2019_2020学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语单元质量测评课件新人教B版必修第一册

17．(本小题满分 10 分)已知全集 U 为 R，集合 A＝{x|0<x≤2}，B＝{x|x< －3 或 x>1}．求：
(1)A∩B； (2)(∁UA)∩(∁UB)； (3)∁U(A∪B)．
解 (1)在数轴上画出集合 A 和 B，可知 A∩B＝{x|1<x≤2}．
(2)∁UA＝{x|x≤0 或 x>2}，∁UB＝{x|－3≤x≤1}． 在数轴上画出集合∁UA 和∁UB，可知(∁UA)∩(∁UB)＝{x|－3≤x≤0}．
答案
19．(本小题满分 12 分)已知集合 A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|x≤m－1 或 x≥m ＋1}．
(1)当 m＝0 时，求 A∩B； (2)若 p：－1<x<3，q：x≤m－1 或 x≥m＋1，且 q 是 p 的必要不充分条 件，求实数 m 的取值范围．
解 (1)当 m＝0 时，B＝{x|x≤－1 或 x≥1}， 又 A＝{x|－1<x<3}，所以 A∩B＝{x|1≤x<3}．
答案 1
解析 当 x＝1 时，x－1＝0∉A，x＋1＝2∈A； 当 x＝2 时，x－1＝1∈A，x＋1＝3∈A； 当 x＝3 时，x－1＝2∈A，x＋1＝4∉A； 当 x＝5 时，x－1＝4∉A，x＋1＝6∉A； 综上可知，A 中只有一个孤立元素 5.
答案
解析
16．由命题“∃x∈R，x2＋2x＋m＝0”是假命题，求得实数 m 的取值范 围是(a，＋∞)，则实数 a＝________.
答案 1
解析 因为命题“∃x∈R，x2＋2x＋m＝0”是假命题，所以其否定“∀x ∈R，x2＋2x＋m≠0”是真命题，等价于方程 x2＋2x＋m＝0 无实根，所以 Δ ＝4－4m<0，解得 m>1，又因为 m 的取值范围是(a，＋∞)，所以实数 a＝1.
答案
解析
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤)
答案
(2)因为 p：x∈(－1,3)，q：x∈(－∞，m－1]∪[m＋1，＋∞)．q 是 p 的必 要不充分条件，所以 m－1≥3 或 m＋1≤－1，所以 m∈(－∞，－2]∪[4，＋ ∞)．
答案
20．(本小题满分 12 分)设集合 A＝{x|2x2＋ax＋2＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2a ＝0}，A∪B＝12，－5，2，求 A∩B.
答案
解析
11．设 U 为全集，A，B 是集合，则“存在集合 C 使得 A⊆C，B⊆∁UC” 是“A∩B＝∅”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
答案
解析
若存在集合 C 使得 A⊆C，B⊆∁UC，则可以推出 A∩B＝∅；若 A∩B＝∅， 由维恩图可知，存在 A＝C，同时满足 A⊆C，B⊆∁UC.故“存在集合 C 使得 A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的充要条件．故选 C.
答案
解析
7．“a2＋(b－1)2＝0”是“a(b－1)＝0”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 A 解析 a2＋(b－1)2＝0⇔a＝0 且 b＝1，而 a(b－1)＝0⇔a＝0 或 b＝1，故 “a2＋(b－1)2＝0”是“a(b－1)＝0”的充分不必要条件．故选 A.
A．{0,1} B．{－1,0,1} C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}
答案 B 解析 由已知，得∁ZM＝{－2，－1,0,1}，N＝{－1,0,1,2,3}，所以(∁ZM)∩N ＝{－1,0,1}．故选 B.
答案
解析
6．已知全集 U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x≤－1}，则[A∩(∁UB)]∪[B∩(∁
(3)由(1)中数轴可知，A∪B＝{x|x<－3 或 x>0}． 所以∁U(A∪B)＝{x|－3≤x≤0}．
答案
18．(本小题满分 12 分)已知集合 A＝{x|－1≤x≤a，a>－1 且 a∈R}，B ＝{y|y＝2x－1，x∈A}，C＝{z|z＝x2，x∈A}．是否存在 a，使 C⊆B？若存在， 求出 a 的取值范围；若不存在，说明理由．
答案
解析
14．若集合 A＝{1,2,4,6,7}，B＝{3,4,5,7}，则 A∩B＝________.
