基于教材解读的高中HPM教学研究

基于教材解读的高中HPM教学研究
随着1972年HPM（数学史与数学教学关系国际研究小组）的成立，国际上便越来越关注HPM教学的研究.我国也逐步在课程标准等文件中指出有关提倡将数学史融入课堂等内容，数学教育研究者们也强调要在数学教学中更多地融合数学史知识，以此来推动数学教育现代化和数学素质教育的实现以及积极响应国家课程标准的改革实施.不过，数学史“高评价，低应用”的现象在全世界都很普遍，这个现状也使得HPM教学的实践性和发展性亟待解决.尤其是针对教材中的数学史素材，它们要如何融入课堂？其融入的有效途径和策略是什么？这些问题亟待研究.
7.1 已有研究简介
7.1.1 国外有关研究综述
对于数学史料对数学的重要性，英国数学家格莱舍认为，数学这个学科的教学是不能与其历史分开的.德国数学家汉克尔也说，数学的伟大成就是建立在一代又一代人的创造上.
19世纪90年代，美国开始提出将数学史运用在数学教学上.到了20世纪，欧美数学家们开始进一步大力提倡数学史的教育价值.
德国大数学家M.克莱因在20世纪70年代的一次采访中指出了数学史是教学的指南，大力支持在课堂中运用数学史料.法国数学家庞家莱也认为，数学课程的内容应该按照数学史的发展顺序来呈现，让学生的认知过程与现实的发展相符合.而荷兰数学教育家弗赖登塔尔有一个非常深刻的批评，他说教材若没有历史感，则是把火热的发明变成了冷冰冰的美丽.
1972年，HPM（International Study Group on Relations between History and Pedagogy of Mathematics）组织在英国举行的ICME2（第二届国际数学教育大会）上正式成立.HPM译为数学史与数学关系国际研究小组，我们通常称它为数学史与数学教育，以专门研究数学史与数学教学之间的关系.最开始，HPM 会议只在国际性的大会议上举行，但从1984年开始，HPM在墨尔本以卫星会议的方式举行.从此，HPM每四年都会选择不同地点举行卫星会议，让来自世界各地的学者都能进行学术交流.随着HPM队伍的不断壮大，其影响也越来越大. 7.1.2 国内有关研究综述
我国数学史研究的开创人李俨在20世纪30年代便出版了《中国算学史》等多部数学史著作.但是，长期以来，我国对数学史的研究都是远离数学教学的.从20世纪90年代初，我国才对数学史的教育价值做出大量研究并举办多次会议对其进行深入探讨.
其中，台湾地区的成果较为丰硕.1998年，台湾师范大学洪万生教授创刊《HPM 通讯》.时至今日，洪万生教授已经向我们分享HPM有关研究成果近20年了.与此同时，大陆也越来越关注数学史的教育价值，大量著作论文随之出版发表.
我国著名数学家吴文俊教授认为，对数学历史的了解可以帮助我们更深刻地认识到数学的现状，还可以指引我们知道数学未来的发展方向.张奠宙教授也在《关于数学史和数学文化》一书中揭示了当前的数学教学还停留在只讲数学史是什么，而没有将数学史的发展进程深刻地融入教学课堂中.
华中师范大学钟雪梅在她的硕士学位论文《高中数学教材中数学史料的教学研究》里做了教学实验调查，主要采用问卷法，得到了教师对数学史教学的看法：大部分老师均认可它的益处，但表示在实际课堂中实施起来有困难，要想有深层次的数学史教学那就更难了.
而张维忠和汪晓勤在其编写的《文化传统与数学教育现代化》一书中，明确提到了教师对数学史“高评价，低应用”的现象早已有之，而且事实上这种现象在世界各地均具有普遍性.
7.2 研究问题与内容
7.2.1 高中数学人教A版教材中的数学史内容解析
数学史内容在教材中呈现了多少？在哪里呈现的？呈现的具体形式是怎样的？本章对高中数学人教A版教材中的数学史内容进行了罗列、统计和归类.并依照六个类型的数学史，选出六个典型内容对教材的编排意图做出分析.
7.2.2 基于教材解读的HPM教学
依照教材，在正文出现的数学史会以引入、延伸等方式将其融入课堂教学，故将选取的三个正文类的数学史料的HPM教学片段按照教材的编排意图呈现出来，再对其进行教学分析和评价.
7.2.3 基于教材解读的HPM教学的进一步运用
除了依照教材编排的HPM教学，数学史还有其他进入课堂的方式，这在实际课堂中也是很常见的.为了继续对HPM教学做进一步的探讨，我们选取了教材中的六个典型数学史内容的HPM教学片段，以便让读者感受到数学史料可以在课堂上使用的更大空间和可以发挥的更大功能.
