
【分析】 将三视图还原成几何体，然后分别求出各个面的面积，得到答案.
【详解】
由三视图可得，该几何体的直观图如图所示，
延长BE 交DF 于A 点，
其中16AB AD DD ===，3AE =，4AF =，
所以表面积()3436536246302642
S ⨯=⨯+⨯+
⨯+⨯+=. 故选B 项. 【点睛】
本题考查三视图还原几何体，求组合体的表面积，属于中档题 3．已知0a b >>，椭圆1C 的方程22
221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b
-=，1C 和2C 的离心率之32C 的渐近线方程为（ ） A ．20x ±=
B ．20x y ±=
C ．20x y ±=
D ．20x y ±= 【答案】A
【解析】
【分析】
根据椭圆与双曲线离心率的表示形式，结合1C 和2C 的离心率之积为
32
，即可得,a b 的关系，进而得双曲线的离心率方程.
【详解】
椭圆1C 的方程22
221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b
-=，
则椭圆离心率1e a
=，双曲线的离心率2e a =，
由1C 和2C
即122
e e a a ==，
解得2
b a =±，
所以渐近线方程为2y x =±
，
化简可得0x ±=，
故选：A.
【点睛】
本题考查了椭圆与双曲线简单几何性质应用，椭圆与双曲线离心率表示形式，双曲线渐近线方程求法，属于基础题.
4．已知集合{|12},{|15}=-<=-A x x B x x 剟
?，定义集合*{|,,}==+∈∈A B z z x y x A y B ，则*(*)B A B 等于（ ）
A ．{|61}-<x x …
B ．{|112}<x x …
C ．{|110}-<x x …
D ．{|56}-<x x …
【答案】C
【解析】
【分析】
根据*A B 定义，求出*A B ，即可求出结论.
【详解】 因为集合{|15}=-B x x 剟，所以{|51}=--B x x 剟
， 则*{|61}=-<A B x x …，所以*(*){|110}=-<B A B x x ….
故选:C.
【点睛】
本题考查集合的新定义运算，理解新定义是解题的关键，属于基础题.
5．设m ，n 为直线，α、β为平面，则m α⊥的一个充分条件可以是( )
A ．αβ⊥，n αβ=I ，m n ⊥
B ．//αβ，m β⊥
C ．αβ⊥，//m β
D ．n ⊂α，m n ⊥ 【答案】B
【解析】
【分析】
根据线面垂直的判断方法对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
对于A 选项，当αβ⊥，n αβ=I ，m n ⊥时，由于m 不在平面β内，故无法得出m α⊥. 对于B 选项，由于//αβ，m β⊥，所以m α⊥.故B 选项正确.
对于C 选项，当αβ⊥，//m β时，m 可能含于平面α，故无法得出m α⊥.
对于D 选项，当n ⊂α，m n ⊥时，无法得出m α⊥.
综上所述，m α⊥的一个充分条件是“//αβ，m β⊥”
故选：B
【点睛】
本小题主要考查线面垂直的判断，考查充分必要条件的理解，属于基础题.
6．已知3log a =ln3b =，0.992c -=，则,,a b c 的大小关系为（ ）
A ．b c a >>
B ．a b c >>
C ．c a b >>
D ．c b a >> 【答案】A
【解析】
【分析】
根据指数函数与对数函数的单调性，借助特殊值即可比较大小.
【详解】
因为3
31log log 2<=， 所以12
a <. 因为3＞e ，
所以ln3ln 1b e =>=，
因为00.991>->-，2x y =为增函数，
所以0.99122
1c -=<< 所以b c a ＞＞，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，利用单调性比较大小，属于中档题.
