一阶线性微分方程

称为一阶线性齐次微分方程。
一、一阶线性齐次微分方程
一阶线性齐次微分方程是可分离变量微分方程，分离变量
得 两边积分得
dy P(x)dx y
ln y P(x)dx ln C
化简得
y Ce P( x)dx
这就是一阶线性齐次微分方程的通解。
二、一阶线性非齐次微分方程
前面以求出齐次方程 dy P(x) y 0 的通解为 dx y Ce P( x)dx
解 设降落速度为v=v(t)，降落时飞行员所受重力mg的方向
与v(t)的方向一致，所受阻力 f kv 与v(t)的方向相反（k
为比例系数且大于0），从而在降落过程中飞行员所受的合
力为 F kv
根据牛顿第二定律 F ma ，a dv ，得微分方程
m
dv
dt mg
kv
dt
即
dv k v g
y
e- -2xdx
ex2
cos
x
e
-2xdx
dx
ex2 ( ex2 cos x ex2 dx)
ex2 ( cos xdx) ex2 (sin x C)
例2 【曲线方程】求前面例如问题中的曲线方程。
解 由前面分析得微分方程
dy y x，y 1
dx
x0
对应的齐次方程的通解公式为
所以方程的通解为 y [(x 1)ex C]ex Cex x 1
把初始条件 y 1 代入通解中，得 x0 C2
故所求曲线方程为 y 2ex x 1
例3 【飞行员跳伞问题】假设体重为m的飞行员在降落伞 张开后所受空气阻力与降落速度成正比，开始降落的速度 为零，求其降落速度与时间的函数关系．
y
-
Ce
dx
Ce x
将常数变为函数，得
y u(x)ex
例2 【曲线方程】求前面例如问题中的曲线方程。
将y, y’代入原方程并化简，得
u(x)ex x
于是
u(x) xex
积分得
u(x) xexdx xd(ex ) xex exdx (x 1)ex C
例2 【曲线方程】求前面例如问题中的曲线方程。
高等数学
一阶线性微分方程
在解决实际问题中，经常会遇到这样的一阶微分方程， 它的未知函数和未知函数的导数都是一次的，这类方程称 为一阶线性微分方程。
例如，某曲线上任意点M(x, y)的切线斜率是该点横、纵 坐标之差，且曲线经过（1，0）点，求该曲线方程。
分析 设曲线方程为y=f(x) ，则曲线在点M(x, y)处
其中C为任意常数．由此猜想非齐次方程也有这种形式的 解，但其中C不是常数，而是某个x的函数，问题归结为是否 存在这样的函数u(x)，使得
y u(x)e P(x)dx 是非齐次方程的解。
现在假设 y u(x)e P(x)dx 是方程 dy P(x) y Q(x) 的解， dx
则
y ue P(x)dx u(e P(x)dx )
ue P(x)dx uP(x)e P( x)dx
将y, y’代入方程
dy P(x) y Q(x) dx
并化简，得
ue P(x)dx Q(x)
u Q(x)e P(x)dx
两边积分，得 u Q(x)e P(x)dxdx C
于是，这样的u(x)存在，将上式代入 y u(x)e P(x)dx ，得 方程 dy P(x) y Q(x) 的通解公式为
dx
y
e P( x)dx
Q(
x)e
P
(
x
)
dxdx
C
即
y Ce P(x)dx e P( x)dx Q(x)e P( x)dxdx
齐次方程的通解
非齐次方程的特解
式中右端的第一项是对应的齐次方程的通解，第二 项是非齐次方程的一个特解（取C=0）。由此可知：一 阶线性非齐次方程的通解等于对应的齐次方程的通解与 非齐次方程的一个特解之和。
上述将对应齐次方程通解中的为任意常数C换为待定 函数u(x)，以求非齐次方程的方法，称为常数变易法。
例1 解方程 y 2xy ex2 cos x
解法1（常数变易法）：对应的齐次方程的通解为
y
-
Ce
-2xdx
Cex2
将常数变为函数，得
y u(x)ex2 将y, y’代入原方程并化简，得
u(x)ex2 ex2 cos x 于是
u(x) cos x
例1 解方程 y 2xy ex2 cos x
积分得
u(x) cos xdx sin x C
所以原方程的通解为 y (sin x C)ex2
例1 解方程 y 2xy ex2 cos x
解法2（公式法）：
将 P(x) 2x，Q(x) ex2 cos x ，代入非齐次方程的通解公 式得
的切线斜率为 dy 。根据题意有 dx dy x y dx
即
dy y x
dx
初始条件为 y 1 。 x0
这个方程未知函数及其导数都是一次的，是一阶
线性微分方程。
一阶线性微分方程的一般形式是 dy P(x) y Q(x) dx
其中P(x)，Q(x) 都是x的已知连续函数。
Q(x) 0 ，上式变为 dy P(x) y 0 dx
dt m
例3 【飞行员跳伞问题】假设体重为m的飞行员在降落伞 张开后所受空气阻力与降落速度成正比，开始降落的速度 为零，求其降落速度与时间的函数关系．
将初始条件 v(0) 0 代入得
C mg k
于是所求函数为
v(t)
mg
(1
e
kt m
)
k
可以看出，当t充分大时，e
k m
t
越来越小，速度v(t)逐渐接
近于匀速 mg ，故飞行员跳伞速度不会无限增大，飞行员
k 就会完好无损地降落到地面。
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