7.2.4 基于教材解读的HPM教学策略
基于以上研究，要对如何更好地运用教材中的数学史内容进行总结和反思，具体的教学策略和基本步骤是什么，从而达到初衷——逐渐改变目前国内教育工作者对HPM教学的“高评价，低使用”，使其成为“高评价，高使用”.
7.3 教材中的数学史内容解析——以高中数学人教A版为例
7.3.1 教材中的数学史基本内容
现今中国高中数学人教版A版教材中出现了大量数学史料，以高考涉及的教材为范围，即必修系列、选修1系列、选修2系列、选修4-4与选修4-5教材，将其中所有数学史内容均按教材罗列在表7-1中.
表7-1 我国高中数学人教A版教材中的数学史料
续表
7.3.2 教材中的数学史内容类型分析
以上所有数学史内容在教材中的编排位置和方式不同，因此，为方便基于教材研究HPM教学，需先按照它们出现的位置将其分为正文类和课后类.其中，正文类再按数学史在教学环节中的编排分为新课引入、新课内容与新课延伸类，课后类则按照数学史本身的内容性质分为课后数学家、课后理论知识与课后实际问题类.即将高中数学人教A版高考涉及教材中的所有数学史内容分为了六类，现将其罗列如下.
1.正文类
1）新课引入类
（1）必修五.
第二章数列
2.1 数列的概念及简单表示法：毕达哥拉斯学派、三角形数、正方形数
（2）必修五.
第二章数列
2.3 等差数列的前n项和：高斯和他的故事
（3）必修五.
第二章数列
2.4 等比数列：古代学者的思想言论
（4）必修五.
第二章数列
2.5 等比数列的前n项和：有关国际象棋的数学名题（5）必修五.
第三章不等式
3.4 基本不等式赵爽弦图
（6）选修1-2 及选修2-2.
第二章推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理：哥德巴赫猜想
2）新课内容类
（1）必修三.
第一章算法初步
1.3 算法案例：辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法（2）选修2-3.
第一章计数原理
1.3 二项式定理
1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质
3）新课延伸类
（1）必修一.
第一章集合与函数概念
1.2函数及其表示
1.2.1函数的概念：函数符号的引入
（2）必修三.
第一章算法初步
1.1 算法与程序框图：算法历史、海伦-秦九韶公式（3）必修三.
第一章算法初步
1.3算法案例：《九章算术》的介绍
（4）必修三.
第二章统计
2.3 变量间的相关关系：“回归方法”的由来
（5）必修三.
第三章概率
3.1随机事件的概率：雅各布·贝努利的介绍
（6）必修三.
第三章概率
3.2 古典概型：蒙特拉罗方法
（7）必修四.
第一章三角函数
1.1 任意角和弧度制：弧度制的发明
（8）选修1-2及选修2-2.
第二章推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理：开普勒、波利亚和拉普拉斯的言论、“群”的发明（9）选修2-2.
第二章推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理
2.1.2 演绎推理：“三段论”的创立
（10）选修1-2 及选修2-2.
第二章推理与证明
2.2 直接证明与间接证明
2.2.2 反证法：哈代的言论
（11）选修1-2 及选修2-2.
第三章数系的扩充与复数的引入
3.1 数系的扩充与复数的概念：虚数单位的发明
2.课后类
1）数学家类
（1）必修二.
第一章空间几何体
1.2 空间几何体的三视图和直观图
阅读与思考：画法几何与蒙日
（2）必修二.
第二章点、直线、平面之间的位置关系
2.3 直线、平面垂直判定及其性质
阅读与思考：欧几里得《原本》与公理化方法（3）必修二.
第二章点、直线、平面之间的位置关系
3.3直线的交点坐标与距离公式
阅读与思考：笛卡儿与解析几何
（4）必修五.
第一章解三角形
1.2 应用举例
阅读与思考：海伦和秦九韶
（5）选修4-4 坐标系与参数方程.
第一讲坐标系
阅读与思考：笛卡儿、费马与坐标方法
（6）选修4-5 不等式选讲.
第三讲柯西不等式与排序不等式
阅读与思考：法国科学家柯西
2）理论知识类
（1）必修一.
第一章集合与函数概念
1.2函数及其表示
阅读与思考：函数概念的发展历程
（2）必修一.
第二章基本初等函数
2.2 对数函数
阅读与思考：对数的发明
（3）必修二.
第四章圆与方程
4.1圆的方程
阅读与思考：坐标法与机器证明
（4）必修四.