7．若非零实数a 、b 满足23a b =，则下列式子一定正确的是（ ）
A ．b a >
B ．b a <
C ．b a <
D ．b a > 【答案】C
【解析】
【分析】
令23a b t ==，则0t >，1t ≠，将指数式化成对数式得a 、b 后，然后取绝对值作差比较可得．
【详解】
令23a b t ==，则0t >，1t ≠，2lg log lg 2t a t ∴==，3lg log lg 3
t b t ==， ()lg lg lg lg 3lg 20lg 2lg 3lg 2lg 3
t t t a b -∴-=
-=>⋅，因此，a b >. 故选：C.
【点睛】 本题考查了利用作差法比较大小，同时也考查了指数式与对数式的转化，考查推理能力，属于中等题． 8．下列结论中正确的个数是（ ）
①已知函数()f x 是一次函数，若数列{}n a 通项公式为()n a f n =，则该数列是等差数列；
②若直线l 上有两个不同的点到平面α的距离相等，则//l α；
③在ABC ∆中，“cos cos A B >”是“B A >”的必要不充分条件；
④若0,0,24a b a b >>+=，则ab 的最大值为2.
A ．1
B ．2
C ．3
D ．0
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等差数列的定义，线面关系，余弦函数以及基本不等式一一判断即可；
【详解】
解：①已知函数()f x 是一次函数，若数列{}n a 的通项公式为()n a f n =，
可得1(n n a a k k +-=为一次项系数），则该数列是等差数列，故①正确；
②若直线l 上有两个不同的点到平面α的距离相等，则l 与α可以相交或平行，故②错误；
③在ABC ∆中，(),0,B A π∈，而余弦函数在区间()0,π上单调递减，故 “cos cos A B >”可得“B A >”，由“B A >”可得“cos cos A B >”，故“cos cos A B >”是“B A >”的充要条件，故③错误；
④若0,0,24a b a b >>+=
，则42a b =+≥2ab ≤，当且仅当22a b ==时取等号，故④正确；
综上可得正确的有①④共2个；
故选：B
【点睛】
本题考查命题的真假判断，主要是正弦定理的运用和等比数列的求和公式、等差数列的定义和不等式的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
9．设函数()21010 0x x x f x lgx x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩
，，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解()1234i x i =，，，，其中1234x x x x <<<，则()()1234x x x x +-的取值范围是（ ）
A ．(]0101
， B ．(]099， C ．(]0100， D ．()0+∞，
【答案】B
【解析】
【分析】 画出函数图像，根据图像知：1210x x +=-，34
1x x =，31110
x ≤<，计算得到答案. 【详解】 ()21010 lg 0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩
，，，画出函数图像，如图所示： 根据图像知：1210x x +=-，34lg lg x x =-，故34
1x x =，且31110x ≤<. 故()()(]1234330110,99x x x x x x ⎛
⎫∈ ⎪⎭
-⎝+-=-. 故选：B .
【点睛】
本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键.
10．若i为虚数单位，则复数
22
sin cos
33
z i
ππ
=-+的共轭复数z在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B
【解析】
【分析】
由共轭复数的定义得到z，通过三角函数值的正负，以及复数的几何意义即得解【详解】
由题意得
22
sin cos
33
z i
ππ
=--，
因为
23
sin0
3
π
-=<，
21
cos0
32
π
-=>，
所以z在复平面内对应的点位于第二象限．故选：B
【点睛】
本题考查了共轭复数的概念及复数的几何意义，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于基础题.
11．斜率为1的直线l与椭圆
2
2
x
y1
4
+=相交于A、B两点，则AB的最大值为()
A．2 B．45
C．
410
D．
810
【答案】C
【解析】
【分析】
设出直线的方程，代入椭圆方程中消去y，根据判别式大于0求得t的范围，进而利用弦长公式求得|AB|的表达式，利用t的范围求得|AB|的最大值．
【详解】
解：设直线l的方程为y＝x+t，代入
2
4
x
+y2＝1，消去y得
5
4
x2+2tx+t2﹣1＝0，
由题意得△＝（2t）2﹣1（t2﹣1）＞0，即t2＜1．
弦长|AB|＝4
2
5410
2
t-
⨯≤．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系．常需要把直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，判别式找到解决问题的突破口．
12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（）
A．5B．4C．2D．22
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据三视图还原几何体是一个四棱锥，根据三视图的数据，计算各棱的长度.
