课件11：2.2.2 向量减法运算及其几何意义

知识点 3 用已知向量表示未知向量
【例 3】 如图，在正八边形 ABCDEFGH 中，C→D＝c，D→E＝d，A→B＝a，B→C＝b，E→F＝e， (1)试用已知向量表示F→B； (2)试用已知向量表示C→G. 解：(1)由图可知，F→B＝－B→F＝－(b＋c＋d＋e)； (2)由图可知，C→G＝c＋d＋e＋F→G＝c＋d＋e－B→C＝c＋d＋e－b.
小试身手
1．当|a|＝|b|≠0 且 a，b 不共线时，a＋b 与 a－b 的位置关系是( )
A．平行
B．垂直
C．相交但不垂直 D．相等
【答案】B
2．在以下各命题中，不正确的命题个数为( ) ①任一非零向量的方向都是唯一的； ②|a|－|b|<|a＋b|； ③若|a|－|b|＝|a|＋|b|，则 b＝0； ④已知 A，B，C 是平面上的任意三点，则A→B＋B→C＋C→A＝0. A．1 B．2 C．3 D．4
变式训练
3．如图所示，ABCD 是一个梯形，AB∥CD，AB＝2CD，设A→B＝a，B→C＝b， M，N 分别为 DC 与 AB 的中点，试用 a，b 表示M→N. 解：由已知可得，N→B＝12a，C→M＝12C→D＝12×－12A→B＝－14a. 于是M→N＝－(N→B＋B→C＋C→M)＝－21a＋b－14a＝－14a－b.
【答案】A
3．有一边长为 1 的正方形 ABCD，设A→B＝a，B→C＝b，A→C＝c， 则|a－b－c|＝________.
【答案】2
4．若 a 与 b 是互为相反的向量，给出下列命题： ①a 与 b 的模必为相反数； ②c－a＝c＋b； ③若 c 也是与 a 相反的向量，则 c＝b； ④表示 a 与 b 的两条有向线段的四个端点必在同一条直线上． 其中正确命题的序号是________．
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
基础知识
1．与 a 长度相等，方向相反的向量，叫做 a 的相___反___向量，记作_－__a___． a 与－a 互为相反向量，即－(－a)＝__a__.规定，零向量的相反向量仍是_零___向量． 任一向量与其相反向量的和是_零___向量，即 a＋(－a)＝(－a)＋a＝__0__. 如果 a，b 是互为相反的向量，那么 a＝－b，b＝－a，a＋b＝__0__.
课堂小结
1．向量减法是向量加法的逆运算，利用这一性质，在解题时，把减法运算转化 为加法运算会给解题时带来很大的方便． 2．无论是做向量的加法运算还是做向量的减法运算，大多数情况下离不开作图， 因此，要努力提高作图能力.

【答案】②③
题型探究
要点阐释 1．向量 a－b 的几何意义是：a－b 表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量．此 即可理解为是向量减法的三角形法则“共起点，指被减”． 2．相反向量与方向相反的向量有区别，前者不仅方向相反，而且模相等． 3．向量的减法运算与加法运算是互逆运算，可以灵活转化，减去一个向量等于加上 这个向量的相反向量，因此，向量减法也有三角形法则和平行四边形法则．
2．定义 a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量． 3．向量减法的几何意义，即向量减法的三角形法则：作向量A→B＝a，A→C＝b， 则向量 C→B＝a－b.
自主探究
对任意向量 a，b，式子||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|能成立吗？如果成立的话， 在什么时候取等号？ 【解析】式子||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|是成立的． (1)若 a，b 中有零向量，则上式取“＝”号； (2)若 a，b 均为非零向量， ①若 a，b 同向共线，则|a－b|＝||a|－|b||； ②若 a，b 反向共线，则|a－b|＝|a|＋|b|； ③当 a，b 不共线时，作向量A→B＝a，A→C＝b，则向量C→B＝a－b.在三角形 ABC 中， 根据“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”可得||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|. 综上可得，式子||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|是成立的．
变式训练 1．化简： O→A＋B→O－2A→B＋D→A－D→B. 【解析】原式＝(B→O＋O→A)－A→B－A→B＋(D→A－D→B)＝B→A－A→B－A→B＋B→A＝4B→A.
知识点 2 模的运算 【例 2】 若|a|＝4，|b|＝7，求|a－bb 则C→B＝a－b，当 a，b 不共线时，由于在三角形 ABC 中，有 AB＋AC>BC，所以|a－b|<|a|＋|b|＝4＋7＝11，再由两边之 差小于第三边可得，||a|－|b||<|a－b|，即|a－b|>|4－7|＝3.当 a，b 同向 共线时，|a－b|＝7－4＝3，当 a，b 反向共线时，|a－b|＝7＋4＝11.综 上可得 3≤|a－b|≤11. 故|a－b|的最大值为 11，最小值为 3.
知识点 1 向量的加减运算 【例 1】 化简A→B－A→D－D→C.
解：解法一：A→B－A→D－D→C＝D→B－D→C＝C→B. 解法二：A→B－A→D－D→C＝A→B－(A→D＋D→C)＝A→B－A→C＝C→B. 解法三： A→B－A→D－D→C＝A→B＋(D→A＋C→D)＝A→B＋(C→D＋D→A) ＝A→B＋C→A＝C→A＋A→B＝C→B.
误区解密 混淆三角形的四心而出错 【例题】 设点 O 是三角形 ABC 所在平面上一点，若|O→A|＝|O→B|＝|O→C|， 则点 O 是三角形 ABC 的( ) A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
错解：A
错因分析：由于记不住三角形四心的定义及四心的性质，导致出错．
正解：由|O→A|＝|O→B＝|O→C|可得，O 点到三角形各顶点的距离相等．可见， 满足|O→A|＝|O→B|＝|O→C|的点 O 是三角形 ABC 的外心，故选 B.
变式训练 2．如图，已知向量A→B＝a，A→D＝b，∠DAB＝120°，|a|＝|b|＝4， 求|a＋b|，|a－b|.
解：
如图，以 AB，AD 为邻边作平行四边形 ABCD，由题意可知，ABCD 是菱形， 由向量加减法的法则可知，A→C＝a＋b，D→B＝a－b. 在菱形 ABCD 中，由已知易求得 AC 的长为 4，DB 的长为 4 3，故|a＋b|＝4， |a－b|＝4 3.