第一章三角函数
1.2 任意角的三角函数
阅读与思考：三角学与天文学
（5）必修四.
第二章平面向量
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
阅读与思考：向量及向量符号的由来
3）实际问题类
（1）必修一.
第三章函数的应用
3.1函数与方程
阅读与思考：中外历史上的方程求解
（2）必修二.
第一章空间几何体
1.3空间几何体的表面积与体积
探究与发现：祖原理与柱体、锥体、球体的体积（3）必修三.
第一章算法初步
1.3 算法案例
阅读与思考：割圆术
（4）必修五.
第二章数列
2.1 数列的概念与简单表示法
阅读与思考：斐波拉契数列
（5）必修五.
第二章数列
2.5 等比数列的前n项和
阅读与思考：九连环
（6）选修1-1及选修2-1.
第二章圆锥曲线与方程
2.1 椭圆
探究与发现：为什么截口曲线是椭圆
（7）选修1-1及选修2-1.
第二章圆锥曲线与方程
3.2 导数的计算
探究与发现：牛顿法——用导数方法求方程的近似解（8）选修1-2及选修2-2.
第二章推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理
阅读与思考：科学发现中的推理
（9）选修2-3.
第一章计数原理
1.3 二项式定理
探究与发现：杨辉三角中的一些秘密
（10）选修4-4 坐标系与参数方程.
第二讲参数方程
阅读材料：摆线及其应用
7.3.3 教材中的数学史典型内容分析
针对这六类数学史内容，从每一类中各选出一个典型的数学史料做分析，分析此数学史料在教材中的编排位置和具体内容，以及它能起到什么作用.比如，正文类数学史料用在新课教学上有什么效果，课后类数学史料在学生阅读了解后又有什么收获，等等.后续的HPM教学运用研究都是基于本部分所做的.而对教材编排意图的分析主要是依靠人教版教科书与教师用书中的相关内容.
1.正文类
1）新课引入类：毕达哥拉斯学派的三角形与正方形数
“数列的概念及其简单表示法”是“数列”这一章节的第一课时，对于这一新课内容，教材在编排上将数学史料——古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”与“正方形数”作为新课引入，让同学们利用数形结合的数学思想方法把每一个“三角形”与“正方形”化为“数”，从而化为一列按照一定顺序排列着的数.“三角形数”即1，3，6，10，…，“正方形数”即1，4，9，16，…，由此便引出数列及其相关的概念.
教材内容利用“形数理论”来引入数列的概念，其作用是让学生产生浓厚的兴趣，并激发学生的学习热情，使之主动参与课堂活动——将“形”化“数”，从而学习数列知识，同时还能让学生在学习新课的过程中加强数形结合这种数学思想方法.这也为后面“空间几何体”与“平面几何”的学习做好铺垫.
2）新课内容类：“杨辉三角”与二项式系数的性质
“杨辉三角与二项式系数的性质”是“二项式定理”之后的一个课时的新课内容，因为“杨辉三角”中蕴含了丰富的数学知识，由它可以直观看出二项式系数的一些性质.比如：（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即在本章第二节“排列与组合”最后的“探究与发现：组合数的两个性质”里讲到的组合数的第一个性质：（2）运算性质：在相邻两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即在本章第二节“排列与组合”最后的“探究与发现：组合数的两个性质”里所说的组合数的第二个性质：（3）增减性与最大值：由对称性可以知道，二项式系数先增后减，根据项数不同，中间的一项或者两项取得最大值.
所以，教材将“杨辉三角”和二项式定理的学习编排在一起，其目的在于帮助同学们更有乐趣和实践性地学习抽象的二项式系数的性质.
除此之外，“杨辉三角”是我国古代数学的研究成果之一，它的发现先于国外五百年左右，是非常伟大的数学成就.人教版的教师教学用书中也明确指出，教师应当抓住杨辉三角这一题材，向同学们展示我国数学传统文化的结晶，以引起同学们对先辈的敬仰与对民族的自豪感.
3）新课延伸类：弧度制的发明
“弧度制的发明历程”是“任意角和弧度制”第二课时中的新课边空备注，作为延伸知识.在学习弧度制之前，我们是用角度制来度量角的：单位为度，1
度的角等于周角的所以“弧度制”是我们之前完全没有涉及的一个新知识，在深入学习它之前，应先让学生了解其发展历程.其实，6世纪的时候，印度人在制作正弦表的过程中便孕育了弧度制的概念，而欧拉正式建立其概念已经是在1748年了.