【详解】
根据三视图可知，几何体是一个四棱锥，如图所示：
由三视图知：2AD = ，3,2,CE SD =
= 所以2SC DC ==， 所以222222,22SA SD AD SB SC BC =+==+= 所以该几何体的最长棱的长为22
故选：D
【点睛】
本题主要考查三视图的应用，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()0,5，点B 是直线l ：12
y x =上位于第一象限内的一点．已知以AB 为直径的圆被直线l 所截得的弦长为25B 的坐标__________．
【答案】()6,3
【解析】
【分析】
依题意画图,设0001,,02B x x x ⎛
⎫> ⎪⎝⎭
,根据圆的直径AB 所对的圆周角为直角,可得25AC =通过勾股定理得22AB AC CB =
+再利用两点间的距离公式即可求出06x =,进而得出B 点坐标.
【详解】
解:依题意画图,设0001,,02B x x x ⎛⎫>
⎪⎝⎭
以AB 为直径的圆被直线l 所截得的弦长为BC ,
且25BC =,
又因为AB 为圆的直径,则AB 所对的圆周角90ACB ∠=o ,
则AC CB ⊥, 则AC 为点()0,5A
到直线l ：12y x =的距离. 所以()22
0152
2512AC ⨯-⨯==+-, 则()()22222525210AB AC CB =+=+=.
又因为点B 在直线l ：12
y x =上, 设001,2B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则22001(0)52102AB x x ⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭
. 解得06x =,则()6,3B .
故答案为: ()6,3
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系,考查了两点间的距离公式,点到直线的距离公式,是基础题.
14．某班有学生52人,现将所有学生随机编号,用系统抽样方法,抽取一个容量为4的样本,已知5号、31号、44号学生在样本中,则样本中还有一个学生的编号是__________．
【答案】18
【解析】
【分析】
根据系统抽样的定义和方法,所抽取的4个个体的编号成等差数列,故可根据其中三个个体的编号求出另一个个体的编号.
【详解】
解：根据系统抽样的定义和方法,所抽取的4个个体的编号成等差数列, 已知其中三个个体的编号为5,31,44, 故还有一个抽取的个体的编号为18, 故答案为:18 【点睛】
本题主要考查系统抽样的定义和方法,属于简单题.
15．已知实数x ，y 满足约束条件3312
x y y x x +≥⎧⎪≤-⎨⎪≤⎩
，则y
z x =的最小值为______.
【答案】12
【解析】 【分析】
作出满足约束条件的可行域，将目标函数视为可行解(),x y 与()0,0点的斜率，观察图形斜率最小在点B
处，联立3
2
x y x +=⎧⎨=⎩，解得点B 坐标，即可求得答案.
【详解】
作出满足约束条件3
312
x y y x x +≥⎧⎪
≤-⎨⎪≤⎩
的可行域，该目标函数00y y z x x -==-视为可行解(),x y 与()0,0点的斜率，
故OB OA k z k ≤≤
由题可知，联立312y x x =-⎧⎨=⎩得()2,5A ,联立3
2x y x +=⎧⎨=⎩
得()2,1B
所以51,22OA OB k k =
=，故1522
z ≤≤ 所以z 的最小值为
1
2
故答案为：12
【点睛】
本题考查分式型目标函数的线性规划问题，属于简单题. 16．已知,a b ∈R ，复数z a i =-且
11z
bi i
=++（i 为虚数单位），则ab =__________，z =_________． 【答案】6ab =- 10z = 【解析】
∵复数z a i =-且
11z
bi i
=++ ∴
()(1)(1)(1)1122
a i a i i a a i
bi i -----+===++ ∴1
12{12a a b -=+-=
∴3{2
a b ==- ∴6ab =-，223(1)10z =+-=故答案为6-10
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()||,f x x x a a R =+∈． （1）若()()111f f +->，求a 的取值范围；
（2）若0a <，对,(,]x y a ∀∈-∞-，不等式3(2
)4f x y y a
≤+
++恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）1
2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，；（2）[)3,0-.
