四川省雅安市2017届高三第三次诊断考试数学试题(理)含答案

雅安市高中2014级第三次诊断性考试

数学试题（理科）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设全集{}0,1,2,3,4U =----，集合{}0,1,2M =--，{}0,3,4N =--，那么

()U C M N I

为（ ）

A ．{}0

B ．{}3,4--

C ．{}1,2--

D ．∅ 2．复数3i

2i

z -+=

+的共轭复数是（ ） A ．2i + B ．2i - C ．1i -+ D ．1i --

3．若()y f x =是定义域在R 上的函数，则()y f x =为奇函数的一个充要条件为（ ） A ．()00f = B ．对x R ∀∈，()0f x =都成立 C ．0x R ∃∈，使得()()000f x f x +-= D ．对x R ∀∈，()()0f x f x +-=都成立 4．

cos xdx π

⎰

（ ）

A ．1

B ．2-

C ．0

D ．π

5．阅读程序框图，为使输出的数据为31，则判断框中应填入的条件为（ ）

A ．4i ≤

B ．5i ≤

C ．6i ≤

D ．7i ≤ 6．将函数()sin 43f x x π⎛

⎫

=+

⎪⎝

⎭

的图象向左平移ϕ（0ϕ>）个单位后关于直线12

x π

=

对

称，则ϕ的最小值为（ ） A ．

6π B ．524π C ．4π D ．724

π 7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A ．3π

B ．

103π C ．6π D ．83

π

8．对一切实数x ，不等式2

10x a x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),2-∞- B ．[)2,-+∞ C ．[]2,2- D ．[)0,+∞

9．半径为2的球内有一底面边长为2的内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直底面），则球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是（ ）

A

．

(16π B

．(16π C

．(82π- D

．(82π 10．若ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2sin 23sin b A a B =，

且2c b =，则

a

b

等于（ ） A ．32 B ．4

3

C

．

11．已知点A 是抛物线2

4x y =的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且当PA 与抛物线相切时，点P 恰好在以A 、B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A

．

12 B

．1

2

C

1 D

1 12．已知函数()ln f x x =，()2042g x x ⎧⎪=⎨--⎪⎩

()()011x x <≤>则方程()()1f x g x +=实根

的个数为（ ）

A ．2个

B ．4个

C ．6个

D ．8个

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．变量x ，y 满足约束条件20201x y x y y +-≥⎧⎪

--≤⎨⎪≥⎩

，则目标函数3z x y =+的最小值 ．

14．展开式5

232x x ⎛

⎫- ⎪⎝

⎭中的常数项为 ．

15．设a ，b ，{}1,2,3,4,5,6c ∈，若以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三角形有 个．

16．直线0ax by c ++=与圆O ：2216x y +=相交于两点M 、N .若222

c a b =+，P 为

圆O 上任意一点，则PM PN ⋅uuu r uu u r

的取值范围是 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．在等差数列{}n a 中，2723a a +=-，3829a a +=- （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设数列{}n n a b +是首项为1，公比为q 的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S . 18．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.

（1）根据已知条件完成上面的22⨯列联表，若按95%的可靠性要求，并据此资料，你是

否认为“体育迷”与性别有关？

（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，求X 分布列，期望()E X 和方差()D X .

附：()()()()()

2

2n ad bc K a b c d a c b d -=++++

19．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，24BC AD ==，

AB CD ==（1）证明：BD ⊥平面PAC ；

（2）若二面角A PC D --的大小为60︒，求AP 的值.

20．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的短轴长为2，离心率为2

，直线l ：y kx m

=+与椭圆C 交于A ，B 两点，且线段AB 的垂直平分线通过点10,2⎛

⎫- ⎪⎝⎭

. （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）当AOB V （O 为坐标原点）面积取最大值时，求直线l 的方程. 21．已知函数()2

1ln 2

f x x ax =-

（a R ∈）. （1）若()f x 在点()()

2,2f 处的切线与直线220x y ++=垂直，求实数a 的值； （2）求函数()f x 的单调区间；

（3）讨论函数()f x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上零点的个数.