数学_2015年甘肃省某校高考数学仿真试卷(理科)(5月份)(含答案)

2015年甘肃省某校高考数学仿真试卷（理科）（5月份）
一、选择题（共12小题，每小题5分，共计60分）
1. 设全集为R ，函数f(x)=√1−x 的定义域为M ，则∁R M 为( ) A (−∞, 1) B (1, +∞) C (−∞, 1] D [1, +∞)
2. 若复数z =
a+i 2i
（i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a 等于( )
A 1
B −1
C 1
2 D −1
2
3. 函数f(x)=ln(x 2+1)的图象大致是( )
A B C D
4. 下列说法：
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变； ②设有一个回归方程y
=3−5x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位；
③线性回归方程y =b x +a
必过(x ¯，y ¯)；
④在一个2×2列联表中，由计算得K 2=13.079，则有99%的把握确认这两个变量间有关
系；
其中错误的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3
5. 已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( )
A 若m // α，n // α，则m // n
B 若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n
C 若m ⊥α，m ⊥n ，则n // α
D 若m // α，m ⊥n ，则n ⊥α
6. 一个大风车的半径为8m ，12min 旋转一周，它的最低点Po 离地面2m ，风车翼片的一个端点P 从P o 开始按逆时针方向旋转，则点P 离地面距离ℎ(m)与时间f(min)之间的函数关系式是（ ）
A ℎ(t)=−8sin π
6
t +10 B ℎ(t)=−8cos π
6
t +10 C ℎ(t)=−8sin π
6
t +
8 D ℎ(t)=−8cos π
6
t +8
7. 设函数f(x)＝e x +x −2，g(x)＝lnx +x 2−3．若实数a ，b 满足f(a)＝0，g(b)＝0，则（ ）
A g(a)<0<f(b)
B f(b)<0<g(a)
C 0<g(a)<f(b)
D f(b)<g(a)<0 8. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( )
A 1
B 2
3
C 13
21
D
610987
9. 已知抛物线y =−x 2+3上存在关于直线x +y =0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于（ ）
A 3
B 4
C 3√2
D 4√2
10. 在平面直角坐标平面上，OA →
=(1,4)，OB →
=(−3,1)，且OA →
与OB →
在直线l 上的射影长度相等，直线l 的倾斜角为锐角，则l 的斜率为（ ） A 4
3
B 5
2
C 2
5
D 3
4
11. 已知双曲线x 2a 2−y 2
b 2=1，(a >0, b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|=4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为（ ） A 4
3
B 5
3
C 2
D 7
3
12. 将边长为2的等边△PAB 沿x 轴正方向滚动，某时刻P 与坐标原点重合（如图），设顶点P(x, y)的轨迹方程是y =f(x)，关于函数y =f(x)的有下列说法：
①f(x)的值域为[0, 2]； ②f(x)是周期函数；
③f(4.1)<f(π)<f(2014)； ④∫f 6
0(x)dx =
9π2
．
其中正确的个数是( ) A 0 B 1 C 2 D 3
二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）
13. 若x ，y 满足{x +y −2≥0
kx −y +2≥0y ≥0
，且z =y −x 的最小值为−4，则k 的值为________．
14. 已知(x−m)7=a0+a1x+a2x2+...+a7x7的展开式中x4的系数是−35，则m=________；a1+a2+a3+...+a7=________．
15. 四棱锥P−ABCD的三视图如图所示，四棱锥P−ABCD的五个顶点都
在一个球面上，E、F分别是棱AB、CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为2√2，则
该球表面积为________．
16. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2<a2+b2+2abcos2C，则
∠C的取值范围是________．
三、解答题（共5小题，满分60分）
17. 已知首项是1的两个数列{a n}，{b n}(b n≠0, n∈N∗)满足a n b n+1−a n+1b n+2b n+1b n＝0．（1）令c n=a n
，求数列{c n}的通项公式；
b n
（2）若b n＝3n−1，求数列{a n}的前n项和S n．
18. M公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．另外只有成绩高于180分的男生才能担任“助理工作”．
(Ⅰ)如果用分层抽样的方法从“甲部分”人选和“乙部分”人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？