【解析】 【分析】
（1）分类讨论1a ≤-，11a -<<，1a ≥，即可得出结果； （2）先由题意，将问题转化为3))42((max min f x y a y ≤+++即可，再求出()max f x ，42
3a y y +++的最小值，解不等式即可得出结果. 【详解】
（1）由()()111f f +->得111a a +-->， 若1a ≤-，则111a a --+->，显然不成立； 若11a -<<，则111a a ++->，12
a >
，即1
12a ＜＜；
若1a ≥，则111a a +-+>，即21>，显然成立，
综上所述，a 的取值范围是1
2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，
． （2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需3))42
((max min f x y a
y ≤+
++， 当(,]x a ∈-∞-时，()()f x x x a =-+，所以2
()24max
a a f x f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
；
因为22
3344a y y a
+
++≥-， 所以23442
a a
≤-，解得31a -≤≤，结合0a <，
所以a 的取值范围是[)3,0-． 【点睛】
本题主要考查含绝对值不等式的解法，以及由不等式恒成立求参数的问题，熟记分类讨论的思想、以及绝对值不等式的性质即可，属于常考题型.
18．如图，在四面体DABC 中，AB BC DA DC DB ⊥==，.
（1）求证:平面ABC ⊥平面ACD ；
（2）若22 30AD AB BC CAD ==∠=︒，，，求四面体ABCD 的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）4
5
. 【解析】 【分析】
（1）取AC 中点F ，连接,FD FB ，根据等腰三角形的性质得到DF AC ⊥，利用全等三角形证得
DF FB ⊥，由此证得DF ⊥平面ABC ，进而证得平面ABC ⊥平面ACD .
（2）由（1）知DF ⊥平面ABC ，即DF 是四面体ABCD 的面ABC 上的高，结合锥体体积公式，求得四面体ABCD 的体积. 【详解】
（1）证明:如图，取AC 中点F ，连接,FD FB ，
由,DA DC =则,DF AC ⊥
AB BC ⊥Q ，则FA FB FC ==，
故DFA DFB DFC V V V ≌≌ 故2
DFB DFA π
∠=∠=
，
,,DF AC DF FB AC FB F ⊥⊥⋂=Q
DF ⊥∴平面ABC .
又DF ⊂平面ACD ， 故平面ABC ⊥平面ACD
（2）由（1）知DF ⊥平面ABC ， 即DF 是四面体ABCD 的面ABC 上的高，
且301,303DF ADsin AF ADcos =︒==︒=
.
