球杆平衡系统分析

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本文以球杆系统为研究对象，用拉格朗日方程建立其数学模型，并用线性系统理论中状态响应，能控性和能观测性，稳定性等方面对系统进行了分析，最后利用状态反馈法设计系统的控制器。

无论小球在棒的什么位置, 杆的角度如何, 该控制方法都能使小球稳定在杆的中心位置。

利用matlab 通过建模仿真该系统能够达到稳定。

一、系统建模
由刚性球和连杆臂构成的球杆系统。

如图1
图 1 球杆系统结构图
当小球转动时, 球的移动和杆的转动构成复合运动。

一般用牛顿力学定律建立系统的运动方程是力的平衡方程, 用来分析由多个坐标系描述的运动方程是非常困难的。

拉格朗日动力学方程则是能量的平衡方程, 它更适合于分析相互约束下的多个连杆的运动。

因此，通过拉氏方程建立球杆的运动方程。

拉格朗日方程如下：
k .,2,1)()(.. =+∂∂-∂∂-=∂∂-∂∂j t u q
R q R q T q T dt d j
j j j
（1）
为简化建模过程，假设系统阻尼为零，因此
.
j
q R ∂∂项为零，式中T 为动能，V
为势能，R 为能量耗散函数，u(t)为作用于系统向量。

以下为变量表示的物理意义：
m ：球的质量，M ：杆的质量，g ：重力加速度，，R ：球的旋转半径，b J ：小球的转动惯量，l J ：横杆的转动惯量，l ：横杆的长度，α：小球绕轴线旋转的角度。

该系统可看作是二维空间运动的相互约束的两个质点，选取θ和r 作为广义坐标，设刚球在直角坐标系下的位置坐标为（x,y ），则与广义坐标之间的关系为：
⎩⎨⎧==θ
θ
sin cos r y r x （2）
所以，其速度关系为
⎪⎩⎪⎨⎧+=-=θ
θθθ
θθcos sin sin cos .
.....r r y r r x （3） 系统的动能主要包括小球沿横杆运动的动能，小球绕自身轴线转动的动能和横杆绕固定点转动的动能三部分，分别设为321,,T T T 。

小球在r 方向运动的动能1T 为
)(2
1)(21.2
2.2.2.21θr r m y x m T +=+= （4）
小球绕轴线旋转的角度 R
r
=
α （5） 对时间求导的角速度 R
r
.
.
=
α （6） 小球绕自身轴线转动的动能
.
22
.22221r R J J T b
b =
=α （7）
其中25
2
mR J b =。

横杆绕固定点转动的动能
.2
2
32r R
J T b = （8）
其中23
1
Ml J l =。

则系统的总动能
.
2
.22
.22.2321212)(21θθl b J r R
J r r m T T T T +++=++= （9） 考虑系统的势能，由于能量不因坐标的改变而变化，得到小球的势能：
θcos mgr V = （10）
通过对外力分析，可知在r 方向无外力，在θ方向的作用力矩为连杆的驱动力矩τ，代入（1），建立运动方程。

r 方向上的运动方程为
0)(.=∂∂+∂∂-∂∂r
V r T r T dt d （11） 其中..2.2.)(])[()(r R
J m r R J m dt d
r T dt d b b +=+=∂∂，.2θmr r T =∂∂，θsin mg r V =∂∂。

得到：
0sin )(.
2..
2=-++θθmr mg r R
J m b （12）
θ方向上的运动方程为
τθ
θθ=∂∂+∂∂-∂∂V T T dt d )(. （13） 其中
(2)
.2.2)(])[()(θθθθr mr J mr J mr dt
d T dt d l l ++=+=∂∂，
0=∂∂θ
T
，
θθ
cos mgr V
=∂∂
得到：
τθθθ=+++cos 2)(.
...
2
mgr r mr J mr l （14）
由（12），（14）得：
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧+++--=-+=τθθθθl l b
J mr J mr mgr r mr g r R J m m r 2
2...
.2
2..1cos 2)sin ( （15）
二、系统的线性化
对拉格朗日方程建立的系统运动方程来说，通常为非线性的方程，若系统的运动方程可以线性化，那么就可以用线性系统理论来分析平衡点的稳定性，如果在平衡点附近的小偏差范围内，忽略各高次方而得到一个与微小偏差成线性的关 系式则称为线性化。

