人教版初中数学锐角三角函数的全集汇编含答案解析

人教版初中数学锐角三角函数的全集汇编含答案解析
一、选择题
1．如图，在菱形ABCD 中，按以下步骤作图：①分别以点C 和点D 为圆心，大于12
CD 为半径作弧，两弧交于点M ，N ；②作直线MN ，且MN 恰好经过点A ，与CD 交于点E ，连接BE ，则下列说法错误的是（ ）
A ．60ABC ∠=︒
B ．2ABE ADE S S ∆=V
C ．若AB=4，则7BE =
D ．21sin 14
CBE ∠= 【答案】C
【解析】
【分析】 由作法得AE 垂直平分CD ，则∠AED=90°，CE=DE ，于是可判断∠DAE=30°，∠D=60°，从而得到∠ABC=60°；利用AB=2DE 得到S △ABE =2S △ADE ；作EH ⊥BC 于H ，如图，若AB=4，则可计算出CH=12
CE=1，337 ；利用正弦的定义得sin ∠CBE=
21EH BE =． 【详解】
解：由作法得AE 垂直平分CD ，
∴∠AED=90°，CE=DE ，
∵四边形ABCD 为菱形，
∴AD=2DE ，
∴∠DAE=30°，∠D=60°，
∴∠ABC=60°，所以A 选项的说法正确；
∵AB=2DE ，
∴S △ABE =2S △ADE ，所以B 选项的说法正确；
作EH ⊥BC 于H ，如图，若AB=4，
在Rt△ECH中，∵∠ECH=60°，
CH=1
2
CE=1，EH=3CH=3，
在Rt△BEH中，BE=22
(3)527
+=，所以C选项的说法错误；
sin∠CBE=
321
14
27
EH
BE
==，所以D选项的说法正确．
故选C．
【点睛】
本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了菱形的性质和解直角三角形．
2．如图，4个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，己知菱形的一个内角为60°，A、B、C都是格点，则tan ABC
∠=（）
A 3
B
3
C
3
D
3
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用菱形的对角线平分每组对角，结合锐角三角函数关系得出EF,的长，进而利用EC
tan ABC
BE
∠=得出答案．
【详解】
解:连接DC ，交AB 于点E ．
由题意可得:∠AFC=30°, DC ⊥AF,
设EC=x,则EF=x =3x tan 30︒, ∴BF AF 2EF 23x ===
EC 3
tan ABC BE 923x 3x 33====+∠,
故选:A
【点睛】
此题主要考查了菱形的性质以及解直角三角形，正确得出EF 的长是解题关键．
3．在半径为1的O e 中，弦AB 、AC 的长度分别是3，2，则BAC ∠为（ ）度． A ．75 B ．15或30 C ．75或15 D ．15或45
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意画出草图，因为C 点位置待定，所以分情况讨论求解．
【详解】
利用垂径定理可知：AD=32
AE =， ．
sin ∠AOD=3
2，∴∠AOD=60°；
sin ∠AOE=2
2，∴∠AOE=45°；
∴∠BAC=75°．
当两弦共弧的时候就是15°．
故选：C ．
【点睛】
此题考查垂径定理，特殊三角函数的值，解题关键在于画出图形.
4．如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，若矩形纸片的宽AB=4，则折痕BM的长为( )
A．83
3
B．
43
3
C．8 D．83
【答案】A 【解析】【分析】
根据折叠性质可得BE=1
2
AB，A′B=AB=4，∠BA′M=∠A=90°，∠ABM=∠MBA′，可得∠
EA′B=30°，根据直角三角形两锐角互余可得∠EBA′=60°，进而可得∠ABM=30°，在Rt△ABM 中，利用∠ABM的余弦求出BM的长即可.
【详解】
∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，AB=4，
∴BE=1
2
AB=2，∠BEF=90°，
∵把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点A’处，并使折痕经过点B，∴A′B=AB=4，∠BA′M=∠A=90°，∠ABM=∠MBA′，
∴∠EA′B=30°，
∴∠EBA′=60°，
∴∠ABM=30°，
∴在Rt△ABM中，AB=BM⋅cos∠ABM，即4=BM⋅cos30°，
解得：BM=83
3
，
故选A.
