线性系统分析_习题答案

专业课习题解析课程西安电子科技大学
844信号与系统
专业课习题解析课程
第1讲
第一章信号与系统（一）
专业课习题解析课程
第2讲
第一章信号与系统（二）
1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。

（2）∞<<-∞=-t e
t f t
,)( （3）)()sin()(t t t f επ=
（4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k
ε= （10）)(])1(1[)(k k f k
ε-+=
解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t e
t f t
,)(
（3）)()sin()(t t t f επ=
（4）)(sin )(t t f ε=
（5）)(sin )(t r t f =
（7）)(2)(k t f k ε=
（10）)(])1(1[)(k k f k ε-+=
1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。

（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f （5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε （11）
)]7()()[6
sin()(--=k k k k f εεπ （12）)]()3([2)(k k k f k
---=εε
解：各信号波形为
（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε
（2）
)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f
（5）
)2()2()(t t r t f -=ε
（8）
)]5()([)(--=k k k k f εε
（11）
)]7()()[6
sin()(--=k k k k f εεπ
（12）
)]()3([2)(k k k f k
---=εε
1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。

1-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。

1-5 判别下列各序列是否为周期性的。

如果是，确定其周期。

（2）)6
3cos()443cos()(2π
πππ+++=k k k f （5）)sin(2cos 3)
(5t t t f π+=
解：
1-6 已知信号)(t f 的波形如图1-5所示，画出下列各函数的波形。

（1）)()1(t t f ε- （2）)1()1(--t t f ε （5）
)21(t f - （6）)25.0(-t f
（7）dt
t df )
( （8）dx x f t ⎰∞-)(
解：各信号波形为 （1）)()1(t t f ε-
（2）
)1()1(--t t f ε
（5）
)21(t f -
（6）
)25.0(-t f
（7）dt t df )(
（8）
dx x f t
⎰
∞
-)(
1-7 已知序列)(k f 的图形如图1-7所示，画出下列各序列的图形。

（1）)()2(k k f ε- （2）)2()2(--k k f ε
（3）)]4()()[2(---k k k f εε （4）)2(--k f （5）
)1()2(+-+-k k f ε （6）)3()(--k f k f
解：
1-9 已知信号的波形如图1-11所示，分别画出)(t f 和dt t df )
(的波形。

解：由图1-11知，)3(t f -的波形如图1-12(a)所示（)3(t f -波形是由对)23(t f -的波形展宽为原来的两倍而得）。

将)3(t f -的波形反转而得到)3(+t f 的波形，如图1-12(b)所示。

再将)3(+t f 的波形右移3个单位，就得到了)(t f ，如图1-12(c)所示。

dt
t df )
(的波形如图1-12(d)所示。

1-10 计算下列各题。

（1）[]{})()2sin(cos 22
t t t dt
d ε+ （2）)]([)1(t
e dt d t t δ--
（5）dt t t
t )2()]4
sin([2
++⎰
∞
∞-δπ （8）
dx x x t
)(')1(δ⎰
∞
--
1-12 如图1-13所示的电路，写出
（1）以)(t u C 为响应的微分方程。

（2）以)(t i L 为响应的微分方程。

1-20 写出图1-18各系统的微分或差分方程。

1-23 设系统的初始状态为)0(x ，激励为)(⋅f ，各系统的全响应)(⋅y 与激励和初始状态的关系如下，试分析各系统是否是线性的。

（1）⎰+=-t t
dx x xf x e t y 0)(sin )0()( （2）⎰+=t
dx x f x t f t y 0)()0()()(
（3）⎰+=t
dx x f t x t y 0)(])0(sin[)( （4）)2()()0()5.0()(-+=k f k f x k y k
（5）∑=+
=k
j j f kx k y 0
)()0()(
1-25 设激励为)(⋅f ，下列是各系统的零状态响应)(⋅zs y 。

判断各系统是否是线性的、时不变的、因果的、稳定的？
（1）dt
t df t y zs )
()(= （2）)()(t f t y zs = （3）)2cos()()(t t f t y zs π= （4）
)()(t f t y zs -= （5）)1()()(-=k f k f k y zs （6）)()2()(k f k k y zs -=
（7）∑==k
j zs j f k y 0
)()( （8）
)1()(k f k y zs -=
1-28 某一阶LTI 离散系统，其初始状态为)0(x 。

已知当激励为)()(1
k k y ε=时，其全响应
为
若初始状态不变，当激励为)(k f -时，其全响应为)(]1)
5.0(2[)(2
k k y k
ε-=
若初始状态为)0(2x ，当激励为)(4k f 时，求其全响应。