如果要研究该系统在平衡点的稳定性，可以采用微小偏移 下的线性化方程，但这并不是指在上式的基础上进行线性化，而是应该在动能 T 的表达式（9）上进行线性化处理。

具体来说，对动能T 的表达式进行线性化处理，式中.
22
θmr 的系数2mr 是与工作点r 有关，假设是要分析o r r =处的稳定性，那么系数就为2
o mr ，故可列写线性化方程时就认为是常数系数与广义坐标的微小偏差无关，这时拉格朗日的方程中的有关导数项就.
.,θr 消失了，此时，由式（15）可得
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧
+++-=-+=τθθθl l b
J mr J mr mgr g R J m m r 2
2..2..1
cos )sin ( （16）
考虑到研究微小偏差下的性能，可以取θθ=sin ，1cos =θ，得到最终线性化方程为：
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧+++-=-+=τθθl l b
J mr J mr mgr g R J m m r 2
2..
2..1
)( （17）
这一组线性化方程将球系统的特点描绘得非常清楚，（17）式中第一个表示转动θ角引起的重力加速度分量使球沿杆运动，第二个则说明球处于不同位置产生的力矩与外力矩使杆偏转，杆和球在一起的转动惯量是l J mr +2，随球在杆上的位置而变，而球位置的影响是正反馈。

比较式（15）和式（17）可以看出，线性化过程实际是将式（15）中的离心加速度.
2θr 和等变量略去不计，其实这些变量在实际系统中的影响确实是很小的。

可见线性化处理过程比较直观、简单，处理结果的物理概念也非常清晰。

三、状态空间分析
状态空间描述
根据球杆对象的线性运动方程式（16），选取r x =1，.
2r x =，θ=3x ，
.
4θ=x ，则1x 代表球在杆上的位置，2x 代表球在杆上的线速度，θ代表杆的倾斜
角度，.
θ代表杆的旋转角速度。

则状态变量为
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=
⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡=..4321θθr r x x x x x 设球杆对象的初始状态为[]T
o o r x 0,0,0,=， 由（16）式得
u b x x x x a
a x x x x ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡443214123
.4.3.2.100000010000000010 （18）
⎥⎥
⎥
⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥
⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡43212101000001x x x x Y Y （19） 其中 2
23R
J m mg
a b +=
，2
141o
mx J mg a +=，2041mx J b l += 设小球的半径m R 02.0=，小球的质量为kg m 03.0=，杆的质量
kg M 075.0=，杆的长度m l 2.0=，计算得78.17741=a ，723-=a ，1274=b
状态方程为
CX
Y BU AX X =+=.
其中：
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡=00078
.177100007000010A ，⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡=127000B ，⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=01000001C 。

系统性能分析 能控能观性
能控性和能观性是从控制和观测角度表征系统结构的两个基本特性。

自卡尔曼在20世纪60年代引入这两个概念以来，已经证明他们对于系统控制和系统估计问题研究具有基本的重要性。

（1）能控性
根据可控性的判别,此可控性矩阵23
V B AB A B A B ⎡⎤=⎣⎦
仿真程序如下：
A=[0 1 0 0;0 0 7 0;0 0 0 1; 0 0 0]; B=[0 0 0 127]'; C=[1 0 0 0;0 0 1 0]; D=0;
V=ctrb(A,B);
R=rank(V)
可得结果为：
V =
0 0 0 889
0 0 889 0
0 127 0 0
127 0 0 0
R=4
可知V为满秩矩阵，则系统状态是完全能控的。

