对勾函数绝对经典

对勾函数f (x )=a x

+的图象与性质

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对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。

(一) 对勾函数的图像

对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如

f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。 当a ≠0，b ≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)=b/x “叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。

当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y=b/x 构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示：

当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。）

一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。

接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。

a>0b>0a<0b<0

对勾函数的图像（ab 同号）

对勾函数的图像（ab 异号）

(二) 对勾函数的顶点

对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

利用均值不等式可以得到：

当x>0

时，。

当x<0

时，

。

即对勾函数的定点坐标： (三) 对勾函数的定义域、值域

由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。

(四) 对勾函数的单调性

(五) 对勾函数的渐进线

由图像我们不难得到：

(六) 对勾函数的奇偶性

对勾函数在定义域内是奇函数，

利用对号函数以上性质，在解某些数学题时很简便，

下面举例说明：

1、求函数324

222++++=x x x x y 的最小值。 解：令322++=x x t ，则22)1(2≥++=x t 根据对号函数t

t y 1+=在（1，+∞）上是增函数及t 的取值范围，当2=t 时y 有最小值2

23。此时x=-1. 2、求函数),(sin 2sin Z k k x x

x y ∈≠+

=π的单调区间，并求当),0(π∈x 时函数的最小值。 解：令t=sinx,对号函数t t y 2+=在（0，2）上是减函数，故当]2

,0(π∈x 时sinx 是增函数，所以x x y sin 2sin +=在]2,0(π上是减函数。同理，x

x y sin 2sin +=在),2(ππ上是增函数，由于函数x x y sin 2sin +=是奇函数，所以函数x x y sin 2sin +=在)0,2(π-上是减函数，在)2

,(ππ--上是增函数，由周期性，函数x x y sin 2sin +=在每一个区间))(2,22(Z k k k ∈-πππ

上是减函数，X

在每一个区间))(22,2(Z k k k ∈+π

ππ上是减函数；函数x

x y s i n 2s i n +=在每一个区间))(2,22(Z k k k ∈++πππ

π上是增函数，在每一个区间))(232,2(Z k k k ∈++ππππ上是增函数。当),0(π∈x 时]1,0(∈t ，当t=1时即2π=

x 时y 有最小值3。

20(本小题12分)已知函数f (x )=. (1)在a>0时求f(x)的单调区间(不必写过程);

(2)若a >0,x 1+x 2>0,x 2+x 3>0,x 3+x 1>0,|x i |>(i =1,2,3),

求证:f (x 1)+f (x 2)+f (x 3)>2.

解：整理得：f (x )=ax +

(1)当a ?0时,f (x )的减区间为(??,0)和(0,+?);

当a >0时,f (x )的减区间为(?,0)和(0,),增区间为(??,?)和(,+?)………5分

(2)证明:由条件知：x 1,x 2,x 3中至多一个负数.………6分

(ⅰ)若x 1,x 2,x 3都为正数,由(1)可知|x i |>时,f (|x i |)>f ()=2(i =1,2,3)

?f (x 1)+f (x 2)+f (x 3)>6>2………9分

(ⅱ)若x 1,x 2,x 3中有一负数,不妨设x 3<0.

∵x 2+x 3>0且|x 3|>,

?x 2>?x 3>

?f (x 2)>f (?x 3)=?f (x 3)(∵f (x )为奇函数)

?f (x 2)+f (x 3)>0

?f (x 1)+f (x 2)+f (x 3)>f (x 1)>f ()=2………12分

综上,f (x 1)+f (x 2)+f (x 3)>2.………13分