福州四中2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题

福州四中2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题
班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1． 如图在圆O 中，AB ，CD 是圆O 互相垂直的两条直径，现分别以OA ，OB ，OC ，OD 为直径作四个 圆，在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）
A ．
π
1
B ．
π21 C ．π121- D ．π
2141- 【命题意图】本题考查几何概型概率的求法，借助圆这个载体，突出了几何概型的基本运算能力，因用到圆的几何性质及面积的割补思想，属于中等难度．
2． 已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥+≤-5342
y x y x x y ，若目标函数mx y z -=取得最大值时有唯一的最优解)3,1(，则
实数m 的取值范围是（ ）
A ．1-<m
B ．10<<m
C ．1>m
D ．1≥m
【命题意图】本题考查了线性规划知识，突出了对线性目标函数在给定可行域上最值的探讨，该题属于逆向问题，重点把握好作图的准确性及几何意义的转化，难度中等.
3． 设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x|x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B}，则M 中元素的个数为( )。

A3 B4 C5 D6
4． 数列{}n a 中，11a =，对所有的2n ≥，都有2
123n a a a a n = ，则35a a +等于（ ）
A ．
259 B ．2516 C ．6116 D ．31
15 5． 设函数()log |1|a f x x =-在(,1)-∞上单调递增，则(2)f a +与(3)f 的大小关系是（ ）
A ．(2)(3)f a f +>
B ．(2)(3)f a f +< C. (2)(3)f a f += D ．不能确定
D
A
B
C
O
6． 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ） A.7
B.8
C. 9
D. 10
【命题意图】本题考查阅读程序框图，理解程序框图的功能，本质是循环语句循环终止的条件. 7． ABC ∆中，“A B >”是“cos 2cos 2B A >”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力.
8． 复数i i -+3)1(2的值是（ ）
A ．i 4341+-
B ．i 4341-
C ．i 5351+-
D ．i 5
351-
【命题意图】本题考查复数乘法与除法的运算法则，突出复数知识中的基本运算，属于容易题． 9． 满足下列条件的函数)(x f 中，)(x f 为偶函数的是（ ）
A.()||x f e x =
B.2()x x f e e =
C.2
(ln )ln f x x = D.1(ln )f x x x
=+
【命题意图】本题考查函数的解析式与奇偶性等基础知识，意在考查分析求解能力.
10．已知P （x ，y ）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x ﹣y 的最大值是（ ）
A ．6
B ．0
C ．2
D ．2
11．某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m n +的值是（ ）
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13
【命题意图】本题考查样本平均数、中位数、茎叶图等基础知识，意在考查识图能力和计算能力． 12．已知角α的终边经过点(sin15,cos15)- ，则2
cos α的值为（ ）
A ．
124+
B ．124
- C. 34 D ．0 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）
13．已知x ，y 为实数，代数式222
2)3(9)2(1y x x y ++
-++-+的最小值是 .
【命题意图】本题考查两点之间距离公式的运用基础知识，意在考查构造的数学思想与运算求解能力. 14．在正方形ABCD 中，2==AD AB ,N M ,分别是边CD BC ,上的动点，当4AM AN
⋅=时，则MN
的取值范围为 ．
【命题意图】本题考查平面向量数量积、点到直线距离公式等基础知识，意在考查坐标法思想、数形结合思想和基本运算能力．
15．如图，在三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==，PA PB ⊥，PA PC ⊥，PBC △为等边三角形，则PC 与平面ABC 所成角的正弦值为______________.
【命题意图】本题考查空间直线与平面所成角的概念与计算方法，意在考查学生空间想象能力和计算能力．
16．如图所示，圆C 中，弦AB 的长度为4，则AB AC ×
的值为_______．
【命题意图】本题考查平面向量数量积、垂径定理等基础知识，意在考查对概念理解和转化化归的数学思想．
三、解答题（本大共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17．（本小题满分13分）
在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AB DC ，2
ABC π
∠=
，AD =33AB DC ==．
（Ⅰ）在棱PB 上确定一点E ，使得//CE 平面PAD ；
（Ⅱ）若PA PD ==PB PC =，求直线PA 与平面PBC 所成角的大小．
18．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，四边形ABCD 外接于圆，AC 是圆周角BAD ∠的角平分线，过点C 的切线与AD 延长线交于点E ，AC 交BD 于点F ． （1）求证：BD CE ；
（2）若AB 是圆的直径，4AB =，1DE =，求AD 长
A
B
C
D
P
19．（本小题满分14分） 已知函数()ln k
f x x x x
=-
（k R ∈），其图象与x 轴交于不同两点1(,0)A x ，2(,0)B x ，且12x x <. （1）求实数k 的取值范围； （2）证明：11
2
1222e x x e --<+<.
