巧用二次求导解决函数单调性和极值问题

典型例题讲解



题意。 x x 当 a＞0 时，f x e 1 2ax ， f x e 2a ， f x为 f 0 0 当 f x 显然 f 0 0 ， 在区间 0, 上大于零时， f x f x 0 增函数， ，满足题意。而当 f x 在区间f x 在区间0, 上大于 函数时， x 等于零，又因为 f x e 2a在区间 0, 上为增函数，所以要 1 0 求 f 1 0 ，即e 2a 0 ，解得 a 。 2 1 。 综上所述，a 的取值范围为 ,
一．二阶导数与凸性
一．二阶导数与凸性 x2 定义1. 设 f ( x ) 在区间 I 上连续，如果对 I 上任意两点 x1 与 ， x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) 恒有 ，那么称 在 I 上的图形是凹的； 2 2 x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) 如果恒有 ，那么称 在 I 上的图形是凸的； 2 2 定理1 设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续，在 ( a , b ) 内可导，那么： （1）若在 ( a , b ) 内 f ( x ) 单调增加，则 f ( x ) 在 [ a , b ] 上的图形 是凹的； （2）若在 ( a , b ) 内 f ( x ) 单调减少， 则 f ( x ) 在 [ a , b ] 上的图形 是凸的；

二．二阶导数与极值



二．二阶导数与极值 在高中，判断函数是否在 取得极值，经常是利用函数导数 在 两侧的符号来判断。实际上，还可以利用二阶导数的符号 来判断 是否为函数的极值点。有如下的判定定理： 定理3设函数 f ( x) 在点 x0 处具有二阶导数且 f ( x0 ) 0 ， f ( x0 ) 0， 那么 （1） 当 f ( x0 ) 0 时，函数 在 x0 处取得极大值； （2） 当 f ( x0 ) 0时，函数 在 x0 处取得极小值．

一．二阶导数与凸性
定理 2设 f ( x)在[a, b] 上连续，在 ( a, b) 内二阶可导，那么： （1）若在 ( a, b) 内 f ( x) 0，则 f ( x) 在 [a, b]上的图形是凹的； （2）若在( a, b) 内 f ( x) 0，则 f ( x) 在[a, b] 上的图形是凸的． 凸性作为函数的一种重要性质,其准确刻画需要涉及到高等数学中 的二阶导数等知识, 因此, 它不属于高中数学的研究范畴, 但是, 近 年来的高考试题中有许多与二阶导数的凸性有关的高考题。 凹凸性是函数图像的主要形状之一。结合 f ( x), f ( x), f ( x) 的 关系可以方便地判断一个函数与其导函数图像的关系。
f x ln x
1 1 1 f x 2 求导，可得 x x x
典型例题讲解


例题4、设a 为实数，函数 f x e 2 x 2a, x R 。 （Ⅰ）求 f x 的单调区间与极值； 2 x e ＞ x 2ax 1。 （Ⅱ）求证：当 a＞ ln 2 1且x ＞ 0时， x 2 （Ⅱ）解：设 g x e x 2ax 1，则：
典型例题讲解

例题1、已知函数
x2 f ( x) ln (1 x) 1 x
2
，求函数 f ( x) 的单调区间。

解： f x 的定义域是 (1,) .
2 ln(1 x) x 2 2 x f ' ( x) x 1 (1 x) 2
设 则
2(1 x) ln(1 x) x 2 2 x (1 x) 2
由a > ln 2 1 知
由上表可知 g x g ln 2 ，而
g ln 2 > 0，所以 g x >0，即 g x 在区间 0, 上为增函数。
于是有 g x ＞ g 0 ，而 g
0 2 0 e 0 2a 0 1 0 2 故 g x ＞0，即当a> ln 2 1且x>0时，e x > x 2ax 1
课后练习题

设函数 ， f x 1 e
（Ⅰ）证明：当
x
x＞-1
x 时，f x x 1
（Ⅱ）设当 x
x 0时， f x ， 求a 的取值范围 。答案： ax 1
1 0a 2
2
g ( x) 2(1 x) ln(1 x) x 2x
g ' ( x) 2 ln(1 x) 2 x
2x [ g ' ( x)]' 1 x
典型例题讲解
当 当
1 x 0时， [ g ' ( x)]' 0, g ' ( x)在（ 1,0）上是增函数； x 0 时 [ g ' ( x)]' 0, g ' ( x)在（ 0， ）上为减函数 .
f ( x ) 的单调递增区间是 (1,0) ，递减区间是 (0,) .
典型例题讲解

例题2、设函数 f x e 1 x ax
x
2
（Ⅰ）若 a
0求 f
x 的单调区间；
（Ⅱ）若当 x
0时，f x 0。求 a的取值范围。

2 0, （2）、解：当 a＜ 0时，在区间 上显然 ax 0 ，综上(1) x 2 0, f x e 1 x ax 0 成立。故 a＜ 0满足 可得在区间 上
2
典型例题讲解



例题3、已知函数 f ( x) ( x 1) ln x x 1 . 2 （Ⅰ）若 xf '( x) x ax 1 ，求 a 的取值范围； （Ⅱ）证明：( x 1) f ( x) 0 解：第一问难度不算大，大多数同学一般都能做出来。采 用分离参数法解决恒成立问题就行了。 而第二问是属于运用导数工具证明不等式问题。用 f x 去 分析 f x 的单调性受阻。
典型例题讲解



我们可以尝试再对 ，显然 1 f x ln x 当 0 ＜ x 1 时， 在 f x ＞0 ，即 f x 0；当 1＜ x 时， x 区间 0, 上为减函数，所以有当 0＜x 1 时，f x f 1 1 ， 我们通过二次求导分析 的单调性，得出当0＜x 1 时 f x 1 ， 则 f x 在区间 0,1 上为增函数，即 f x f 1 0，此时， 则 有 ( x 1) f ( x) 0 成立。 f x 下面我们在接着分析当 1＜x 时的情况，同理，当 1＜ x时， ＞ f x为 0，即 f x 在区间 1, 上为增函数，则 f x f 1 1 ，此时， 增函数，所以 f x f 1 0，易得 ( x 1) f ( x) 0 也成立。 ( x 1) f ( x) 0 得证。 综上，
巧用二次求导解决函数单调性和极值问题
深圳市民办学校高中数学教师欧阳文丰制作
导

言

在历年高考试题中，导数部分是是以导数作为压轴题来考查。 这类题主要考察函数的单调性、求函数的极值与最值以及利用 导数的有关知识解决恒成立、不等式证明等问题。解决这类题 的常规解题步骤为：①求函数的定义域；②求函数的导数；③ 求 的零点；④列出 的变化关系表；⑤根据列表解答问题。 而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求 导之后往往不易或不能直接判断出导函数的符号，从而不能进 一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。若 遇这类问题，则可试用求函数的二阶导数加以解决。
0处有最大值，而 g ' (0) 0, 所以g ' ( x) 0( x 0),
所以 g ' ( x)在x
函数 g ( x )在 (1,) 上是减函数.
当 1 x 0时，g ( x) g (0) 0, f ' ( x) 0, f ( x)递增;
当 x 0时，g ( x) g (0) 0, f ' ( x) 0, f ( x)递减 所以，函数
x
x x g x e 2x 2a g x e 2
0,ln 2
g x
——
ln 2 0
ln 2,
+
增
g x
减
极小值
典型例题讲解

g ln 2 eln 2 2ln 2 2a 2 2ln 2 2a 2 a ln 2 1