10 专题十：线段计算(5)——动点定值问题(方法专题);人教版七年级上学期培优专题讲练(含答案)

专题十：线段计算（5）——动点定值问题
方法点睛
定值问题，主要是指两个或多个量之间的和、差、倍的固定不变的关系，实际上包含了整体代入计算的技巧。

一般解法为：设“关键量”为未知数，然后去表示结论中出现的数量或式子，如果最终表示出来的数量或式子不含未知数，则为定值。

典例精讲
1．已知线段AB＝12，CD＝6，线段CD在直线AB上运动（A在B、C左侧，C在D左侧）．（1）M、N分别是线段AC、BD的中点，若BC＝4，求MN；
（2）当CD运动到D点与B点重合时，P是线段AB延长线上一点，下列两个结论：①
PA+PB PC 是定值；②
PA−PB
PC
是定值，请作出正确的选择，并求出其定值．
举一反三
2．如图，数轴上的两个点A、B所对应的数分别为﹣8、7，点M、N对应的数分别是m、m+3．
（1）若AM＝BN，请直接写出点M、N所对应的数；
（2）若AN＝2BM，求m的值；
（3）设点P为AN的中点，点Q为BM的中点，问当线段MN在数轴上运动时，PQ的值是否发生改变？如果不变，求出PQ的值；如果改变，请说明理由．
专题过关
3．数轴上有两点A，B，点C，D分别从原点O与点B出发，沿BA方向同时向左运动．（1）如图，若点N为线段OB上一点，AB＝16，ON＝2，当点C，D分别运动到AO，BN的中点时，求CD的长；
（2）若点C在线段OA上运动，点D在线段OB上运动，速度分别为每秒1cm，4cm，在点C，D运动的过程中，满足OD＝4AC，若点M为直线AB上一点，且AM﹣BM＝
OM ，求
AB
OM
的值．
4．（1）如图1，在直线AB 上，点P 在A 、B 两点之间，点M 为线段PB 的中点，点N 为线段AP 的中点，若AB ＝n ，且使关于x 的方程（n ﹣4）x ＝6﹣n 无解． ①求线段AB 的长；
②线段MN 的长与点P 在线段AB 上的位置有关吗？请说明理由； （2）如图2，点C 为线段AB 的中点，点P 在线段CB 的延长线上，试说明PA+PB PC
的值
不变．
5．点A 在数轴上对应的数为a ，点B 对应的数为b ，且a 、b 满足|a +3|+（b ﹣2）2＝0 （1）求线段AB 的长；
（2）如图1 点C 在数轴上对应的数为x ，且x 是方程2x +1=1
2x ﹣5的根，在数轴上是否存在点P 使P A +PB =12
BC +AB ？若存在，求出点P 对应的数；若不存在，说明理由； （3）如图2，若P 点是B 点右侧一点，P A 的中点为M ，N 为PB 的三等分点且靠近于P 点，当P 在B 的右侧运动时，有两个结论：①PM −3
4
BN 的值不变；②1
2
PM +34
BN 的值不
变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并求出其值
6．如图，P 是定长线段AB 上一点，C 、D 两点分别从P 、B 出发以1cm /s 、2cm /s 的速度沿直线AB 向左运动（C 在线段AP 上，D 在线段BP 上）
（1）若C 、D 运动到任一时刻时，总有PD ＝2AC ，请说明P 点在线段AB 上的位置；
（2）在（1）的条件下，Q 是直线AB 上一点，且AQ ﹣BQ ＝PQ ，求
PQ AB
的值．
（3）在（1）的条件下，若C 、D 运动5秒后，恰好有CD =1
2
AB ，此时C 点停止运动，D 点继续运动（D 点在线段PB 上），M 、N 分别是CD 、PD 的中点，下列结论：①PM ﹣PN 的值不变；②MN AB