20．（本小题满分12分）已知函数()2
ln f x ax bx x =+-（,a b ∈R ）．
（1）当1,3a b =-=时，求函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值；
（2）当0a =时，是否存在实数b ，当(]0,e x ∈（e 是自然常数）时，函数()f x 的最小值是3，若存在，求
出b 的值；若不存在，说明理由；
21．（本题满分14分）
在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，已知cos (cos )cos 0C A A B +=． （1）求角B 的大小；
（2）若2=+c a ，求b 的取值范围．
【命题意图】本题考查三角函数及其变换、正、余弦定理等基础知识，意在考查运算求解能力．
22．（本题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，2
3
3-=n n a S （+∈N n ）. （1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）若数列}{n b 满足143log +=⋅n n n a b a ，记n n b b b b T ++++= 321，求证：2
7
<n T （+∈N n ）. 【命题意图】本题考查了利用递推关系求通项公式的技巧，同时也考查了用错位相减法求数列的前n 项和.重
点突出运算、论证、化归能力的考查，属于中档难度.
福州四中2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题（参考答案）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1． 【答案】C
【解析】设圆O 的半径为2，根据图形的对称性，可以选择在扇形OAC 中研究问题，过两个半圆的交点分别向OA ，OC 作垂线，则此时构成一个以1为边长的正方形，则这个正方形内的阴影部分面积为
12
-π
，扇形OAC 的面积为π，所求概率为π
π
π
12112
-=
-=P ． 2． 【答案】C
【解析】画出可行域如图所示，)3,1(A ，要使目标函数mx y z -=取得最大值时有唯一的最优解)3,1(，则需直线l 过点A 时截距最大，即z 最大，此时1>l k 即可.
3． 【答案】B
【解析】由题意知x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，则x 的可能取值为5,6,7,8.因此集合M 共有4个元素，故选B 4． 【答案】C 【解析】
试题分析：由2
123n a a a a n = ，则2
1231(1)n a a a a n -=- ，两式作商，可得2
2
(1)
n n a n =-，所以2235223561
2416
a a +=+=，故选C ．
考点：数列的通项公式． 5． 【答案】A
【解析】
试题分析：由()()()(
)()log 1,,1log 1,1,a a x x f x x x -∈-∞⎧⎪=⎨-∈+∞⎪⎩且()f x 在(),1-∞上单调递增，易得01,112a a <<∴<+<.()f x ∴在()1,+∞上单调递减,()()23f a f ∴+>，故选A.
考点：1、分段函数的解析式；2、对数函数的单调性. 6． 【答案】A
【解析】运行该程序，注意到循环终止的条件，有n =10，i =1；n =5，i =2；n =16，i =3；n =8，i =4；n =4，i =5；n =2，i =6；n =1，i =7，到此循环终止，故选 A. 7． 【答案】A.
【解析】在ABC ∆中2
2
2
2
cos 2cos 212sin 12sin sin sin sin sin B A B A A B A B >⇒->-⇔>⇔>
A B ⇔>，故是充分必要条件，故选A.
8． 【答案】C
【解析】i
i i i i i i i i i
5
3
51
1062)3)(3()3(2323)1(2+-=+-=+-+=-=-+．
9． 【答案】D.