第二章
2-1 已知描述系统的微分方程和初始状态如下，试求其零输入响应。

（1）1)0(',1)0(),()(6)('5)(''-===++-y y t f t y t y t y （4）0)0(',2)0(),()()(''===+-y y t f t y t y
2-2 已知描述系统的微分方程和初始状态如下，试求其+0值)0(+y 和)0('+y 。

（2）)()(,1)0(',1)0(),('')(8)('6)(''t t f y y t f t y t y t y δ====++-- （4）)()(,2)0(',1)0(),(')(5)('4)(''2t e t f y y t f t y t y t y t ε====++-- 解：
2-4 已知描述系统的微分方程和初始状态如下，试求其零输入响应、零状态响应和全响应。

（2）)()(,2)0(',1)0(),(3)(')(4)('4)(''t e t f y y t f t f t y t y t y t
ε---===+=++
解：
2-8 如图2-4所示的电路，若以)(t i S 为输入，)(t u R 为输出，试列出其微分方程，并求出冲激响应和阶跃响应。

2-12 如图2-6所示的电路，以电容电压)(t u C 为响应，试求其冲激响应和阶跃响应。

2-16 各函数波形如图2-8所示，图2-8(b)、(c)、(d)均为单位冲激函数，试求下列卷积，并画出波形图。

（1）)(*)(21t f t f （2）)(*)(31t f t f （3）)(*)(41t f t f
（4）
)(*)(*)(221t f t f t f （5）)3()(2[*)(341--t f t f t f
波形图如图2-9(a)所示。

波形图如图2-9(b)所示。

波形图如图2-9(c)所示。

波形图如图2-9(d)所示。

波形图如图2-9(e)所示。

2-20 已知)()(1t t t f ε=，)2()()(2--=t t t f εε，求)2('*)1(*)()(21--=t t f t f t y δ
2-22 某LTI 系统，其输入)(t f 与输出)(t y 的关系为dx x f e t y t x t )2()(1
)
(2-=⎰∞
--- 求该系统的冲激响应)(t h 。

2-28 如图2-19所示的系统，试求输入)()(t t f ε=时，系统的零状态响应。

2-29 如图2-20所示的系统，它由几个子系统组合而成，各子系统的冲激响应分别为
)1()(-=t t h a δ )3()()(--=t t t h b εε
求复合系统的冲激响应。

第三章习题
、试求序列 的差分、和。

、求下列差分方程所描述的LTI 离散系统的零输入相应、零状态响应和全响应。

1）
3）
5）
、求下列差分方程所描述的离散系统的单位序列响应。

2）
5）
、求图所示各系统的单位序列响应。

（a）
（c）、求图所示系统的单位序列响应。

、各序列的图形如图所示，求下列卷积和。

（1）（2）（3）（4）
、求题图所示各系统的阶跃响应。

、求图所示系统的单位序列响应和阶跃响应。

、若LTI离散系统的阶跃响应，求其单位序列响应。

、如图所示系统，试求当激励分别为（1）（2）时的零状态响应。

、如图所示的离散系统由两个子系统级联组成，已知，，激励，求该系统的零状态响应。

（提示：利用卷积和的结合律和交换律，可以简化运算。

）
、如图所示的复合系统有三个子系统组成，它们的单位序列响应分别为，，求复合系统的单位序列响应。

第四章习题
求下列周期信号的基波角频率Ω和周期T 。

（1）t j e 100 （2）)]3(2
cos[-t π
（3）)4sin()2cos(t t + （4）)5cos()3cos()2cos(t t t πππ++ （5）)4
sin()2
cos(t t ππ+ （6）)5
cos()3
cos()2
cos(t t t πππ++
用直接计算傅里叶系数的方法，求图4-15所示周期函数的傅里叶系数（三角形式或指数形式）。

图4-15
利用奇偶性判断图4-18示各周期信号的傅里叶系数中所含有的频率分量。

图4-18
4-11 某1Ω电阻两端的电压)(t u 如图4-19所示， （1）求)(t u 的三角形式傅里叶系数。

（2）利用（1）的结果和1)2
1(=u ，求下列无穷级数之和
(7)
1
51311+-+-=S
（3）求1Ω电阻上的平均功率和电压有效值。

（4）利用（3）的结果求下列无穷级数之和
(7)
1
51311222
++++
=S 图4-19
根据傅里叶变换对称性求下列函数的傅里叶变换 （1）∞<<-∞--=t t t t f ,)
2()]2(2sin[)(ππ
（2）∞<<-∞+=
t t t f ,2)(2
2αα
（3）
∞<<-∞⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=t t t t f ,2)2sin()(2
ππ
求下列信号的傅里叶变换
（1）)2()(-=-t e t f jt δ （2）)1(')()1(3-=--t e t f t δ （3）)9sgn()(2-=t t f （4）)1()(2+=-t e t f t ε （5）)12()(-=t
t f ε
试用时域微积分性质，求图4-23示信号的频谱。

