如何应对高考数学函数单调性解析

如何应对高考数学函数单调性解析
函数单调性是高中数学中的一个重要知识点，也是高考数学中的常见考点。

掌握函数单调性的性质、判定方法和应用对于解决高考数学题目具有重要意义。

本文将从以下几个方面解析如何应对高考数学函数单调性解析。

一、函数单调性的定义和性质
1.1 定义
函数的单调性指的是函数在定义域上的增减性质。

具体来说，如果对于定义域上的任意两个实数x1和x2，当x1 < x2时，有f(x1) ≤ f(x2)（函数单调递增），或者当x1 < x2时，有f(x1) ≥ f(x2)（函数单调递减），那么我们就称函数f(x)在定义域上具有单调性。

1.2 性质
（1）如果函数f(x)在定义域上单调递增，那么对于定义域上的任意两个实数x1和x2，如果x1 < x2，则f(x1) ≤ f(x2)。

（2）如果函数f(x)在定义域上单调递减，那么对于定义域上的任意两个实数x1和x2，如果x1 < x2，则f(x1) ≥ f(x2)。

（3）如果函数f(x)在定义域上具有单调性，那么它的一阶导数f’(x)在定义域上非零。

（4）如果函数f(x)在定义域上具有单调性，那么它在其单调区间内连续。

二、函数单调性的判定方法
2.1 图像法
通过观察函数的图像，可以直观地判断函数的单调性。

如果函数图像随着x的增大而逐渐上升，则函数单调递增；如果函数图像随着x的增大而逐渐下降，则函数单调递减。

2.2 导数法
利用函数的导数判断函数的单调性。

如果函数f(x)在定义域上可导，且导数f’(x) > 0（f’(x)在定义域上非零），则函数f(x)单调递增；如果导数f’(x) < 0，则函数f(x)单调递减。

2.3 闭区间上的单调性定理
如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，并且在区间内部可导，那么f(x)在该区间
上单调递增或单调递减的充分必要条件是f’(x)在该区间上非零。

三、函数单调性的应用
3.1 求函数的最值
如果函数f(x)在定义域上单调递增，那么函数的最小值出现在定义域的左端点；如果函数f(x)在定义域上单调递减，那么函数的最大值出现在定义域的右端点。

3.2 解不等式
对于不等式f(x) > 0或f(x) < 0，可以通过分析函数的单调性来求解。

如果函数
f(x)在某个区间上单调递增，那么在该区间上f(x) > 0或f(x) < 0的解集为一个区间；如果函数f(x)在某个区间上单调递减，那么在该区间上f(x) > 0或f(x) < 0的解集
为两个区间的并集。

3.3 函数的复合
如果函数f(x)和g(x)在某个区间上单调性相同，那么函数(f°g)(x)在该区间上单
调递增；如果函数f(x)和g(x)在某个区间上单调性相反，那么函数(f°g)(x)在该区间上单调递减。

四、高考数学函数单调性解析策略
4.1 熟悉基本函数的单调性
掌握基本函数（如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数）的单调性，对于
解决高考数学题目具有重要意义。

4.2 学会使用导数法判断单调性
在高考数学题目中，导数法是判断函数单调性的常用方法。

熟练掌握导数法，
能够快速准确地判断函数的单调性。

4.3 注意函数单调性与其他知识点的结合
在## 例题1：求函数f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 27的单调递增区间。

（1）求导数f’(x) = 3x^2 - 6x - 9；
（2）令f’(x) > 0，解不等式3x^2 - 6x - 9 > 0，得到x < -1或x > 3；
（3）函数f(x)的单调递增区间为(-∞, -1)和(3, +∞)。

例题2：求函数f(x) = ln(x^2 - 4x + 3)的单调递增区间。

（1）令t = x^2 - 4x + 3，求导数t’ = 2x - 4；
（2）令t’ > 0，解不等式2x - 4 > 0，得到x > 2；
（3）因为y = ln(t)，所以当t > 1时，y单调递增；
（4）函数f(x)的单调递增区间为(2, +∞)。

例题3：已知函数f(x) = x^2 + ax + b在区间[-1, 1]上单调递减，求a的取值范围。

（1）求导数f’(x) = 2x + a；
（2）因为f(x)在区间[-1, 1]上单调递减，所以f’(x)在区间[-1, 1]上非正；
（3）解不等式2x + a ≤ 0，得到a ≤ -2；
（4）所以a的取值范围为a ≤ -2。

