2021届河北衡水金卷新高考原创预测试卷(二十)理科数学

2021届河北衡水金卷新高考原创预测试卷（二十）
理科数学
★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合M =}{
46y y x =-+，P ={(x ，})32y y x =+，则M
P 等于（ ）
A ．（1,2）
B ．{}{}12⋃
C ．(){}
1,2
D ．∅
2．复数()12z i i -=（i 为虚数单位），则z 等于（ ） A ．1i + B ．1i -
C ．1i -+
D ．1i --
3．函数()()lg 1f x x x =-的定义域为（ ）
A ．()0,1
B ．[)0,1
C ．(]0,1
D ．[]0,1
4．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其线性相关系数比较，正确的是（ ）
线性相关系数为r 1 线性相关系数为r 2 线性相关系数为r 3 线性相关系数为r 4 A ．r 2<r 4<0<r 3<r 1 B ．r 4<r 2<0<r 1<r 3 C ．r 4<r 2<0<r 3<r 1 D ．r 2<r 4<0<r 1<r 3 5．已知在等比数列{}n a 中，11a =，59a =，则3a =（ ） A ．5
B ．5±
C ．3±
D ．3
6．下列说法中正确的是（ ） A ．平行向量不一定是共线向量 B ．单位向量都相等
C ．若a b ，满足a b >且a 与b 同向，则a b >
D ．对于任意向量a b ，，必有a b a b +≤+ 7．若tan(
)2cos()2
π
απα-=-+，则cos2=α（ ）
A ．
12 B ．34
C ．1-或12
D ．0或1
2 8．函数2()ln 8
x f x x =- 图象大致为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
9．若把单词“error "的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法的种数为（ ） A ．17
B ．18
C ．19
D ．20
10．已知函数()2sin()10,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫
=++><
⎪⎝
⎭
，()1f α=-，()1f β=，若||αβ-的最小值34π，且()f x 的图象关于点,14π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，则函数()f x 的所有对称轴中，离原点最近的对称轴
方程为（ ）
A ．34
x π
=-
B ．4
x π
=
C ．2
x π=-
D ．12
x π
=
11．魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图），刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4. 在棱长为2的正方体内任取一点，此点取自“牟合方盖”的概率为( )
3
3.3
2.2
3.21.D C B A 12．设函数()y f x =的定义域为D ，如果存在非零常数T ，对于任意x D ∈，都有
()()f x T T f x +=⋅，则称函数()y f x =是“似周期函数”，非零常数T 为函数()y f x =的“似周
期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：
①如果“似周期函数”()y f x =的“似周期”为1-，那么它是周期为2的周期函数；
②函数()2x f x =是“似周期函数”；
③如果函数()cos f x x ω=是“似周期函数”，那么2,k k ωπ=∈Z 或(21),k k ωπ=+∈Z ．
以上正确结论的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若命题“x R ∃∈使()2
110x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为_____.
14．已知向量(3,1),(2,1)a b =-=，则a 在b 方向上的投影为_______________. 15．在()()5
1a x x ++展开式中，x 的偶数次幂项的系数之和为8，则a =______.
16．函数()sin cos f x x a x ππ=+满足1()3f x f x ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
，当30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()0f x m -=恰
有两个不等的实根，则实数m 的取值范围为_______．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.（本题10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为22
31x t y t =+⎧⎨=-⎩
（t 为参数），以坐标原点
为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2
2
4
13cos ρθ
=
+ （1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的参数方程：
（2）P 为曲线C 上任一点，Q 为直线l 上任一点，且直线PQ 与l 所成角为30°，求PQ 的最大值与最小值.
18．（本题12分）已知向量(
)
3sin ,cos a x x =，()cos ,cos b x x =，函数()21f x a b =⋅-.
（1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的单调递增区间.
19．（本题12分）从某小组的5名女生和n 名男生中任选3人去参加速滑比赛. )
42,.(2110)(3≤≤∈=n N n A P A 且人中恰有一名男生”，：“所选设事件 (1)求n;
(2)求所选3人中男生人数ξ的分布列及数学期望.