【点睛】
本题考查了折叠的性质及三角函数的定义，折叠前后，对应边相等，对应角相等；在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边比斜边；余弦是角的邻边比斜边；正切是角的对边比邻边；余切是角的邻边比对边；熟练掌握相关知识是解题关键.
5．如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D
重合，EF 为折痕，则sin ∠BED 的值是（ ）
A 5
B ．35
C ．22
D ．23
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据翻折变换的性质得到DEF AEF ∆≅∆，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到BED CDF ∠=，设1CD =，CF x =，则2CA CB ==，再根据勾股定理即可求解．
【详解】
解：∵△DEF 是△AEF 翻折而成，
∴△DEF ≌△AEF ，∠A ＝∠EDF ，
∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴∠EDF ＝45°，由三角形外角性质得∠CDF +45°＝∠BED +45°，
∴∠BED ＝∠CDF ，
设CD ＝1，CF ＝x ，则CA ＝CB ＝2，
∴DF ＝FA ＝2﹣x ，
∴在Rt △CDF 中，由勾股定理得，
CF 2+CD 2＝DF 2，
即x 2+1＝（2﹣x ）2， 解得：34
x =， 3sin sin 5CF BED CDF DF ∴∠=∠=
=． 故选：B ．
【点睛】
本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质，涉及面较广，但难易适中．
6．如图，为了测量某建筑物MN 的高度，在平地上A 处测得建筑物顶端M 的仰角为30°，向N 点方向前进16m 到达B 处，在B 处测得建筑物顶端M 的仰角为45°，则建筑物MN 的高度等于( )
A ．8(31)+m
B ．8(31)-m
C ．16(31)+m
D ．16(31)-m 【答案】A
【解析】
设MN=xm ，
在Rt △BMN 中,∵∠MBN=45∘，
∴BN=MN=x ，
在Rt △AMN 中,tan ∠MAN=
MN AN ， ∴tan30∘=16x x
+ =3√3， 解得：x=8(3 +1)，
则建筑物MN 的高度等于8(3 +1)m ；
故选A.
点睛：本题是解直角三角形的应用，考查了仰角和俯角的问题，要明确哪个角是仰角，哪个角是俯角，知道仰角是向上看的视线与水平线的夹角，俯角是向下看的视线与水平线的夹角，并与三角函数相结合求边的长.
7．如图，已知圆O 的内接六边形ABCDEF 的边心距2OM =，则该圆的内接正三角形ACE 的面积为（ ）
A ．2
B ．4
C ．63
D ．43【答案】D
【解析】
【分析】 连接,OC OB ，过O 作ON CE ⊥于N ，证出COB ∆是等边三角形，根据锐角三角函数的定义求解即可．
【详解】
解：如图所示，连接,OC OB ，过O 作ON CE ⊥于N ，
∵多边形ABCDEF 是正六边形，
∴60COB ∠=o ，
∵OC OB =，
∴COB ∆是等边三角形，
∴60OCM ∠=o ，
∴sin OM OC OCM =•∠， ∴43()sin 603OM OC cm ︒==． ∵30OCN ∠=o ， ∴123,223
ON OC CN ===， ∴24CE CN ==， ∴该圆的内接正三角形ACE 的面积12334432=⨯
⨯⨯=， 故选：D ．
【点睛】
本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OC 是解决问题的关键．
8．如图，ABC ∆是一张顶角是120︒的三角形纸片，,6AB AC BC ==现将ABC ∆折叠，使点B 与点A 重合，折痕DE ，则DE 的长为（ ）
A ．1
B ．2
C 2
D 3【答案】A
【解析】
【分析】 作AH ⊥BC 于H ，根据等腰三角形的性质求出BH ，根据翻折变换的性质求出BD ，根据正切
的定义解答即可．
【详解】
解：作AH ⊥BC 于H ，
∵AB=AC ，AH ⊥BC ，
BH=12BC=3， ∵∠BAC=120°，AB=AC ，
∴∠B=30°，
∴AB=30BH cos ︒
=23， 由翻折变换的性质可知，DB=DA=3，
∴DE=BD •tan30°=1，
故选：A ．
【点睛】
此题考查翻折变换的性质、勾股定理的应用，解题关键在于掌握翻折变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
9．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若∠B=60°，则
c a a b c b
+++的值为（ ）
A ．12
B 2
C ．1
D 2
【答案】C
【解析】
【分析】
先过点A 作AD ⊥BC 于D ，构造直角三角形，结合∠B=60°，利用3sin60︒=