(Ⅱ)若从所有“甲部门”人选中随机选3人，用X表示所选人员中能担任“助理工作”的人数，
写出X的分布列，并求出X的数学期望．
19. 如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1（侧棱和底面垂直的棱柱）中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，AB=BC=AA1=3，线段AC、A1B上分别有一点E、F且
满足2AE=EC，2BF=FA1．
（1）求证：AB⊥BC；
（2）求点E到直线A1B的距离；
（3）求二面角F−BE−C的平面角的余弦值．
20. 已知椭圆C:
x 2a
2+
y 2b 2
=1(a >b >0)的离心率为
√15
4
，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上任意一点，且△PF 1F 2的周长是8+2√15
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设圆T ：(x −t)2+y 2=4
9，过椭圆的上顶点作圆T 的两条切线交椭圆于E 、F 两点，当圆心在x 轴上移动且t ∈(1, 3)时，求EF 的斜率的取值范围．
21. 已知函数f(x)=e x −ax （a 为常数）的图像与y 轴交于点A ，曲线y =f(x)在点A 处的切线斜率为−1．
(1)求a 的值及函数的极值；
(2)证明：当x >0时，x 2<e x ；
(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x ∈(x 0, +∞)时，恒有x 2<ce x ．
选考题：本小题满分10分，请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22. 如图，已知⊙O 和⊙M 相交于A 、B 两点，AD 为⊙M 的直径，直线BD 交⊙O 于点C ，点
G 为弧BD
̂中点，连接AG 分别交⊙O 、BD 于点E 、F 连接CE ．
（1）求证：AG ⋅EF ＝CE ⋅GD ； （2）求证：GF
AG =EF 2
CE 2．
23. 已知曲线C 的极坐标方程为ρ=4cosθ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为{x =5+√3
2t,
y =1
2t
（t 为参数）． (1)求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；
(2)设曲线C 与直线l 相交于P ，Q 两点，以PQ 为一条边作曲线C 的内接矩形，求该矩形的面积．
24. 设函数f(x)=√|x +1|+|x +2|−a ． (1)当a =5时，求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的定义域为R ，试求a 的取值范围．
2015年甘肃省某校高考数学仿真试卷（理科）（5月份）答案
1. B
2. B
3. A
4. C
5. B
6. B
7. A
8. C
9. C 10. C 11. B 12. C 13. −1
2
14. 1,1 15. 12π 16. (0, π
3)
17. ∵ a n b n+1−a n+1b n +2b n+1b n ＝0，c n =
a n
b n
，
∴ c n −c n+1+2＝0， ∴ c n+1−c n ＝2，
∵ 首项是1的两个数列{a n }，{b n }，
∴ 数列{c n }是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴ c n ＝2n −1； ∵ b n ＝3n−1，c n =a
n b n
，
∴ a n ＝(2n −1)⋅3n−1，
∴ S n ＝1×30+3×31+...+(2n −1)×3n−1， ∴ 3S n ＝1×3+3×32+...+(2n −1)×3n ，
∴ −2S n ＝1+2⋅(31+...+3n−1)−(2n −1)⋅3n ， ∴ S n ＝(n −1)3n +1．
18. （I ）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率为
820
=2
5
，
根据茎叶图，有“甲部门”人选10人，“乙部门”人选10人，
所以选中的“甲部门”人选有10×25=4人，“乙部门”人选有10×2
5=4人，
用事件A 表示“至少有一名甲部门人被选中”，则它的对立事件A ¯
表示“没有一名甲部门人被选中”，则P(A)＝1−P(A ¯
)＝1−C 4
3C 8
3=1−456=13
14．
因此，至少有一人是“甲部门”人选的概率是13
14
；
（2）依据题意，所选毕业生中能担任“助理工作”的人数X 的取值分别为0，1，2，3， P(X ＝0)=
C 60C 43C 10
3=1
30，P(X ＝1)=
C 61C 42C 10
3=3
10，P(X ＝2)=
C 62C 41C 10
3=1
2，P(X ＝3)=
C 63C 40C 10
3=1
6．
因此，X 的分布列如下：
所以X 的数学期望EX ＝0×
130
+1×
930
+2×
1530
+3×
530
=9
5
．
19. （1）证明：如图，过点A 在平面A 1ABB 1内作AD ⊥A 1B 于D ，
则由平面A 1BC ⊥侧面A 1ABB 1，
且平面A 1BC ∩侧面A 1ABB 1=A 1B ，
∴ AD ⊥平面A 1BC ，
又∵ BC ⊂平面A 1BC ，∴ AD ⊥BC ．