答案 {4,7} 解析 根据 A∩B＝{x|x∈A 且 x∈B}，集合 A 与集合 B 中的公共元素为 4,7，所以 A∩B＝{4,7}．
答案
解析
15．已知集合 A＝{1,2,3,5}，当 x∈A 时，若 x－1∉A，x＋1∉A，则称 x 为 A 的一个“孤立元素”，则 A 中孤立元素的个数为________．
答案
22．(本小题满分 12 分)已知两个关于 x 的一元二次方程 mx2－4x＋4＝0 和 x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，其中 m∈Z，求这两个方程的根均为整数的充 要条件．
解 ∵mx2－4x＋4＝0 是一元二次方程， ∴m≠0. 又另一方程为 x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，且两方程都有实根，
UA)]等于( )
A．∅
B．{x|x≤0}
C．{x|x>－1} D．{x|x>0 或 x≤－1}
答案 D
解析 ∵∁UA＝{x|x≤0}，∁UB＝{x|x>－1}， ∴A∩(∁UB)＝{x|x>0}，B∩(∁UA)＝{x|x≤－1}，
∴[A∩(∁UB)]∪[B∩(∁UA)]＝{x|x>0 或 x≤－1}．故选 D.
Hale Waihona Puke 要不充分条件．故选 B.答案
解析
9．50 个学生中，会讲英语的有 36 人，会讲日语的有 20 人，既不会讲
英语也不会讲日语的有 8 人，则既会讲英语又会讲日语的人数为( )
A．20
B．14
C．12
D．10
答案 B
答案
解析 用维恩图表示如图：
共有 50 人，设既会讲英语又会讲日语的有 x 人，则 36－x＋x＋20－x＋8 ＝50.解得 x＝14.故选 B.
第一章 单元质量测评
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分 150 分，考试 时间 120 分钟．
第Ⅰ卷(选择题，共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在 2018 年俄罗斯世界杯足球比赛中，下列能构成集合的是( ) A．所有著名运动员 B．所有志愿者 C．比较受欢迎的球队 D．参加比赛的所有高个子队员 答案 B 解析 A，C，D 中都没有一个确定的标准，不满足集合的确定性，因而 都不能构成集合；B 中，所有的志愿者能构成一个集合．故选 B.
解析
10．已知全集 U＝R，集合 A＝{x|x<3 或 x≥7}，B＝{x|x<a}．若(∁UA)∩B≠
∅，则 a 的取值范围为( )
A．a>3
B．a≥3
C．a≥7
D．a>7
答案 A
解析 因为全集 U＝R，集合 A＝{x|x<3 或 x≥7}，所以∁UA＝{x|3≤x<7}， 又(∁UA)∩B≠∅，所以 a>3.故选 A.
答案
∴ΔΔ21＝＝1166m－21－6m4≥4m02，－4m－5≥0， 解得 m∈－54，1. ∵两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，
m4 ∈Z， ∴4m∈Z，
4m2－4m－5∈Z， ∴m 为 4 的约数．
答案
又 m∈－54，1，m≠0，m∈Z， ∴m＝－1 或 1. 当 m＝－1 时，第一个方程 x2＋4x－4＝0 的根不是整数； ∵当 m＝1 时，两方程的根均为整数． ∴这两个方程的根均为整数的充要条件是 m＝1.
解析
12．已知△ABC 的边长为 a，b，c，定义它的等腰判别式为 D＝max{a －b，b－c，c－a}＋min{a－b，b－c，c－a}，则“D＝0”是“△ABC 为等腰 三角形”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 C
答案
解析 ①充分性：若△ABC 不为等腰三角形，不妨设 a<b<c，则 max{a －b，b－c，c－a}＝c－a，min{a－b，b－c，c－a}＝a－b 或 b－c，所以 D ＝c－b 或 b－a，故 D≠0.所以若 D＝0，则△ABC 为等腰三角形．
②必要性：若△ABC 为等腰三角形，不妨设 a＝b，D＝max{0，b－c，c －b}＋min{0，b－c，c－b}＝bc－－bc＋ ＋cb－－bc＝ ＝00bb><cc.，
所以“D＝0”是“△ABC 为等腰三角形”的充要条件．故选 C.
