课时作业12：高考专题突破五 第2课时 定点与定值问题

第2课时 定点与定值问题
课时精练
1．(2021·成都模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，且经过点A ⎝
⎛⎭⎫3，12. (1)求椭圆C 的标准方程；
(2)过点B (4,0)作一条斜率不为0的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，记点P 关于x 轴对称的点为P ′.证明：直线P ′Q 经过x 轴上一定点D ，并求出定点D 的坐标．
(1)解 由椭圆的定义，可知
2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝
(23)2＋⎝⎛⎭⎫122＋12＝4. 解得a ＝2.
又b 2＝a 2－(3)2＝1.
∴椭圆C 的标准方程为x 24
＋y 2＝1. (2)证明 由题意，设直线l 的方程为x ＝my ＋4(m ≠0)．
设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则P ′(x 1，－y 1)．
由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my ＋4，x 24＋y 2＝1，
消去x ，可得(m 2＋4)y 2＋8my ＋12＝0. ∵Δ＝16(m 2－12)>0，
∴m 2>12.
∴y 1＋y 2＝－8m m 2＋4，y 1y 2＝12m 2＋4
. ∵k P ′Q ＝y 2＋y 1x 2－x 1＝y 2＋y 1m (y 2－y 1)
. ∴直线P ′Q 的方程为y ＋y 1＝
y 2＋y 1m (y 2－y 1)(x －x 1)． 令y ＝0，可得x ＝m (y 2－y 1)y 1y 1＋y 2
＋my 1＋4.
∴x ＝2my 1y 2y 1＋y 2＋4＝2m ·12m 2＋4－8m m 2＋4
＋4＝24m －8m
＋4＝1. ∴D (1,0)．
∴直线P ′Q 经过x 轴上定点D ，其坐标为(1,0)．
2．(2020·西安模拟)设F 1，F 2为椭圆C ：x 24＋y 2
b 2＝1(b >0)的左、右焦点，M 为椭圆上一点，满足MF 1⊥MF 2，已知△MF 1F 2的面积为1.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设C 的上顶点为H ，过点(2，－1)的直线与椭圆交于R ，S 两点(异于H )，求证：直线HR 和HS 的斜率之和为定值，并求出这个定值．
解 (1)由椭圆定义得|MF 1|＋|MF 2|＝4，①
由MF 1⊥MF 2得
|MF 1|2＋|MF 2|2＝|F 1F 2|2＝4(4－b 2)，②
由题意得12△MF F S ＝12
|MF 1|·|MF 2|＝1，③ 由①②③，可得b 2＝1，
所以椭圆C 的方程为x 24
＋y 2＝1. (2)依题意，H (0,1)，显然直线RS 的斜率存在且不为0，
设直线RS 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，
代入椭圆方程并化简得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.
由题意知，Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0，
设R (x 1，y 1)，S (x 2，y 2)，x 1x 2≠0，
故x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1
. k HR ＋k HS ＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2
＝2k ＋(m －1)x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(m －1)－8km 4m 2－4
＝2k －2km m ＋1＝2k m ＋1
. ∵直线RS 过点(2，－1)，∴2k ＋m ＝－1，
∴k HR ＋k HS ＝－1.故k HR ＋k HS 为定值－1.
3．(2018·北京)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1,2)，过点Q (0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N .
(1)求直线l 的斜率的取值范围；
(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ为定值． (1)解 因为抛物线y 2＝2px 过点(1,2)， 所以2p ＝4，即p ＝2.
故抛物线C 的方程为y 2＝4x .
由题意知，直线l 的斜率存在且不为0.
设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y 2＝4x ，y ＝kx ＋1，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0. 依题意知Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1>0，
解得k <0或0<k <1.
又P A ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1，－2)．
从而k ≠－3.
所以直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3,0)∪(0,1)．
(2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由(1)知x 1＋x 2＝－2k －4k 2，x 1x 2＝1k
2. 直线P A 的方程为y －2＝y 1－2x 1－1
(x －1)， 令x ＝0，得点M 的纵坐标为y M ＝－y 1＋2x 1－1＋2＝－kx 1＋1x 1－1
＋2. 同理得点N 的纵坐标为y N ＝－kx 2＋1x 2－1
＋2. 由QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，得λ＝1－y M ，μ＝1－y N .
所以1λ＋1μ＝11－y M ＋11－y N ＝x 1－1(k －1)x 1＋x 2－1(k －1)x 2
＝1k －1·2x 1x 2－(x 1＋x 2)x 1x 2＝1k －1
·2k 2
＋2k －4k 21k 2
＝2. 所以1λ＋1μ
为定值．
4．已知P 是圆F 1：(x ＋1)2＋y 2＝16上任意一点，F 2(1,0)，线段PF 2的垂直平分线与半径PF 1交于点Q ，当点P 在圆F 1上运动时，记点Q 的轨迹为曲线C .