∵ 三棱柱ABC −A 1B 1C 1是直三棱柱，∴ AA 1⊥底面ABC ，∴ AA 1⊥BC ． 又∵ AA 1∩AD =A ，∴ BC ⊥侧面A 1ABB 1， 又∵ AB ⊂侧面A 1ABB 1，∴ AB ⊥BC ．… （2）解：由(I)知，以点B 为坐标原点，
以BC 、BA 、BB 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，
B(0, 0, 0)，A(0, 3, 0)，C(3, 0, 0)，A 1(0, 3, 3)
∵ 线段AC 、A 1B 上分别有一点E 、F ，满足2AE =EC ，2BF =FA 1， ∴ E(1, 2, 0)，F(0, 1, 1)，
∴ EF →
=(−1,−1,1)，BA 1→
=(0,3,3)． ∵ EF →
⋅BA 1→
=0，∴ EF ⊥BA 1，
∴ 点E 到直线A 1B 的距离d =|EF|=√3．… （3）解：BE →
=(1,2,0)，BF →
=(0,1,1)， 设平面BEF 的法向量n →
=(x,y,z)，
则{n →
⋅BF →
=y +z =0˙
，取x =2，得n →
=(2, −1, 1)，
由题意知平面BEC 的法向量m →
=(0,0,1)， 设二面角F −BE −C 的平面角为θ，
∵ θ是钝角，∴ cosθ=−|cos <m →
，n →
>|=√6
=−
√6
6
， ∴ 二面角F −BE −C 的平面角的余弦值为−√6
6
．… 20. 由e =
√15
4，即c a
=
√15
4
，可知a ＝4b ，c =√15b ，
∵ △PF 1F 2的周长是8+2√15，
∴ 2a +2c =8+2√15， ∴ a ＝4，b ＝1，
所求椭圆方程为x 2
16+y 2=1；
椭圆的上顶点为M(0, 1)，设过点M 与圆T 相切的直线方程为y ＝kx +1， 由直线y ＝kx +1与T 相切可知
√k 2+1
=23
，
即(9t 2−4)k 2+18tk +5＝0， ∴ k 1+k 2=−
18t 9t 2−4
,k 1k 2=
5
9t 2−4
，
由{y =k 1x +1x 216
+y 2
=1
，得(1+16k 12)x 2+32k 1x =0． ∴ x E =−32k
1
1+16k 1
2，
同理x F =−
32k 2
1+16k 22
，
则k EF =y E −y
F x E
−x F
=
(k 1x E +1)−(k 2x F +1)
x E −x F
=
k 1x E −k 2x F x E −x F
=k 1+k 2
1−16k 1k
2
=6t
28−3t 2． 当1<t <3时，f(t)=
6t 28−3t
2为增函数，故EF 的斜率的范围为(
6
25
,18)． 21. (1)解：由f(x)=e x −ax ，得f ′(x)=e x −a ．
由题意得f ′(0)=1−a =−1，则a =2． 所以f (x )=e x −2x ，f ′(x )=e x −2． 令f ′(x )=0，得x =ln2．
当x <ln2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x >ln2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．
所以当x =ln2时，f (x )取得极小值f (ln2)=e ln2−2ln2=2−ln4，f (x )无极大值． 证明：(2)令g (x )=e x −x 2，则g ′(x )=e x −2x ， 由(1)得g ′(x )=f (x )≥f (ln2)>0， 故g (x )在R 上单调递增， 又g (0)=1>0，
所以当x >0时，g (x )>g (0)>0，即x 2<e x ． (3)对任意给定的正数c ，取x 0=
√c
，由(2)知，当x >0时，e x >x 2，
所以e x =e x 2e x
2>(x 2)2(x 2)2
，
当x >x 0时，e x
>(x 2)2(x 2)2
>4c (x 2)2
=1
c x 2，
所以对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0,+∞)时，恒有x 2<ce x ． 22. 连接AB ，AC ，
∵ AD 为⊙M 的直径，∴ ∠ABD ＝90∘， ∴ AC 为⊙O 的直径，∴ ∠CEF ＝∠AGD ， ∵ ∠DFG ＝∠CFE ，∴ ∠ECF ＝∠GDF ， ∵ G 为弧BD 中点，∴ ∠DAG ＝∠GDF ， ∴ ∠DAG ＝∠ECF ， ∴ △CEF ∽△AGD ， ∴ CE
EF =AG
GD ，
∴ AG ⋅EF ＝CE ⋅GD
由（1）知∠DAG ＝∠GDF ， ∠G ＝∠G ，
∴ △DFG ∽△ADG ， ∴ DG 2＝AG ⋅GF ， 由（2）知EF 2CE 2
=
GD 2AG 2
，
∴
GF AG
=
EF 2CE 2
．
23. 解：(1)对于C ：由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，进而x 2+y 2=4x ； 对于l ：由{x =5+√3
2t ，
y =1
2t （t 为参数）， 得y =
√3
−5)，即x −√3y −5=0．
(2)由(1)可知C 为圆，且圆心为(2, 0)，半径为2， 则弦心距d =
√3×0−5|
√1+3
=3
2，
弦长|PQ|=2√22−(32
)2=√7，
因此以PQ 为边的圆C 的内接矩形面积S =2d ⋅|PQ|=3√7． 24. 解：(1)由题设知：|x +1|+|x +2|−5≥0，
在同一坐标系中作出函数y =|x +1|+|x +2|和y =5的图象，
由图象知定义域为(−∞, −4]∪[1, +∞)．
(2)由题设知，当x∈R时，恒有|x+1|+|x+2|−a≥0，即|x+1|+|x+2|≥a，
又由(1)|x+1|+|x+2|≥1，
∴ a≤1．。