的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结
论并求值．
【参考答案】
1．解：（1）如图1，∵M 、N 分别为线段AC 、BD 的中点， ∴AM =1
2AC =1
2（AB +BC ）＝8， DN =12
BD =12（CD +BC ）＝5， ∴MN ＝AD ﹣AM ﹣DN ＝9；
如图2，∵M 、N 分别为线段AC 、BD 的中点， ∴AM =1
2
AC =12
（AB ﹣BC ）＝4， DN =1
2BD =12（CD ﹣BC ）＝1，
∴MN ＝AD ﹣AM ﹣DN ＝12+6﹣4﹣4﹣1＝9； （2）①正确． 证明：PA+PB PC =2．
∵
PA+PB PC =
(PC+AC)+(PC−CB)
PC
=
2PC PC
=2，
∴①
PA+PB
PC
是定值2．
2．解：（1）∵AM ＝BN =
7−(−8)−3
2
=6，而﹣8+6＝﹣2，7﹣6＝1， ∴M 、N 点对应的数分别是﹣2和1；
（2）∵A、B所对应的数分别是﹣8、7，M、N所对应的数分别是m、m+3．∴AN＝|（m+3）﹣（﹣8）|＝|m+11|，BM＝|7﹣m|，
①当m≤﹣11时，有m+11≤0，7﹣m＞0．
∴AN＝|m+11|＝﹣m﹣11，BM＝|7﹣m|＝7﹣m，
由AN＝2BM得，﹣m﹣11＝2（7﹣m），
解得m＝25，
∵m≤﹣11，
∴m＝25不合题意，舍去．
②当﹣11＜m≤7时，有m+11＞0，7﹣m≥0．
∴AN＝|m+11|＝m+11，BM＝|7﹣m|＝7﹣m，
由AN＝2BM得，m+11＝2（7﹣m），
解得m＝1．
③当m＞7时，有m+11＞0，7﹣m＜0．
∴AN＝|m+11|＝m+11，BM＝|7﹣m|＝m﹣7，
由AN＝2BM得，m+11＝2（m﹣7），
解得m＝25，
综上所述：当m＝1或m＝25时，AN＝2BM．
（3）PQ的值不发生改变．
设P、Q表示的数为a、b．
∵点P为AN的中点，
∴AP＝NP，
①当点N在点A右侧时，点A，N表示的数分别为﹣8，m+3，
∴AP＝a﹣（﹣8），NP＝（m+3）﹣a，
∴a﹣（﹣8）＝（m+3）﹣a，解得a=m−5 2，
同理可得，b=m+7 2，
∴PQ＝b﹣a=m+7
2
−m−5
2
=6，
②当点N在点A左侧时，同理可得PQ＝6，∴PQ的值不发生改变，恒为6．
3．解：（1）设点A在数轴上表示的数为a，点B在数轴上表示的数为b，则，b﹣a＝16，∵点C是OA的中点，点D是BN的中点，
∴点C在数轴上表示的数为a
2
，点D在数轴上表示的数为
b+2
2
，
∴CD=b+2
2
−a2=b−a+2
2
=16+2
2
=9，
答：CD的长为9；
（2）设运动的时间为t秒，点M表示的数为m，
则OC＝t，BD＝4t，即点C在数轴上表示的数为﹣t，点D在数轴上表示的数为b﹣4t，∴AC＝﹣t﹣a，OD＝b﹣4t，
由OD＝4AC得，b﹣4t＝4（﹣t﹣a），
即：b＝﹣4a，
①若点M在点B的右侧时，如图1所示：
由AM﹣BM＝OM得，m﹣a﹣（m﹣b）＝m，即：m＝b﹣a；
∴AB
OM =
b−a
m
=
m
m
=1；
②若点M在线段BO上时，如图2所示：
由AM﹣BM＝OM得，m﹣a﹣（b﹣m）＝m，即：m＝a+b；
∴AB
OM =
b−a
m
=
b−a
a+b
=
−4a−a
a−4a
=
5
3
；
③若点M在线段OA上时，如图3所示：
由AM﹣BM＝OM得，m﹣a﹣（b﹣m）＝﹣m，即：m=a+b
3
=a−4a
3
=−a；