图4-23
若已知)(j ])([ωF t f F =，试求下列函数的频谱： （1）)2(t tf （3）dt
t df t )( （5）)-1(t)-(1t f
（8）)2-3(t f e jt （9）t
dt
t df π1*)(
求下列函数的傅里叶变换 （1）⎩⎨
⎧><=0
0,1,)(j ωωωωωF
（3）)(3cos 2)(j ωω=F （5）ωω
ωω1)(2n -20
sin 2)(j +=∑=j n e F
试用下列方式求图4-25示信号的频谱函数
（1）利用延时和线性性质（门函数的频谱可利用已知结果）。

（2）利用时域的积分定理。

（3）将)(t f 看作门函数)(2t g 与冲激函数)2(+t δ、)2(-t δ的卷积之和。

图4-25
试求图4-27示周期信号的频谱函数。

图（b ）中冲激函数的强度均为1。

图4-27
如图4-29所示信号)(t f 的频谱为)(ωj F ，求下列各值[不必求出)(ωj F ] （1）0|)()0(==ωωj F F （2）ωωd j F ⎰∞
∞-)( （3）ωωd j F 2
)(⎰∞
∞-
图4-29
利用能量等式
ωωπ
d j F dt t f 2
2
)(21
)(⎰
⎰
∞
∞
-∞
∞
-=
计算下列积分的值。

（1）dt t
t 2
])sin([
⎰∞
∞- （2）⎰∞∞-+22)1(x dx
一周期为T 的周期信号)(t f ，已知其指数形式的傅里叶系数为n F ，求下列周期信号的傅里叶系数
（1）)()(01t t f t f -=
（2）)()(2t f t f -=
（3）dt
t df t f )()(3= （4）0),()(4>=
a at f t f
求图4-30示电路中，输出电压电路中，输出电压)(2t u 对输入电流)(t i S 的频率响应)
()()(2ωωωj I j U j H S =，
为了能无失真的传输，试确定R 1、R 2的值。

图4-30
某LTI 系统，其输入为)(t f ，输出为
dx x f a
a
x s a t y )2()(1)(--=
⎰∞∞- 式中a 为常数，且已知)()(ωj S t s ↔，求该系统的频率响应)(ωj H 。

某LTI 系统的频率响应ω
ωωj j j H +-=22)(，若系统输入)2cos()(t t f =，求该系统的输出)(t y 。

一理想低通滤波器的频率响应
⎪⎩⎪⎨⎧><-=s rad s
rad j H /3,
0/3,3
1)(ωωω
ω 一个LTI 系统的频率响应
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧<<<<-=-其他,0/60,0/6,)(22
s rad e s rad e j H j j ωωωπ
π
若输入)5cos()3sin()(t t
t t f =，求该系统的输出)(t y 。

如图4-35的系统，其输出是输入的平方，即)()(2t f t y =
（设)(t f 为实函数）。

该系统是线性的吗？
（1）如t
t t f sin )(=，求)(t y 的频谱函数（或画出频谱图）。

（2）如)2cos(cos 2
1)1(t t f ++=，求)(t y 的频谱函数（或画出频谱图）。

如图4-42(a)的系统，带通滤波器的频率响应如图(b)所示，其相频特性0)(=ωϕ，若输入
)1000cos()(,2)
2sin()(t t s t
t t f ==
ππ 求输出信号)(t y 。

图4-42
有限频带信号)(t f 的最高频率为100Hz ，若对下列信号进行时域取样，求最小取样频率s f 。

（1）)3(t f （2）)(2t f （3）)2(*)(t f t f （4）)()(2t f t f +
有限频带信号)4cos()2cos(25)(11t f t f t f ππ++=，其中kHz f 11=，求Hz f s 800=的冲激函数序列)(t T δ进行取样（请注意1f f s <）。

（1）画出)(t f 及取样信号)(t f s 在频率区间（-2kHz ，2kHz ）的频谱图。

（2）若将取样信号)(t f s 输入到截止频率Hz f c 500=，幅度为的理想低通滤波器，即其频率响应
⎩⎨
⎧><==Hz
f Hz
f T f j H j H s 500,0500,)2()(πω 画出滤波器的输出信号的频谱，并求出输出信号)(t y 。

图4-47
图4-48
图4-49
求下列离散周期信号的傅里叶系数。

（2）)4)(30()2
1()(=≤≤=N k k f k
第五章
5-2 求图5-1所示各信号拉普拉斯变换，并注明收敛域。

5-3 利用常用函数（例如)(t ε，)(t e at
ε-，)()sin(t t εβ，)()cos(t t εβ等）
的象函数及拉普拉斯变换的性质，求下列函数)(t f 的拉普拉斯变换
)(s F 。

