八年级数学下册 16.3 可化为一元一次方程的分式方程

分式方程的解法及其典例分析
一、内容综述：
1．解分式方程的基本思想
在学习简单的分式方程的解法时，是将分式方程化为一元一次方程，复杂的（可化为一元二次方程）分式方程的基本思想也一样，就是设法将分式方程“转化”为整式方程．即分式方程整式方程
2．解分式方程的基本方法
(1)去分母法
去分母法是解分式方程的一般方法，在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方程．但要注意，可能会产生增根。

所以，必须验根。

产生增根的原因：
当最简公分母等于0时，这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数，所得方程与原方程同解)，这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解．
检验根的方法：
（1）将整式方程得到的解代入原方程进行检验，看方程左右两边是否相等。

（2）为了简便，可把解得的根直接代入最简公分母中，如果不使公分母等于0，就是原方程的根；如果使公分母等于0，就是原方程的增根。

必须舍去．
注意：增根是所得整式方程的根，但不是原方程的根，增根使原方程的公分母为0．用去分母法解分式方程的一般步骤：
(i)去分母，将分式方程转化为整式方程；
(ii)解所得的整式方程；
(iii)验根做答
(2)换元法
为了解决某些难度较大的代数问题，可通过添设辅助元素（或者叫辅助未知数）来解决．辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量，从而把问题化繁为简，化难为易，使未知量向已知量转化，这种思维方法就是换元法．换元法是解分式方程的一种常用技巧，利用它可以简化求解过程．
用换元法解分式方程的一般步骤：
(i)设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式； (ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；
(iii)把辅助未知数的值代回原设中，求出原未知数的值；
(iv)检验做答．
注意：（1）换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。

它的基本思想是用换元法把原方程化简，把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程。

（2）分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般，即先考虑能否用换元法解，不能用换元法解的，再用去分母法。

（3）无论用什么方法解分式方程，验根都是必不可少的重要步骤。

二、例题精析：
例1．解分式方程：1221242+=+-++x
x x x x 。

分析：解分式方程的思路是把方程去分母化为整式方程。

解：方程两边都乘以x(x+2)，约去分母，得 x+4-x=2(x+2)+x(x+2)
整理后，得x 2+4x=0 解这个方程，得x 1=0, x 2=-4,
代入公分母检验：
当x 1=0时，x(x+2)=0×(0+2)=0, ∴ x=0是增根；
当x 2=-4时，x(x+2)=-4×(-4+2)≠0, ∴ x=-4是原方程的根。

故原方程的根是x=-4。

例2．解方程：8
6645397--+--=--+--x x x x x x x x 。

分析：本题中各个分式的分子与分母是同次多项式，故从中析出一个整数来（用拆分分式的方法），92197-+=--x x x ；考虑方程中有四个分式，可以移项后利用公式b a ab a b 11-=-把分式拆项，将方程化简。

解：
8
28626525929-+-+-+-=-+-+-+-x x x x x x x x 即8
21621521921-++-+=-++-+x x x x ， 移项，整理，得 51618191---=---x x x x ， 即)5)(6(65)8)(9(98--+--=--+--x x x x x x x x ， 亦即)
5)(6(1)8)(9(1--=--x x x x ，
去分母，得(x-6)(x-5)=(x-9)(x-8)，去括号，整理，得x=7.
经检验，x=7是原方程的根。

∴ 原方程的根是x=7。

例3．解方程32215443++-++=++-++x x x x x x x x 。

解法1：方程两边都乘以(x+4)(x+5)(x+2)(x+3)，去分母，得 (x+3)2(x+5)(x+2)-(x+4)2(x+2)(x+3) =(x+1)(x+4)(x+5)(x+3)-(x+2)2(x+4)(x+5)
即4x+14=0, ∴27-=x ， 经检验知2
7-=x 是原方程的解。

解法2：方程两边分别通分，得
， 即)
2)(3(1)4)(5(1++-=++-x x x x ， ∴ (x+5)(x+4)=(x+2)(x+3) 解得2
7-=x 。

解法3：利用拆分分式的方法将原来的方程变形。

原方程可化为3
11211511411++-+-=++-+-x x x x 即：21314151+-+=+-+x x x x ， 两边分别通分，得)2)(3(1)4)(5(1++-=++-x x x x ，解之，得 2
7-=x 。

例4．解方程06)2
(5)2(
2=+---x x x x 。

解：设2
-=x x y ， 则原方程变形为y 2-5y+6=0, 解得y 1=2, y 2=3, 由22=-x x ，解得x 1=4; 由32=-x x ，解得x 2=3. 经检验x 1=4, x 2=3，都是原方程的根。

例5．用换元法解方程x x x x 32543222+=
-+. 解：设2x 2+3x=y ，于是原方程变为y y 54=
-，整理，得y 2-4y-5=0 解得y 1=5, y 2=-1.
当y=5时，即2x 2+3x=5, 解得x 1=1, 252-
=x , 当y=-1时，2x 2+3x=-1，解得x 3=-1, 214-
=x , 经检验，x 1=1, 252-=x , x 3=-1, 2
14-=x 都是原方程的根。

∴ 原方程的根为x 1=1, 252-=x , x 3=-1, 2
14-=x 。

例6．解方程76
30x 103622=--+--x x x 。

分析：利用方程左边结构特点，构造一元二次方程来解。

解：设y x x =--3
62，所以原方程变形为：710=+y y , 整理得：y 2
-7y+10=0 解得y 1=2, y 2=5， 当y 1=2时，即23
62=--x x ， ∴x 1=0, x 2=2; 当y 2=5时，53
62=--x x ， 即x 2-5x+9=0 （Δ<0，此方程无实根） 经检验，x 1=0, x 2=2是原方程的解。

例7．解方程1)1(3)1(222
=+-+x x x
x . 分析：此方程初看起来容易把，)1(22x
x +视为2)1(x x +，而实际上21)1(222++=+x x x x ，所以222)1()1(x x x x +≠+.但是]2)1[()1(222-+=+x x x
x ,就是说原方程可变形为1)1(3]2)1[(22=+--+x
x x x , 变形后才可用换元法解此方程。

解：原方程可化为1)1(3]2)1[(22=+--+x
x x x 即05)1(3)1(22=-+-+x
x x x , 设y x x =+1, 则原方程可化为：2y 2-3y-5=0 解得y 1=-1, y 2=2
5, 当y=-1时，11-=+x x , 去分母整理，得x 2+x+1=0 解这个方程，∵Δ<0, ∴ 方程无解。

当y=25时，251=+x x , 去分母整理，得2x 2-5x+2=0 解得x 1=2, 2
12=x ,
经检验，x 1=2, 2
12=
x 都是原方程的根。

∴ 原方程的根是x 1=2, 212=x 。

（注意：切勿把)1(22x
x +看作2)1(x x + ） 例8．若分式方程024
122=+-+-x x a 有增根x=2，求a 的值。

分析：将方程024122=+-+-x x a 的两边同乘以最简公分母(x+2)(x-2)， 得a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0，若分式方程有增根x=2，则x=2一定是整式方程a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0的根，代入之即可求出a 。

解：原分式方程去分母，得a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0
把x=2代入所得方程，得4a+1+0=0, a=-
41, ∴当 a=-4
1时, x=2是原分式方程的增根。