cos60°=12,可求13,,22
DB c AD c ==把这两个表达式代入到另一个Rt △ADC 的勾股定理表达式中，化简可得即a 2+c 2=b 2+ac ，再把此式代入通分后所求的分式中，可求其值等于1．
【详解】
解：过A 点作AD ⊥BC 于D ，在Rt △BDA 中，由于∠B=60°， ∴13,,22DB c AD c == 在Rt △ADC 中，DC 2=AC 2﹣AD 2， ∴2221324a c b c ⎛⎫-=- ⎪⎝
⎭， 即a 2+c 2=b 2+ac ，
∴()()
2222222 1.c a c cb a ab a c ab bc b ac ab bc a b c b a b c b ac ab bc b ac ab bc b ++++++++++====++++++++++ 故选C ．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值、勾股定理的内容．在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．注意作辅助线构造直角三角形是解题的好方法．
10．cos60tan45+o o 的值等于( )
A ．32
B ．22
C ．3
D ．1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】
解：原式13122=
+=． 故选A ．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．
11．如图，一架飞机在点A 处测得水平地面上一个标志物P 的俯角为α，水平飞行m 千米后到达点B 处，又测得标志物P 的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为( )
A ．cot cot m αβ-千米
B ．cot cot m βα-千米
C ．tan tan m αβ
-千米 D ．tan tan m βα-千米 【答案】A
【解析】
【分析】
根据锐角三角函数的概念进行作答.
【详解】
在P 点做一条直线垂直于直线AB 且交于点O ，由锐角三角函数知，AO=PO cot α，BO=PO cot β，又AB=m=AO-BO= PO cot α- PO cot β=
cot cot m αβ
-. 所以答案选A. 【点睛】
本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数是本题解题关键.
12．将一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长上，AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB ＝90°，∠E ＝30°，∠A ＝45°，AC ＝122，则CD 的长为（ ）
A ．3
B ．12﹣3
C ．12﹣3
D ．3【答案】B
【解析】
【分析】 过点B 作BM ⊥FD 于点M ，根据题意可求出BC 的长度，然后在△EFD 中可求出∠EDF ＝60°，进而可得出答案．
【详解】
解：过点B 作BM ⊥FD 于点M ，
在△ACB 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝45°，AC ＝2，
∴BC ＝AC ＝2．
∵AB ∥CF ，
∴BM ＝BC ×sin45°＝2122122= CM ＝BM ＝12，
在△EFD 中，∠F ＝90°，∠E ＝30°，
∴∠EDF ＝60°，
∴MD ＝BM ÷tan60°＝43
∴CD ＝CM ﹣MD ＝12﹣43．
故选B ．
【点睛】
本题考查了解直角三角形，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立直角三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．
13．如图，已知△A 1B 1C 1的顶点C 1与平面直角坐标系的原点O 重合，顶点A 1、B 1分别位于x 轴与y 轴上，且C 1A 1＝1，∠C 1A 1B 1＝60°，将△A 1B 1C 1沿着x 轴做翻转运动，依次可得到△A 2B 2C 2，△A 3B 3C 3等等，则C 2019的坐标为（ ）
A ．（30）
B ．（3，0）
C ．（4035233
D ．（30） 【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可知三角形在x 轴上的位置每三次为一个循环，又因为20193673÷=，那么2019C 相当于第一个循环体的3673C 个即可算出.
【详解】
由题意知，111C A =，11160C A B ︒∠=，
则11130C B A ︒∠=，11222A B A B ==，1122333C B C B C B ===
结合图形可知，三角形在x 轴上的位置每三次为一个循环，
Q 20193673÷=， ∴2019673(123)20196733OC =+=+，
∴2019C (20196733,0)+，
故选B .