∵此时m＜0，a＜0，
∴此种情况不符合题意舍去；
④若点M在点A的左侧时，如图4所示：
由AM﹣BM＝OM得，a﹣m﹣（b﹣m）＝﹣m，即：m＝b﹣a；而m＜0，b﹣a＞0，
因此，不符合题意舍去，
综上所述，AB
OM 的值为1或
5
3
．
4．解：（1）①方程（n ﹣4）x ＝6﹣n ， ∵关于x 的方程（n ﹣4）x ＝6﹣n 无解， ∴n ﹣4＝0，即n ＝4， ∴线段AB 的长为4；
②如图1，∵点M 为线段PB 的中点，点N 为线段AP 的中点，AB ＝n ， ∴PM =12
BP ，PN =12
AP ， ∴MN ＝MP +NP =1
2AB =12n ；
∴线段MN 的长与点P 在线段AB 上的位置无关； （2）如图2，∵点C 为线段AB 的中点， ∴AC =1
2AB ，
∴P A +PB ＝PC ﹣AC +PC +BC ＝2PC ， ∴PA+PB PC =2， ∴PA+PB PC 的值不变．
5．解：（1）∵|a +3|+（b ﹣2）2＝0， ∴a +3＝0，b ﹣2＝0， ∴a ＝﹣3，b ＝2， ∴AB ＝|﹣3﹣2|＝5． 答：AB 的长为5；
（2）∵2x +1=12
x ﹣5， ∴x ＝﹣4， ∴BC ＝6．
设点P 在数轴上对应的数是m ， ∵P A +PB =1
2BC +AB ， ∴|m +3|+|m ﹣2|=
1
2×6+5， 令m +3＝0，m ﹣2＝0， ∴m ＝﹣3或m ＝2． 当m ≤﹣3时， ﹣m ﹣3+2﹣m ＝8， m ＝﹣4.5； 当﹣3＜m ≤2时， m +3+2﹣m ＝8，（舍去）； 当m ＞2时， m +3+m ﹣2＝8， m ＝3.5．
∴点P 对应的数是﹣4.5或3.5； （3）设P 点所表示的数为n ， ∴P A ＝n +3，PB ＝n ﹣2． ∵P A 的中点为M ， ∴PM =1
2P A =n+3
2．
N 为PB 的三等分点且靠近于P 点， ∴BN =2
3PB =23×（n ﹣2）． ∴PM −3
4
BN =
n+32−34×2
3
×（n ﹣2）， =5
2（不变）．
②1
2PM +3
4BN =n+3
4+3
4×2
3×（n ﹣2）=3
4n −1
4（随P 点的变化而变化）．
∴正确的结论是：PM −3
4BN 的值不变，且值为2.5．
6．解：（1）根据C 、D 的运动速度知：BD ＝2PC ∵PD ＝2AC ，
∴BD +PD ＝2（PC +AC ），即PB ＝2AP ， ∴点P 在线段AB 上的1
3处；
（2）如图：
∵AQ ﹣BQ ＝PQ ， ∴AQ ＝PQ +BQ ； 又AQ ＝AP +PQ ， ∴AP ＝BQ ， ∴PQ =1
3AB ， ∴
PQ AB
=1
3
．
当点Q '在AB 的延长线上时 AQ '﹣AP ＝PQ '
所以AQ '﹣BQ '＝PQ ＝AB 所以PQ AB
=1；
（3）②
MN AB 的值不变．
理由：当CD =1
2AB 时，点C 停止运动，此时CP ＝5，AB ＝30 ①如图，当M ，N 在点P 的同侧时
MN ＝PN ﹣PM =1
2PD ﹣（PD ﹣MD ）＝MD −1
2PD =1
2CD −1
2PD =1
2（CD ﹣PD ）=1
2CP =5
2 ②如图，当M ，N 在点P 的异侧时
MN ＝PM +PN ＝MD ﹣PD +1
2PD ＝MD −1
2PD =1
2CD −1
2PD =1
2（CD ﹣PD ）=1
2CP =5
2
∴
MN AB
=
52
30
=
1
12
当点C 停止运动，D 点继续运动时，MN 的值不变，所以，MN AB
=
112
．。