在Rt ABC V 中，2232AC AF AB BC ===,，
由勾股定理易知215415
,BC AB =
=
故四面体ABCD 的体积
1114152154
1332555
ABC V S DF =⋅=⨯⨯⨯⨯=V
【点睛】
本小题主要考查面面垂直的证明，考查锥体体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 19．中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一体，给人于美的享受．如图（1）为一花窗；图（2）所示是一扇窗中的一格，呈长方形，长30 cm ，宽26 cm ，其内部窗芯（不含长方形边框）用一种条形木料做成，由两个菱形和六根支条构成，整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称．设菱形的两条对角线长分别为x cm 和y cm ，窗芯所需条形木料的长度之和为L ．
（1）试用x ，y 表示L ；
（2）如果要求六根支条的长度均不小于2 cm ，每个菱形的面积为130 cm 2，那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料（不计榫卯及其它损耗）？
【答案】（1）228242()L x y x y =+++（2）164569+【解析】
试题分析：（1）由条件可先求水平方向每根支条长15x -，竖直方向每根支条长为132
y
-
，因此所需木料的长度之和L 222(15)4(13)82x y y x +=-+-+=228242()x y x y +++（2）先确定范围由152,
{132,2
x y
-≥-≥可得1301311
x ≤≤，再由面积为130 cm2，得1
132xy =，转化为一元函数2
226026082()2()L x x x x
=+++，令260t x x =+，则22
822[520520L t t t =+--+在
372
[33,
]11
t ∈上为增函数，解得L
有最小值16+ 试题解析：（1）由题意，水平方向每根支条长为302152x
m x -=
=-cm ，竖直方向每根支条长为261322y y n -==-cm
2
=cm ．从而，所需木料的长度之和
L 2(15)4(13)82y x =-+-+
=822()x y ++cm ．
（2）由题意，1132xy =，即260
y x =，又由152,
{132,2x y
-≥-≥可得1301311
x ≤≤
．所以260
822()L x x
=++． 令260t x x
=+
，其导函数226010x -
<在1301311
x ≤≤上恒成立，故260t x x =+在
130
[,13]11上单调递减，所以可得372[33,
]11t ∈
．则260
82()]L x x
=++
82]
t =+
=82+．
因为函数y =
y =
372
[33,
]11
t ∈
上均为增函数，所以82L =+在372[33,]11t ∈上为增函数，故当33t =，即13,20x y ==时L 有最
小值16+
16+长的条形木料． 考点：函数应用题
20
．设函数1f x =（
），ln g x x =（）， （Ⅰ）求曲线21y f x =-（）在点（1,0）处的切线方程；
（Ⅱ）求函数y f x g x =⋅（）（）在区间1[,]e e 上的取值范围．
【答案】（1）1y x =-（2
）1] 【解析】
分析：(1)先断定(1,0)在曲线(21)y f x =-上，从而需要求'(21)f x -，令1x =，求得结果，注意复合函数求导法则，接着应用点斜式写出直线的方程；
(2)先将函数解析式求出，之后借助于导数研究函数的单调性，从而求得函数在相应区间上的最值.
详解：（Ⅰ）当1x =，()()2110y f f =-==. ()()
3/2
1
''2121y f x x =-=-，
当1x =，()''11y f ==， 所以切线方程为1y x =-.
（Ⅱ）1ln ln y x x ⎛
== ⎝
, ln 11'x
y x +=
=,因为1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，所以0>. 令(
)ln 12
x
h x =+
，(
)1
'02h x x
+=>，则()h x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，
因为()1=0h ，所以()()y f x g x =⋅在1,1e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上增，在[]
1,e 单调递增.
()()min 110y f g =⋅=,()(
)max 11max ,max 1,1y f g f e g e e e ⎧⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭
,
11>-
，所以()()y f x g x =⋅在区间1,e e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的值域为1⎡⎤⎣⎦. 点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，曲线在某个点处的切线方程的求法，复合函数求导，函数在给定区间上的最值等，在解题的过程中，需要对公式的正确使用.
21．已知函数()||f x x a =-
（1）当1a =-时，求不等式()|21|1f x x ≤+-的解集；
（2）若函数()()|3|g x f x x =-+的值域为A ，且[2,1]A -⊆，求a 的取值范围. 【答案】（1）{|1x x ≤-或1}x ≥（2）(,5][1,)-∞-⋃-+∞ 【解析】 【分析】
（1）分类讨论去绝对值即可；
（2）根据条件分a ＜﹣3和a≥﹣3两种情况，由[﹣2，1]⊆A 建立关于a 的不等式，然后求出a 的取值范围. 【详解】
（1）当a ＝﹣1时，f （x ）＝|x+1|.