【点睛】
考查解直角三角形，平面直角坐标系中点的特征，结合找规律.理解题目中每三次是一个循
环是解题关键.
14．已知圆锥的底面半径为5cm ，侧面积为60πcm 2，设圆锥的母线与高的夹角为θ，则sinθ的值为（ ）
A ．313
B ．513
C ．512
D ．1213 【答案】C
【解析】
【分析】
先求出圆锥底面周长可得到圆锥侧面展开图扇形的弧长，再利用扇形面积公式12S lr =可求出母线的长，最后利用三角函数即可求出答案.
【详解】
解：∵圆锥底面周长为2510ππ⨯=，
且圆锥的侧面积为60π，
∴圆锥的母线长为
2601210ππ⨯=， ∴sin θ=
512. 故选C.
【点睛】
本题考查了圆锥和三角函数的相关知识.利用所学知识求出圆锥母线的长是解题的关键.
15．如图，在平面直角坐标系中，AOB ∆的顶点B 在第一象限，点A 在y 轴的正半轴上，2AO AB ==，120OAB ∠=o ，将AOB ∠绕点O 逆时针旋转90o ，点B 的对应点'B 的坐标是（ ）
A ．3(23)2--
B ．33(2222---
C ．3(3,22
--
D ．(3,3)- 【答案】D 【解析】 【分析】 过点'B 作x 轴的垂线，垂足为M ，通过条件求出'B M ，MO 的长即可得到'B 的坐标.
【详解】
解：过点'B 作x 轴的垂线，垂足为M ，
∵2AO AB ==，120OAB ∠=︒，
∴'''2A O A B ==，''120OA B ∠=︒，
∴'0'6M B A ∠=︒，
在直角△''A B M 中，3==2=B'M B'M 'sin B A M B '''A ∠ ， 1==2
2=A'M A'M 'cos B A M B '''A ∠， ∴'3B M =，'1A M =，
∴OM=2+1=3，
∴'B 的坐标为(3,3)-.
故选：D.
【点睛】
本题考查坐标与图形变化-旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
16．如图，将一个小球从斜坡的点O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y ＝4x －12x 2刻画，斜坡可以用一次函数y ＝12
x 刻画，下列结论错误的是( )
A ．斜坡的坡度为1: 2
B ．小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势
C ．小球落地点距O 点水平距离为7米
D ．当小球抛出高度达到7.5m 时，小球距O 点水平距离为3m
【答案】D
【解析】
【分析】
求出抛物线与直线的交点，判断A 、C ；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断B ；求出当7.5y =时，x 的值，判定D ．
【详解】 解：214212
y x x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 解得，1100x y =⎧⎨=⎩，2
2772
x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， 72
∶7=1∶2，∴A 正确； 小球落地点距O 点水平距离为7米，C 正确；
2142
y x x =- 21(4)82
x =--+， 则抛物线的对称轴为4x =，
∴当4x >时，y 随x 的增大而减小，即小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势，B 正确，
当7.5y =时，217.542
x x =-， 整理得28150x x -+=，
解得，13x =，25x =，
∴当小球抛出高度达到7.5m 时，小球水平距O 点水平距离为3m 或5m ，D 错误，符合题意；
故选：D
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的-坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的关键．
17．如图，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则cos A =（ ）
A．1
2
B．
2
2
C．
3
D．
5
【答案】B
【解析】
【分析】
构造全等三角形，证明△ABD是等腰直角三角形，进行作答.【详解】
过A作AE⊥BE，连接BD，过D作DF⊥BF于F.
∵AE=BF，∠AEB=∠DFB，BE=DF，
∴△AEB≌△BFD，
∴AB=DB.∠ABD=90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴cos∠DAB=
2 2
.
答案选B.
【点睛】
本题考查了不规则图形求余弦函数的方法，熟练掌握不规则图形求余弦函数的方法是本题解题关键.