20．（本题12分）若函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >，0>ω，0ϕπ≤<)满足下列条件：()
f x 的图像向左平移π个单位时第一次和原图像重合，对任意的x ∈R 都有()(26
f x f π
≤=）
成立. （1）求()f x 的解析式；
（2）若锐角△ABC 的内角B 满足()1f B =，且角B 的对边1b =，求△ABC 的周长l 的取值范围. 21．（本题12分）某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人.萌宠机器人语音功能让它就像孩子的小伙伴一样和孩子交流，记忆功能还可以记住宝宝的使用习惯，很快找到宝宝想听的内容.同时提供快乐儿歌、国学经典、启蒙英语等早期教育内容，且云端内容可以持续更新.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎.为了更好地服务广大家长，该公司研究部门从流水线上随机抽取100件萌宠机器人（以下简称产品），统计其性能指数并绘制频率分布直方图（如图1）：
产品的性能指数在[)50,70的适合托班幼儿使用（简称A 类产品），在[
)70,90的适合小班和中班幼儿使用（简称B 类产品），在[]90,110的适合大班幼儿使用（简称C 类产品），A ，B ，C ，三类产品的销售利润分别为每件1.5，3.5，5.5（单位：元）.以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率. （1）求每件产品的平均销售利润；
（2）该公司为了解年营销费用x （单位：万元）对年销售量y （单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用i x ，和年销售量()1,2,3,4,5i y i =数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值.
表中ln i i u x =，ln i i y υ=，5
115i i u u ==∑，51
15i i υυ==∑.
根据散点图判断，b
y a x =⋅可以作为年销售量y （万件）关于年营销费用x （万元）的回归方程.
（i ）建立y 关于x 的回归方程；
（ii ）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？ （收益=销售利润-营销费用，取 4.15964e =）. 参考公式：对于一组数据()()()1122,,,,
,,n n u u u υυυ，其回归直线u υαβ=+的斜率和截距的最小
二乘估计分别为()()
()
1
2
1
ˆn
i
i i n
i
i u
u u
u
υυ
β
==--=-∑∑，ˆˆu α
υβ=-.
22.（本题12分）已知正实数a ，函数()22
ln f x a x a x x
=++，()0,10x ∈． （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）若1x =是函数()f x 的极值点，曲线()y f x =在点()()
11,P x f x ，()
()22,Q x f x ()
1
2x
x <处的切线分别为12,l l ，且12,l l 在y 轴上的截距分别为12,b b ．若12//l l ，求12b b -的取值范围．
高三数学（理）试题参考答案
四、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） DCBBD DCCCC CC
五、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．[]1,3- 14
．1
2
-
16
．(2,1]--⋃ 六、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.（本题10分）
【答案】（1）直线l 的普通方程为3280x y --=，曲线C 的参数方程为
⎩⎨
⎧==为参数）θθθ(,
sin 2,
cos y x ；
（2
）最大值为
【解析】（1）直线l 的参数方程为22
31x t y t =+⎧⎨
=-⎩
（t 为参数），故其普通方程为：3280x y --=；
曲线C 的极坐标方程为2
2
413cos ρθ
=
+，故可得222
34x y x ++=，曲线C 的直角坐标方程为：2
2
14y x +=，曲线C 的参数方程为⎩
⎨
⎧==为参数）θθθ(,sin 2,
cos y x （2）由（1）不妨设点P 坐标为(),2cos sin θθ，点P 到直线l 的距离为h
，根据题意可得
22PQ h ==
()
35sin θ8,,,13224tan ππφφφ⎛⎫
=
-+∈-=- ⎪⎝⎭
， 故可得max min PQ PQ ==
13
. 18．（本题12分）
【答案】（1）π；（2）
Z
k k k ∈+-
],6
,3
[π
ππ
π
【解析】（1）
(
)
3sin ,cos a x x =
，()cos ,cos b x x =，
∴23sin cos cos a b x x x ⋅=+
∴()21f x a b =⋅-2cos 2cos 1x x x =+-π2cos 22sin 26x x x ⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭.
即()π2sin 26f x x ⎛
⎫=+
⎪⎝
⎭
∴()f x 的最小正周期是π.
（2）
Z k k k ∈+-
],6
,3[π
ππ
π
19．（本题12分）
【答案】（1）4；（2）见解析. 【解析】（1）n=4
（2）随机变量ξ的可能取值有0、1、2、3，
()35395042C P C ξ===，()21543910121C C P C ξ===，()12543
95
214
C C P C ξ===， ()34391
321
C P C ξ===.
所以，随机变量ξ的分布列如下表所示：
因此，随机变量ξ
的数学期望为5105140123422114213
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯=. 20．【答案】（1）()2sin(2)6
f x x π=+.（2）(1+
【解析】（1）由题意可得：最小正周期T π=，由2T π
πω
=
=，解得：2ω=，
∵()()26
f x f π≤=，∴2A =， 且226
2
k π
π
ϕπ⋅
+=
+，∴26
k π
ϕπ=
+，k ∈Z ，
又∵0ϕπ≤<，∴6
π
=
ϕ， ∴()2sin(2)6
f x x π=+.