(1)求曲线C 的方程；
(2)记曲线C 与x 轴交于A ，B 两点，M 是直线x ＝1上任意一点，直线MA ，MB 与曲线C 的
另一个交点分别为D ，E ，求证：直线DE 过定点H (4,0)．
(1)解 由线段PF 2的垂直平分线与半径PF 1交于点Q ，得|QF 1|＋|QF 2|＝|QF 1|＋|QP |＝|PF 1|＝4>|F 1F 2|＝2，
所以点Q 的轨迹为以F 1，F 2为焦点，长轴长为4的椭圆，故2a ＝4，a ＝2,2c ＝2，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3.
曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)证明 由(1)可设A (－2,0)，B (2,0)，点M 的坐标为(1，m )，直线MA 的方程为y ＝m 3
(x ＋2)， 将y ＝m 3(x ＋2)与x 24＋y 2
3
＝1联立整理得， (4m 2＋27)x 2＋16m 2x ＋16m 2－108＝0，
设点D 的坐标为(x D ，y D )，则－2x D ＝16m 2－1084m 2＋27
， 故x D ＝54－8m 24m 2＋27，则y D ＝m 3(x D ＋2)＝36m 4m 2＋27
， 直线MB 的方程为y ＝－m (x －2)，
将y ＝－m (x －2)与x 24＋y 2
3
＝1联立整理得， (4m 2＋3)x 2－16m 2x ＋16m 2－12＝0，
设点E 的坐标为(x E ，y E )，则2x E ＝16m 2－124m 2＋3
， 故x E ＝8m 2－64m 2＋3，则y E ＝－m (x E －2)＝12m 4m 2＋3
， HD 的斜率为k 1＝y D x D －4＝36m 54－8m 2－4(4m 2＋27)＝－6m 4m 2＋9
， HE 的斜率为k 2＝y E x E －4＝12m 8m 2－6－4(4m 2＋3)＝－6m 4m 2＋9
， 因为k 1＝k 2，所以直线DE 经过定点H (4,0)．
5.(2020·华中师大附中月考)如图，已知椭圆C 1：x 24
＋y 2＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，上、下顶点分别为B 1，B 2，记四边形A 1B 1A 2B 2的内切圆为圆C 2.
(1)求圆C 2的标准方程；
(2)已知圆C 2的一条不与坐标轴平行的切线l 交椭圆C 1于P ，M 两点． (ⅰ)求证：OP ⊥OM ；
(ⅱ)试探究1|OP |2＋1|OM |2
是否为定值． (1)解 因为A 2，B 1分别为椭圆C 1：x 24
＋y 2＝1的右顶点和上顶点，则A 2，B 1的坐标分别为(2,0)，(0,1)，可得直线A 2B 1的方程为x ＋2y ＝2.
则原点O 到直线A 2B 1的距离为d ＝
21＋2
2＝25，则圆C 2的半径r ＝d ＝25， 故圆C 2的标准方程为x 2＋y 2＝45
. (2)(ⅰ)证明 可设切线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)，
将直线l 的方程代入椭圆C 1可得⎝⎛⎭⎫14＋k 2x 2＋2kbx ＋b 2－1＝0，由根与系数的关系得， ⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－2kb 14＋k 2，x 1x 2
＝b 2－114＋k 2，则y 1y 2＝(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝k 2x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2＝－k 2＋14b 214
＋k 2， 又l 与圆C 2相切，可知原点O 到l 的距离
d ＝|b |k 2＋12
＝25，整理得k 2＝54b 2－1， 则y 1y 2＝1－b 214
＋k 2，所以OP →·OM →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0， 故OP ⊥OM .
(ⅱ)解 由(ⅰ)知OP ⊥OM ，
①当直线OP 的斜率不存在时，显然|OP |＝1，|OM |＝2，此时1|OP |2＋1|OM |2＝54
； ②当直线OP 的斜率存在时，设直线OP 的方程为y ＝k 1x ，
代入椭圆方程可得x 24＋k 21x 2＝1，则x 2＝41＋4k 21
，
故|OP|2＝x2＋y2＝(1＋k21)x2＝4(1＋k21) 1＋4k21
，
同理|OM|2＝4⎣⎡⎦⎤
1＋⎝⎛⎭⎫
－
1
k12
1＋4⎝⎛⎭⎫
－
1
k12
＝
4(k21＋1)
k21＋4
，
则
1
|OP|2＋
1
|OM|2＝
1＋4k21
4()
1＋k21
＋
k21＋4
4(1＋k21)
＝
5
4.
综上可知，1
|OP|2＋1
|OM|2＝5
4为定值．。