(完整版)对数的运算经典习题

（完整版）对数的运算经典习题
1. 对数的定义
根据定义，若幂运算 $a^x=b$，则 $x$ 称为以 $a$ 为底 $b$ 的对数，记作 $\log_a b=x$。

其中，$a$ 叫做对数的底数，$b$ 叫做真数。

2. 对数的运算规律
对数具有一些运算规律，以下是常见的对数运算规律：
2.1 对数的乘法规律
$\log_a (b\times c)=\log_a b+\log_a c$
2.2 对数的除法规律
$\log_a \frac{b}{c}=\log_a b-\log_a c$
2.3 对数的幂运算规律
$\log_a b^c=c\times \log_a b$
3. 经典题
3.1 题一
已知 $\log_2 3\approx 1.59$，求 $\log_8 27$
3.2 题二
设 $a>1$，若 $\log_a 8=x$，求 $\log_{\sqrt{a}} 32$。

3.3 题三
求证：$\log_2 5+\frac{1}{\log_5 2}=1$
3.4 题四
已知 $\log_2\sqrt{a}=k$，求 $\log_4 a$。

参考答案
3.1 答案
由对数的换底公式可知：
$$\log_8 27=\frac{\log_2 27}{\log_2 8}=\frac{\log_2 (3^3)}{3}=\frac{3\log_2 3}{3}=\log_2 3\approx1.59$$
3.2 答案
由对数的换底公式可知：
$$\log_{\sqrt{a}} 32=\frac{\log_2 32}{\log_2
\sqrt{a}}=\frac{5}{\frac{1}{2}\log_2 a}=\frac{10}{\log_2 a}=\frac{10}{x}$$
3.3 答案
根据对数的定义可知：
$$\log_2 5+\frac{1}{\log_5 2}=\frac{\log_2 5\times\log_2 2}{\log_2 2}+1=1$$
3.4 答案
由对数的性质可知：
$$\log_4 a=\frac{\log_2 a}{\log_2 4}=\frac{k}{2}$$。