∵f （x ）≤|2x+1|﹣1，∴当x≤﹣1时，原不等式可化为﹣x ﹣1≤﹣2x ﹣2，∴x≤﹣1；
当1
12
x -<<-时，原不等式可化为x+1≤﹣2x ﹣2，∴x≤﹣1，此时不等式无解； 当2
1
x ≥-
时，原不等式可化为x+1≤2x ，∴x≥1， 综上，原不等式的解集为{x|x≤﹣1或x≥1}.
（2）当a ＜﹣3时，()323333a x a g x x a a x a x +≤⎧⎪
=-+<<-⎨⎪--≥-⎩
，，，，
∴函数g （x ）的值域A ＝{x|3+a≤x≤﹣a ﹣3}.
∵[﹣2，1]⊆A ，∴32
31a a +≤-⎧⎨--≥⎩，∴a≤﹣5；
当a≥﹣3时，()3323333a x g x x a x a x a +≤-⎧⎪
=-+-<<-⎨⎪--≥⎩
，，
，， ∴函数g （x ）的值域A ＝{x|﹣a ﹣3≤x≤3+a}. ∵[﹣2，1]⊆A ，∴32
31
a a --≤-⎧⎨
+≥⎩，∴a≥﹣1，
综上，a 的取值范围为（﹣∞，﹣5]∪[﹣1，+∞）. 【点睛】
本题考查了绝对值不等式的解法和利用集合间的关于求参数的取值范围，考查了转化思想和分类讨论思想，属于中档题.
22．已知凸n 边形123n A A A A L 的面积为1，边长1(1,2,,1)i i i A A a i n +==-L ，1n n A A a =，其内部一点P 到边1(1,2,,1)i i i A A a i n +==-L 的距离分别为123,,,,n d d d d L .
求证：212
12222(n n
a a a d d d +++≥L . 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】
由已知，易得11222n n a d a d a d ++⋅⋅⋅+=，所以
12
1212122222n n n n a a a a a a d d d d d d ⎛⎫++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭()12112212
n n n n a a a a d a d a d d d d ⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭L L 利用柯西不等式和基本不等式即可证明. 【详解】
因为凸n 边形的面积为1，所以11222n n a d a d a d ++⋅⋅⋅+=，
所以
12
121212
2222n n n n a a a a a a d d d d d d ⎛⎫++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭
()12112212
n n n n a a a a d a d a d d d d ⎛⎫
=++++++ ⎪⎝⎭L L
2L （由柯西不等式得） ()2
12n a a a =++⋅⋅⋅+
2(…（由均值不等式得）
【点睛】
本题考查利用柯西不等式、基本不等式证明不等式的问题，考查学生对不等式灵活运用的能力，是一道容易题.
23．已知函数(
)2
cos 2cos 1f x x x x =-+.
（1）求函数()f x 的单调递增区间；
（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若满足()2f B =，8a =，5c =，求cos A . 【答案】（1）,,63k k k Z ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
；（2）17
【解析】 【分析】
（1）化简得到()2sin 26f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
，取222,262k x k k Z πππ
ππ-+≤-≤+∈，解得答案. （2）()2si 2n 26f B B π⎛⎫
-= ⎪⎝
⎭=，解得3
B π
=，根据余弦定理得到7b =，再用一次余弦定理解得答案. 【详解】
（1）(
)2
cos 2cos 12cos 22sin 26f x x x x x x x π⎛
⎫
=-+=-=-
⎪⎝
⎭
. 取222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤-
≤
+∈，解得,,63x k k k Z ππππ⎡⎤
∈-
++∈⎢⎥⎣⎦
.
（2）()2si 2n 26f B B π⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭
=, 因为()110,,2,666B B π
πππ⎛⎫
∈∴-
∈- ⎪
⎝⎭
， 故262B ππ-=，3B π=. 根据余弦定理：2222cos 49b a c ac B =+-=，7b =.
2222225781
cos 22577
b c a A bc +-+-===⨯⨯.
【点睛】
本题考查了三角恒等变换，三角函数单调性，余弦定理，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.。