（2）∵1
2sin(2)1,sin(2)662B B π
π+
=+=，而70,22666
B B ππππ<<<+<∴563
26
B B π
ππ=
⇒
=+
， 又∵02
B A π
π<--<
，02
A π
<<
，∴
6
2
A π
π
<<
，
∵sin sin sin()3
b a
c B A A
ππ====--a =
22sin()
A c π-=， ∴
22sin(
)1A l π
-=
+22sin cos cos sin 133A A A ππ⎫=-+⎪⎭
1
sin 12A A A ⎫=++⎪⎪⎭
cos 1A A =++2sin()16
A π
=++，
∵2(,)633
A πππ
+∈，∴sin()62A π⎛⎤+∈ ⎥ ⎝⎦，(
2sin()116A π
⎤++∈⎦，即周长(1l ∈. 21．【答案】（1）每件产品的平均销售利润4元（2）（i ）1
464y x =（ii ）该厂应投入256万元营销费.
【解析】（1）设每件产品的销售利润为ξ元，则ξ的所有可能取值为1.5，3.5，5.5， 由直方图可得，A ，B ，C 三类产品的频率分别为0.15、0.45、0.4， 所以，()1.50.15P ξ==，()3.50.45P ξ==，()5.50.4P ξ==，
所以随机变量ξ的分布列为：
所以， 1.50.15 3.50.45 5.50.44E ξ=⨯+⨯+⨯=，
故每件产品的平均销售利润为4元；
（2）（i ）由b
y a x =⋅得，(
)ln ln ln ln b
y a x
a b x =⋅=+，
令ln u x =，ln y υ=，ln c a =，则c bu υ=+，由表中数据可得，
,25.064.141.0ˆ==b
则24.8716.30
ˆˆ0.25 4.15955
c
bu υ=-=-⨯=，
所以，ˆ 4.1590.25u υ
=+， 即14.1594ˆln 4.1590.25ln ln y x e
x ⎛⎫=+=⋅ ⎪⎝⎭
， 因为 4.15964e =，所以1
4ˆ64y x =
（ii ）设年收益为z 万元，则()1
4256z E y x x x ξ=⋅-=-， 设1
4t x =，()4
256f t t t =-，
则()(
)3
3
2564464f t t t
'=-=-，
当()0,4t ∈时，()0f t '>，f t 在()0,4单调递增，
当()4t ,∈
+∞时，()0f t '<，f
t 在()4,+∞单调递减，
所以，当4t =，即256x =时，z 有最大值为768，
即该厂应投入256万元营销费，能使得该产品一年的收益达到最大768万元.
22.【答案】（1）当10,
10a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x 在()0,10上单调递减；当1,10a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()f x 在10,a ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，在1,10a ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递增；（2）.
)0,2ln 25
6(-． 【解析】（1）()()()()2
22
212010ax ax a f x a x x x x +-'=-
++=<<.0a >，010x <<，20ax ∴+>.
①当
110a ≥，即10,10a ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
时，()0f x '<，()f x ∴在()0,10上单调递减； ②当1010a <
<，即1,10a ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
时，
当10,
x a ⎛⎫∈ ⎪
⎝⎭时，()0f x '<；当1,10x a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，()0f x '>， ()f x ∴在10,a ⎛⎫
⎪⎝⎭
上减，在1,10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上增.
综上：当10,
10a ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
时，()f x 在()0,10上减； 当1,10a ⎛⎫∈+∞
⎪⎝⎭时，()f x 在10,a ⎛⎫
⎪⎝⎭
上减，在1,10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上增.
（2）
1x =是()f x 的极值点，()10f '∴=，即()()210a a +-=，
解得：1a =或2a =-（舍），此时()2ln f x x x x =
++，()221
1f x x x
'=-++. 1l ∴方程为：()1112111221ln 1y x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫
-++=-++-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令0x =，得：1114ln 1b x x =
+-；同理可得：222
4
ln 1b x x =+-. 12//l l ，221122212111x x x x ∴-
++=-++，整理得：()12122x x x x =+，12122
x x x ∴=-， 又12010x x <<<，则1112102x x x <
<-，解得：1542
x <<，
()121221111121
1221222221244ln ln ln 1x x x x x x x x x
b b x x x x x x x x x ⎛⎫
- ⎪
--⎝⎭∴-=+=+=+++.
令12x t x =，则1111211,1224x x t x x -⎛⎫=⋅=-∈ ⎪⎝⎭
，
设()()21ln 1t g t t t -=++，()()
()()2
22
141011t g t t t t t -'∴=-+=>++， ()g t ∴在1,14⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，又()10g =，
2ln 25
6
)41(-=g ）
，值域为（02ln 256
)(-∴t g 即12b b -的取值范围为.)0,2ln 25
6
(-。