（1）
)2()()2(-----t e t e t t εε （3）)]1()()[sin(--t t t εεπ （5）)24(-t δ （7）)()4
2sin(t t επ
-
（9）⎰
t
dx t 0)sin(π （11）)]()[sin(22
t t dt
d επ （13）)(22t
e t t
ε- （15）
)1()3(---t te t ε 123
5-4 如已知因果函数)(t f 的象函数11
)(2
+-=s s s F ，求下列函数
)(t y 的象
函数)(s Y 。

（1）)2
(t f e t
- （4）)12(-t tf
5-6 求下列象函数)(s F 的原函数的初值)0(+f 和终值)(∞f 。

（1）2
)1(3
2)(++=s s s F （2）)1(1
3)(++=s s s s F
5-7 求图5-2所示在0=t 时接入的有始周期信号)(t f 的象函数)(s F 。

图5-2
5-8 求下列各象函数)(s F 的拉普拉斯变换)(t f 。

（1）)4)(2(1
++s s （3）235422
++++s s s s （5）)4(422++s s s
（7）2)1(1-s s （9）)52(5
2+++s s s s
5-9 求下列象函数)(s F 的拉普拉斯变换)(t f ，并粗略画出它们的波形图。

（1）11+--s e Ts
（3）3)
3(2++-s e
s （6）222)1(ππ+--s e s
其波形如下图所示：
其波形如下图所示：
其波形如下图所示：
5-10 下列象函数)(s F 的原函数)(t f 是0=t 接入的有始周期信号，求周期T 并写出其第一个周期（T t <<0）的时间函数表达式)(t f o 。

（1）s
e -+11
（2）)1(1
2s e s -+
5-12 用拉普拉斯变换法解微分方程)(3)(6)('5)(''t f t y t y t y =++ 的零输入响应和零状态响应。

（1）已知2)0(',1)0(),()(===--y y t t f ε。

（2）已知1)0(',0)0(),()(===---y y t e t f t
ε。

5-13 描述某系统的输出)(1t y 和)(2t y 的联立微分方程为
⎩⎨⎧-=+-=-+)()(2)()(')(4)(2)()('212211t f t y t y t y t f t y t y t y
（1）已知0)(=t f ，1)0(1=-y ，2)0(2=-y ，求零状态响应)(1t y zs ，)(2t y zs 。

5-15 描述某LTI 系统的微分方程为)(4)(')(2)('3)(''t f t f t y t y t y +=++ 求在下列条件下的零输入响应和零状态响应。

（1）1)0(',0)0(),()(===--y y t t f ε。

（2）
1)0(',1)0(),()(2===---y y t e t f t ε。

5-16 描述描述某LTI 系统的微分方程为
)(4)(')(2)('3)(''t f t f t y t y t y +=++
求在下列条件下的零输入响应和零状态响应。

（1）3)0(',1)0(),()(===++y y t t f ε。

（2）
2)0(',1)0(),()(2===++-y y t e t f t ε。

5-17 求下列方程所描述的LTI 系统的冲激响应)(t h 和阶跃响应)(t g 。

（1）)(3)(')(3)('4)(''t f t f t y t y t y -=++
5-18 已知系统函数和初始状态如下，求系统的零输入响应)(t y zi 。

（1）656)(2+++=s s s s H ，1)0(')0(==-y y
（3）)23(4)(2+++=s s s s s H ，1)0('')0(')0(===--y y y
5-22 如图5-5所示的复合系统，由4个子系统连接组成，若各子系统的系统函数或冲激响应分别为11)(1+=s s H ，21)(2+=s s H ，)()(3t t h ε=，
)()(24t e t h t ε-=，求复合系统的冲激响应)(t h 。

5-26 如图5-7所示系统，已知当)()(t t f ε=时，系统的零状态响应)()551()(32t e e t y t t zs ε--+-=，求系数a 、b 、c 。

5-28 某LTI 系统，在以下各种情况下起初始状态相同。

已知当激励)()(1t t f δ=时，其全响应)()()(1t e t t y t εδ-+=；当激励)()(2t t f ε=时，其全响应)(3)(2t e t y t ε-=。

（1）若)()(23
t e t f t ε-=，求系统的全响应。

5-29 如图5-8所示电路，其输入均为单位阶跃函数)(t ε，求电压)(t u 的零状态响应。

5-42 某系统的频率响应ωωωj j j H +-=11)(，求当输入)(t f 为下列函数时的
零状态响应)(t y zs 。

（1）)()(t t f ε= （2）)(sin )(t t t f ε=
5-50 求下列象函数的双边拉普拉斯变换。

（1）3]Re[1,)3)(1(2<<---s s s （2）1]Re[3,)3)(1(2-<<-++s s s
（3）0]Re[,442<+s s （4）0]Re[1,)1)(4(42<<-+++-s s s s。