10．【答案】A 解析：解：由
作出可行域如图，
由图可得A （a ，﹣a ），B （a ，a ），
由
，得a=2．
∴A （2，﹣2），
化目标函数z=2x ﹣y 为y=2x ﹣z ，
∴当y=2x ﹣z 过A 点时，z 最大，等于2×2﹣（﹣2）=6． 故选：A ． 11．【答案】C
【解析】由题意，得甲组中78888486929095
887
m +++++++=，解得3m =．乙组中888992<<，
所以9n =，所以12m n +=，故选C ．
12．【答案】B
【解析】
考
点：1、同角三角函数基本关系的运用；2、两角和的正弦函数；3、任意角的三角函数的定义.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）
13． 【
解
析
】
14．
【答案】
（02x ＃，02y ＃）上的点(,)x y 到定点(2,2)
2，故MN 的取值
范围为．
2
2
y
x
B
15．【答案】7
【
解
析】
16．【答案】8
三、解答题（本大共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17．【答案】
【解析】解： （Ⅰ）当13
PE PB =
时，//CE 平面PAD . 设F 为PA 上一点，且13
PF PA =，连结EF 、DF 、EC ， 那么//EF AB ,13
EF AB =. ∵//DC AB ，13
DC AB =，∴//EF DC ，EF DC =，∴//EC FD ． 又∵CE ⊄平面PAD ， FD ⊂平面PAD ，∴//CE 平面PAD ． （5分） （Ⅱ）设O 、G 分别为AD 、BC 的中点，连结OP 、OG 、PG ，
∵PB PC =，∴PG BC ⊥，易知OG BC ⊥，∴BC ⊥平面POG ，∴BC OP ⊥．
又∵PA PD =，∴OP AD ⊥，∴OP ⊥平面ABCD ． （8分）
建立空间直角坐标系O xyz -（如图），其中x 轴//BC ，y 轴//AB ，则有(1,1,0)A -,(1,2,0)B , (1,2,0)C -
．由2PO ===知(0,0,2)P ． （9分） 设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，(1,2,2)PB =-,(2,0,0)CB =u r 则00n PB n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即22020x y z x +-=⎧⎨=⎩，取(0,1,1)n = . 设直线PA 与平面PBC 所成角为θ，(1,1,2)AP =-u u u r
，则||sin |cos ,|||||
AP n AP n AP n θ⋅=<>==⋅ ∴
πθ=，∴直线PB 与平面PAD 所成角为3π. （13分） 18．【答案】 【解析】【命题意图】本题主要考查圆周角定理、弦切角定理、三角形相似的判断与性质等基础知识，意在考查逻辑推证能力、转化能力、识图能力．
19．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查利用导数研究函数单调性，极值，构建新函数的思想，分类讨论的思想等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题解决问题以及运算求解能力，逻辑思维能力．
所以102k e -<<.
∵
2()1ln k f x x x '=++，∴22212()1x k x x k f x x x x
--+'≥++=.
∵102k e -<<，∴方程220x x k -+=有唯一正根14x *=，则22
2)(****+-≥x
k x x x f . 又21()0f ke e '=<，()f x '在区间1(,)x e * 单调递增，
所以根据零点存在定理，得()f x '在区间1(,)x e *有唯一零点0x .
所以22000ln k x x x -=+，………………① 又min 0000
()()ln 0k f x f x x x x ==-<，…………②
20．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值、不等式的解法等基础知识，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、分析与解决问题的能力、探究能力、运算求解能力．
（2）当0a =时，()ln f x bx x =-． 假设存在实数b ，使()(]()ln 0,e g x bx x x =-∈有最小值3，
1
1
()bx f x b x x -'=-=．………7分
①当0b ≤时，()f x 在(]0,e 上单调递减，()min 4
()e 13,f x f be b e ==-==（舍去）．………8分 ②当1
0e b <<时，()f x 在10,b ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e b ⎛⎤
⎥⎝⎦上单调递增， ∴2
min 1()1ln 3,e f x g b b b ⎛⎫
==+== ⎪⎝⎭，满足条件．……………………………10分 ③当1
e b ≥时，()
f x 在(]0,e 上单调递减，()min 4
()e e 13,e f x g b b ==-==（舍去），………11分
综上，存在实数2e b =，使得当(]0,e x ∈时，函数()f x 最小值是3．……………………………12分
21．【答案】（1）3B π
=；（2）[1,2).
【解析
】
22．【答案】
【解析】。