教材将弧度制的发明作为新课的延伸内容，其作用是通过教学使学生在了解这些知识之后，便可以厘清“弧度制”的来龙去脉，从而更容易接纳吸收课堂的新知识——弧度制的概念以及弧度与角度之间的换算.另外，学生还可以从“故事”中增加数学素养，巩固数学文化知识.
2.课后类
1）数学家类：海伦和秦九韶
“海伦和秦九韶”是“解三角形”这一章最后的“阅读与思考”内容，承接了本章第二节的“应用举例”知识.
第二节的“应用举例”主要是应用正弦和余弦定理解决生活中的实际问题，然后推导出三角形的面积公式：
这三个面积公式均利用了三角形的两边边长及其夹角.
紧接着教材安排例7让同学们对此面积公式进行实践训练，而例7第（3）小题和例8都是已知三边边长求三角形的面积.并且在这一节的习题中，还出现了对“海伦公式”的证明题，这一系列都是为后面的学习做铺垫.
在学生思考本题证明方法后再通过其后的“阅读与思考：海伦与秦九韶”对其进行更深入、更透彻地学习.这则材料显示了古希腊数学家海伦的事迹以及以他命名的“海伦公式”，还显示了我国古代数学家秦九韶的事迹以及他独立推出的“三斜求积”公式.
具体地，“海伦公式”是利用三角形的三边边长求出三角形的面积：
秦九韶的“三斜求积”公式为
它与“海伦公式”是等价的.
综上所述，教材先由新课内容推导较为简单和常用的三角形面积公式，然后由例题来引导已知三边求面积的方法，接着由课后习题让他们试着独立思考证明“海伦公式”，最后让学生通过阅读教材了解“海伦公式”，即“三斜求积”公式及其发展历程.这样精心编排的目的一是训练学生的解题能力，二是培养他们的发散思维，并让他们从数学史料中感受古代中西数学家们创新进取的数学精神.
2）理论知识类：对数的发明
“对数的发明”是“对数函数”这一小节最后的“阅读与思考”内容，让学生在学习对数的定义和运算性质后，通过这部分知识了解对数的发明背景和历程.它是纳皮尔在社会发展需求下为了简化数字计算方法而苦心钻研出来的，是17世纪数学上的伟大成就.
此阅读材料的作用在于让学生认识到好的数学符号体系是可以大大节省人的思维负担，有益于天文、军事、工程等事业的发展，进而推动整个社会的进步.同时它还可以让同学们感受到数学家们为数学符号体系的发展、社会生产的发展以及科学技术的发展所做出的长期努力和卓越贡献.
3）实际问题类：祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积
“祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积”是“空间几何体的表面积与体积”这一小节最后的“探究与发现”内容，作为学生的补充拓展知识.“幂势既同，则积不容异”，祖原理中蕴含着非常丰富的理论与实践意义.
此阅读材料的作用是，通过对祖暅原理的学习，我们可以利用它再对比已学过的长方体体积公式推导出新课中的柱体体积公式，也可以利用它推导出锥体和球的体积公式，从而加强巩固对于空间几何体的学习和应用.同时还要让学生归
纳出利用祖暅原理求未知几何体体积的方法，以此培养学生的归纳能力和逻辑推理能力.
实际上，人教版的教师教学用书也指出教师教学时，可以利用祖暅原理来推导球的体积公式[24].另外，学习了我国古代数学中远早于国外一千多年的这样一个伟大的数学成就后，可以让同学们更加敬佩我国古代数学家，更加了解我国传统民族文化.
7.4 基于教材解读的HPM教学案例研究
由于正文类数学史料均出现在教材新课内容中，基于前面对于正文中三个数学史料的编排方式和意图的分析，现将它们在课堂上的HPM教学片段呈现如下.
7.4.1 新课引入类案例：毕达哥拉斯学派的“三角形数”与“正方形数”
1.HPM教学片段
根据教材中的编排方式，“形数理论”应用于数列概念的引入上，以下为具体的教学片段.
师：同学们，传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画图形或者用小石子摆图形来表示数，他们表示过三角形、正方形、长方形等图形，那么大家仔细观察图7-1，这些图形可以表示哪些数？为什么？
图7-1 三角形数与正方形数
生：有多少个石头就是数学几，所以三角形表示1，3，6，10.正方形表示1，4，9，16.
师：很好，那么在数学中呢，类似1，3，6，10，…这样能表示三角形的数我们便称为三角形数，类似1，4，9，16，…能表示正方形的数称为正方形数.
而按照一定顺序排列着的一列数呢，称为数列.那么同学们看三角形数1，3，6，10，…和正方形数1，4，9，16，…是什么？
生：是数列.