（2）能控规范型
程序代码如下：
A=[0 1 0 0;0 0 7 0;0 0 0 1; 0 0 0];
B=[0 0 0 127]';
C=[1 0 0 0;0 0 1 0];
D=0;
V=ctrb(A,B);
syms s;
dets=det(s*diag(diag(ones(size(A))))-A)
M=[1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1];
N=fliplr(V);
M1=N*M;
A2=inv(M1)*A*M1
B2=inv(M1)*B
C2=C*M1
运算结果：
A2 =
0 +000 0 0 0 0 +000 0 0 0 0 +000 +003 0 0 0 B2 = 0 0 0 1 C2 =
889 0 0 0 0 0 127 0 则能控标准型为：
X
Y u X X ⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡=01270
000088910000005.1244100001000010.
（3）能观性
根据可观性的判别,此可控性矩阵⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=32CA CA CA C G
仿真程序如下：
A=[0 1 0 0;0 0 7 0;0 0 0 1; 0 0 0]; B=[0 0 0 127]'; C=[1 0 0 0;0 0 1 0]; D=0;
G=obsv(A,C)
R=rank(G)
仿真结果：
G =
+000 0 0 0
0 0 +000 0
0 +000 0 0
0 0 0 +000
0 0 +000 0
+002 0 0 0
0 0 0 +000
0 +002 0 0
R =
4
可知G为满秩矩阵，则系统状态是完全能观的。

意味着系统在任意时刻的状态 X，能在任何有限时间间隔内，由输出的观测来决定。

（4）能观标准型
A=[0 1 0 0;0 0 7 0;0 0 0 1; 0 0 0];
B=[0 0 0 127]';
C=[1 0 0 0;0 0 1 0];
D=0;
[Abar,Bbar,Cbar,T,K]=obsvf(A,B,C)
仿真结果：
Abar =
0 0 0 +002
0 0 +000 0
+000 0 0 0
0 +000 0 0
Bbar =
127
Cbar =
0 0 0 1
0 0 1 0
则能观标准型为：
X Y u X X ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010010000001270010
0001070078.177000. 稳定性
稳定性是系统的一个基本结构特性。

稳定性问题是系统控制理论研究的一个课，对大多数情况来说，稳定是控制系统能够正常运行的前提，下面对系统的稳定性进行分析。

程序代码;
[0 1 0 0;0 0 7 0;0 0 0 1; 0 0 0];
B=[0 0 0 127]';
C=[1 0 0 0;0 0 1 0];
D=[0 0]';
[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,1)
仿真结果
p =
+000
++000i
+000i
+000
由于P 的实部有一个是正的，因此该系统是不稳定，需通过控制方法将其达到稳定状态。

四、系统仿真
与向量的数目相等, 该受控对象可控，可进行状态反馈。

我们采用主导极点的方法对系统的性能进行改进，同时，根据极点求解状态反馈矩阵K 。

令系统性能指标：%5%,1s t s δ==
则：%5%41s n e t s δεω⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩
解得：
0.69015.7963n εω=⎧⎨=⎩
由1,2n P j εωω=-±可知1,24 4.2P j =-±令另外两个极点为3,425 4.2P j =-± 因为
25 6.2554=>，所以满足主导极点配置的要求。

可以将极点配置到[-4+ -25+ ]。

下面给出当小球初始状态为3.0=r ，横杆角度为6/πθ=和小球初始状态为3.0-=r ，横杆角度为6/πθ-=的仿真图像和程序。

（6/πθ=约为）
平衡系统的仿真程序：
A=[0 1 0 0;0 0 7 0;0 0 0 1; 0 0 0];
B=[0 0 0 127]';
C=[1 0 0 0;0 0 1 0];
D=[0 0]';
P=[-4+ -25+ ]; %配置极点
K=acker(A,B,P)
Ac=A-B*K
t=[0::15];
u=0;
G=ss(Ac,B,C,D);
x00=[,0,pi/6,0]; %第一个初始状态3.0=r ，横杆角度为6/πθ= x01=[,0,-pi/6,0]; %第二个初始状态3.0-=r ，横杆角度为6/πθ-= sys = ss(Ac,b,c,d);
initial(sys,x00) %第一种状态下的响应 hold on;
initial(sys,x01) %第二种状态下的响应 仿真结果：
图2 系统输出响应。