18．如图，基灯塔AB建在陡峭的山坡上，该山坡的坡度i＝1：0.75．小明为了测得灯塔的高度，他首先测得BC＝20m，然后在C处水平向前走了34m到达一建筑物底部E处，他在该建筑物顶端F处测得灯塔顶端A的仰角为43°．若该建筑物EF＝20m，则灯塔AB的高度约为（精确到0.1m，参考数据：sin43°＝0.68，cos43°＝0.73，tan43°＝0.93）（）
A ．46.7m
B ．46.8m
C ．53.5m
D ．67.8m
【答案】B
【解析】
【分析】 根据山坡的坡度i ＝1：0.75，可得BD CD ＝43
，设BD ＝4x ，CD ＝3x ，然后利用勾股定理求得BD ＝4x ＝16m ，CD ＝3x ＝12m ；再利用矩形的性质求出FG ＝DE ＝46m ，BG ＝DG ﹣DB ＝4m ，最后利用三角函数解直角三角形即可．
【详解】
解：如图，∵∠ADC ＝90°，i ＝1：0.75，即BD CD ＝43
， ∴设BD ＝4x ，CD ＝3x ，则BC ＝22(4)(3)x x ＝5x ＝20m ，
解得：x ＝4，
∴BD ＝4x ＝16m ，CD ＝3x ＝12m ，
易得四边形DEFG 是矩形，
则EF ＝DG ＝20m ，FG ＝DE ＝DC+CE ＝12+34＝46（m ），
∴BG ＝DG ﹣DB ＝4m ，
在Rt △AFG 中，AG ＝FG·
tan ∠AFG ＝46·tan43°≈46×0.93＝42.78（m ）， ∴AB ＝AG+BG ＝42.78+4≈46.8（m ），
故选：B ．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用—仰角和俯角问题、坡度坡比问题，灵活运用三角函数是解答本题的关键.．
19．如图，点E 是矩形ABCD 的边AD 的中点，且BE ⊥AC 于点F ，则下列结论中错误的是（ ）
A．AF＝1
2 CF
B．∠DCF＝∠DFC
C．图中与△AEF相似的三角形共有5个
D．tan∠CAD
【答案】D
【解析】
【分析】
由AE=1
2
AD=
1
2
BC，又AD∥BC，所以
1
2
AE AF
BC FC
==，故A正确，不符合题意；
过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=1
2
BC，得到
CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故B正确，不符合题意；
根据相似三角形的判定即可求解，故C正确，不符合题意；
由△BAE∽△ADC，得到CD与AD的大小关系，根据正切函数可求tan∠CAD的值，故D错误，符合题意．
【详解】
解：A、∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴AE
BC
＝
AF
FC
，
∵AE＝1
2
AD＝
1
2
BC，
∴AF
FC
＝
1
2
，故A正确，不符合题意；
B、过D作DM∥BE交AC于N，∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM＝DE＝1
2 BC，
∴BM＝CM，
∴CN＝NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DF＝DC，
∴∠DCF＝∠DFC，故B正确，不符合题意；
C、图中与△AEF相似的三角形有△ACD，△BAF，△CBF，△CAB，△ABE共有5个，故C正确，不符合题意．
D、设AD＝a，AB＝b由△BAE∽△ADC，有b
a
＝
2
a
．
∵tan∠CAD＝CD
AD
＝
b
a
＝
2
2
，故D错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
20．如图，△ABC的外接圆是⊙O，半径AO=5，sinB=2
5
，则线段AC的长为（）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
首先连接CO并延长交⊙O于点D，连接AD，由CD是⊙O的直径，可得∠CAD=90°，又由
⊙O的半径是5，sinB=2
5
，即可求得答案．
【详解】
解：连接CO并延长交⊙O于点D，连接AD，
由CD是⊙O的直径，可得∠CAD=90°，
∵∠B和∠D所对的弧都为弧AC，
∴∠B=∠D，即sinB=sinD=2
5
，
∵半径AO=5，
∴CD=10，
∴
2 sin
105
AC AC
D
CD
===，
∴AC=4，
故选：C.
【点睛】
本题考查了同弧所对的圆周角相等，以及三角函数的内容，注意到直径所对的圆周角是直角是解题的关键.。