解析
第Ⅱ卷(非选择题，共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在题中 的横线上) 13．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐 代诗人王维的《相思》诗，在这四句诗中，可作为命题的是________________． 答案 红豆生南国 解析 “红豆生南国”是陈述句，意思是“红豆生长在中国南方”，这 在唐代是事实，故本语句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句， “愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题．
解 由题意，知 A，B 中都至少有一个元素．若 A 中只有一个元素，则 a2－4×2×2＝0，a＝4 或 a＝－4，此时 A＝{1}或 A＝{－1}，不符合题意； 若 B 中只有一个元素，则 9－8a＝0，a＝98，此时 B＝－32，不符合题意．故 A，B 中均有两个元素．
答案
21．(本小题满分 12 分)设 a，b，c 为△ABC 的三边，求证：方程 x2＋2ax ＋b2＝0 与 x2＋2cx－b2＝0 有公共根的充要条件是∠A＝90°.
答案
解析
4．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是( ) A．∀x∈R，|x|＋x2<0 B．∀x∈R，|x|＋x2≤0 C．∃x∈R，|x|＋x2<0 D．∃x∈R，|x|＋x2≥0
答案 C 解析 “∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是“∃x∈R，|x|＋x2<0”．故选 C.
答案
解析
5．设集合 M＝{m∈Z|m≤－3 或 m≥2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，则(∁ZM)∩N 等于( )
答案
解析
2．集合 A＝{x∈N|0<x<4}的真子集个数为( )
A．3
B．4
C．7
D．8
答案 C 解析 ∵集合 A＝{x∈N|0<x<4}＝{1,2,3}，∴真子集的个数是 23－1＝7. 故选 C.
答案
解析
3．若 M，N 是两个集合，则下列命题中真命题是( ) A．如果 M⊆N，那么 M∩N＝M B．如果 M∩N＝N，那么 M⊆N C．如果 M⊆N，那么 M∪N＝M D．如果 M∪N＝N，那么 N⊆M 答案 A 解析 根据集合间的关系及集合的运算性质，易知 A 正确．
证明 必要性：∵方程 x2＋2ax＋b2＝0 与 x2＋2cx－b2＝0 有公共根 ξ， ∴ξξ22＋＋22caξξ－＋bb22＝＝00， ⇒ξ＝a－－bc2＝c－b2a. ∴c－b2 a2＋2c·c－b2 a－b2＝0⇒a2＝b2＋c2， ∴∠A＝90°.
答案
充分性：若∠A＝90°，则 a2＝b2＋c2， 易得 x0＝c－b2a是方程的公共根． 综上可知，方程 x2＋2ax＋b2＝0 与 x2＋2cx－b2＝0 有公共根的充要条件 是∠A＝90°.
解 假设存在这样的 a 值． ∵y＝2x－1 且 x∈A，即－1≤x≤a， ∴－3≤y≤2a－1. 又∵z＝x2 且 x∈A. ∴当－1<a≤0 时，a2≤z≤1； 当 0<a<1 时，0≤z≤1；当 a≥1 时，0≤z≤a2.
答案
若－1<a≤0，要使 C⊆B，则 2a－1≥1，即 a≥1，矛盾． 同理当 0<a<1 时，也不存在 a 的值． 而 a≥1 时，要使 C⊆B，则有 a2≤2a－1，即(a－1)2≤0，∴a＝1. 故存在 a＝1，使得 C⊆B.
答案
解析
8．设 x，y∈R，则“x2＋y2≥9”是“x>3 且 y≥3”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件 答案 B
解析 当 x＝－4，y＝0 时，满足 x2＋y2≥9，但不满足 x>3 且 y≥3；当
x>3 且 y≥3 时，一定有 x2＋y2≥9，所以“x2＋y2≥9”是“x>3 且 y≥3”的必