例题4：已知函数f(x) = x^3 - 6x + 9在区间[0, +∞)上单调递增，求f’(x)的最小值。

（1）求导数f’(x) = 3x^2 - 6；
（2）因为f(x)在区间[0, +∞)上单调递增，所以f’(x)在区间[0, +∞)上非负；
（3）当x = 0时，f’(x)取得最小值-6；
（4）所以f’(x)的最小值为-6。

例题5：求函数f(x) = (x - 1)^2 + (x - 2)^2在区间[1, 2]上的单调性。

（1）展开函数f(x)，得到f(x) = 2x^2 - 6x + 5；
（2）求导数f’(x) = 4x - 6；
（3）令f’(x) > 0，解不等式4x - 6 > 0，得到x > 3/2；
（4）因为1 ≤ x ≤ 2，所以函数f(x)在区间[1, 2]上单调递减。

例题6：已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求函数的最小值。

（1）配方，得到f(x) = (x - 2)^2 - 1；
（2）因为函数在区间(-∞, 2]上单调递减，在区间[2, +∞)上单调递增，所以函数的最小值出现在x = 2；
（3）代入x = 2，得到函数的最小值为-1。

例题7：已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - x + 1，求函数在区间[-1, 1]上的最大值。

（1）求导数f’(x) = 6x^2 - 6x - 1；
（2）令f’(x) = 0，解方程6x^2 - 6x - 1 = 0，得到x = (3 ± √19)/6；
（3）因为函数在区间[-1, 1]上单调递减，所以函数的最大值出现在x = -1；
（4）代入x = -1，## 例题8：（2019全国卷II）已知函数f(x) = x^3 - 3x，求f(x)在区间[-1, 1]上的单调性。

（1）求导数f’(x) = 3x^2 - 3；
（2）因为f’(x) = 3(x^2 - 1)，所以f’(x)在区间[-1, 1]上小于0；
（3）所以f(x)在区间[-1, 1]上单调递减。

例题9：（2018全国卷I）已知函数f(x) = ln(x) - x^2 + 1，求f(x)在区间(0, +∞)上的单调性。

（1）求导数f’(x) = 1/x - 2x；
（2）因为f’(x) = (1 - 2x^2)/x，所以f’(x)在区间(0, +∞)上小于0；
（3）所以f(x)在区间(0, +∞)上单调递减。

例题10：（2017全国卷III）已知函数f(x) = x^3 - 6x + 9，求f(x)在区间[-1, +∞)上的单调性。

（1）求导数f’(x) = 3x^2 - 6；
（2）因为f’(x) = 3(x^2 - 2)，所以f’(x)在区间[-1, +∞)上非负；
（3）所以f(x)在区间[-1, +∞)上单调递增。

例题11：（2016全国卷II）已知函数f(x) = x^2 + 2ax + a^2 - 1，求f(x)的单调递增区间。

（1）求导数f’(x) = 2x + 2a；
（2）令f’(x) > 0，解不等式2x + 2a > 0，得到x > -a；
（3）函数f(x)的单调递增区间为(-a, +∞)。

例题12：（2015全国卷I）已知函数f(x) = ln(x) - x，求f(x)
在区间(0, 1)上的单调性。

（1）求导数f’(x) = 1/x - 1；
（2）因为f’(x) = (1 - x)/x，所以f’(x)在区间(0, 1)上大于0；
（3）所以f(x)在区间(0, 1)上单调递增。

例题13：（2014全国卷II）已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求f(x)在区间[-1, 1]上的单调性。

（1）求导数f’(x) = 3x^2 - 6x + 2；
（2）因为f’(x) = 3(x^2 - 2x + 1)，所以f’(x)在区间[-1, 1]上小于0；
（3）所以f(x)在区间[-1, 1]上单调递减。

例题14：（2013全国卷I）已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求
函数的最小值。

（1）配方，得到f(x) = (x - 2)^2 - 1；
（2）因为函数在区间[-∞, 2]上单调递减，在区间[2, +∞)上单调递增，所以函
数的最小值出现在x = 2；
（3）代入x = 2，得到函数的最小值为-1。

例题15：（2012全国卷II）已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - x + 1，求函数在区间[-1, 1]上的最大值。

（1）求导数f’(x)。