师：对了，它们都是数列，其中，每一个数叫作这个数列的项.
2.教学分析
以上就是按照教材中的呈现方式，毕氏学派“形数理论”在高中数学课堂中的教学片段.下面从教学过程和教学现状两个方面来进行教学分析.
教师先以毕达哥拉斯学派的故事吸引学生进入课堂，再带领学生“由形得数”，以培养他们数形结合的思想方法，最后便由得到的三角形数和正方形数引出数列等相关概念.
在实际课堂教学中，教师也几乎都会采用教材中的呈现方式，利用毕氏学派的“形数理论”来引入数列的概念，用他们的数学史故事来调动学生学习的积极性，同时还能增长他们的数学背景知识.
7.4.2 新课内容类案例：“杨辉三角”与二项式系数的性质
1.HPM教学片段
本节知识将数学史料“杨辉三角”作为新课内容的讲解工具，所以教师务必深入研究教材，进行教材设计.以下为具体教学片段.
师：同学们，在上节课的学习过程中，我们知道了二项式定理为：
还学习了二项展开式中的各项系数叫作什么？
生：二项式系数.
师：值得注意的是，它们是一组仅与二项式次数n有关的n+1个组合数，与a,b没有关系，那么同学们想想，展开式的“二项式系数”和“系数”是一样的吗？为什么？
生：不一样，展开式中的系数与a,b的大小是有关系的.
师：很好，接下来就请同学们计算一下对于(a+b)n，当n=0,1,2,3,4,5,6时，展开式的二次项系数，填写教材32页的表格.
好，现在我们已经得到了()n
a+b的系数表，如图7-2所示.
图7-2 (a+b n)的系数表
同学们，这样的一个三角形的图形表，就叫作二项式系数表.那么你们能借助这个表来发现一些新的规律吗？
生：每一行的两边都是数字1！
师：对啦，那么同学们知道这是为什么吗？
生：因为二项式系数
师：好，我们继续横向来观察每一行的数，除了两头均为1，还有什么特点？
生：它的数是左右对称的.
师：那么转变为二项式系数的性质，是什么？
生：
师：这实际上就是我们学习的组合数的性质，是吧.而且我们再来看，每一行数的增减性如何？
生：从左往右看，是先增后减.
师：也就是中间的数是什么？
生：最大值.
师：好，现在请同学们用数学语言准确地描述出来.
生：当n为偶数时，对于二项式系数逐渐增大；当m≥逐渐减小.中间的二项式系数时，取得最大值.当n为奇数时，当
m逐渐增大，当m≥逐渐减小.中间的二项式系数
是相等的，同时取得最大值.
师：对了！要注意，当n为奇数时，中间的两个数都为最大值.同学们，那么现在我们就根据对每一行的横向观察得到了二项式系数的对称性、增减性和最大值了.接下来能不能试着纵向观察呢？又能得到什么性质？
生：表中除了左右两端的1，其他数都等于肩上两数相加的和！
师：非常正确！所以对于n＝7，n＝8时，同学们能不能直接写出它的二项式系数？用不用再去进行庞大的计算？
生：不用啦，n＝7时，它的二项式系数依次为1，7，21，35，35，21，7，1；n＝8时，依次就为1，8，28，56，70，56，28，8，1.
师：很神奇对吧？那么根据这个特点我们又能得到二项式系数的什么性质，大家想想.
生：
师：这也是我们之前学过的组合数的性质吧！现在同学们将二项式系数表跟图7-3的这个表比较一下，是一样的吗？
图7-3 杨辉三角
生：是，只不过阿拉伯数学变成了汉字.
师：是的，它们其实就是一个表.值得指出的是，这个表大约在公元11世纪的时候就被北宋数学家贾宪首创，并在《释索》算术中记录了！后来南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中引用了此表，所以二项式系数表又称为贾宪三角或杨辉三角，它与欧洲的帕斯卡三角一致，但却比它先创了五百年！由此可见，我国古代数学家付出了多少汗水，他们的成就值得我们整个中华民族自豪！
也就是说，我们刚刚是通过杨辉三角直观地观察出这么多关于二项式系数的性质.所以古代数学的成就，其功能和奥秘是值得我们不断探索和挖掘的.
那么除了这个方法，我们也可以从函数的角度去探究性质，即将看成以x为自变量的离散函数f(x).下面我们一起来看.
2.教学分析
下面我将从教学过程和教学现状两个方面来进行教学分析.
以上教学片段依照教材内容，先引导学生根据已学过的知识列出二项式系数表，再借助此表去发现有关二项式系数的一系列性质：。