甘肃省临夏中学2014届高三上学期期中考试数学(理)试题

甘肃省临夏中学2013～2014学年第一学期 期中考试试卷
年级：高三 科目：数学（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选出的选项写在答题纸相应位置．．．．．．．． 1．设集合{}{}>1,|(2)0A x x B x x x ==-<，则B A 等于（ ）
A ．{|2}x x >
B ．{} 02x x <<
C ．{} 12x x <<
D ．{|01}x x <<
2．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A ．e x y =
B ．sin 2y x =
C ．12
log y x = D ．3
y x =-
3．设⎩⎨⎧<>=)
0(,3)
0(log )(3x x x x f x ，则)]3([-f f 等于（ ）
A ．3
B ．3-
C ．3
1
D ．1-
4．命题“存在Z x ∈,使022≤++m x x ”的否定是（ ） A ．存在Z x ∈,使022>++m x x B ．不存在Z x ∈,使022>++m x x C ．对于任意Z x ∈,都有022≤++m x x D ．对于任意Z x ∈,都有022>++m x x
5．已知函数()cos f x x b x =+，其中b 为常数．那么“0b =”是“()f x 为奇函数”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．定义行列式运算
1234
a a a a =3241a a a a -．
将函数sin 2()cos 2x f x x
=
π
6
个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是（ ） A ．π(,)012 B ．π(,)04 C ．π(,)03 D ．π(,)02
7．定义在R 上的函数()f x 在（－∞，2）上是增函数，且(2)f x +的图象关于错误！未找到引用源。

轴对称，则（ ）
A ．(1)(3)f f -<
B ．(0)(3)f f >
C ．(1)(3)f f -=
D ．(0)(3)f f =
8．为了得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需把函数sin(2)6
y x π
=+的图象（ ）
A ．向左平移π4个长度单位
B ．向右平移π4
个长度单位
C ．向左平移π2个长度单位
D ．向右平移π2个长度单位
9．已知,()()()a b f x x a x b >=--函数的图象如右图， 则函数()log ()a g x x b =+的图象可能为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．已知函数()=ln f x x ，则函数()=()'()g x f x f x -的零点所在的区间是（ ） A ．（0,1） B ．（1,2） C ．（2,3） D ．（3,4）
11．若函数21
()ax f x x
-=在()0,+∞上单调递增，那么实数a 的取值范围是（ ）
y
x
1
O
A ．0a ≥
B ．0a >
C ．0a ≤
D ．0a <
12．若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在[1,2]-上的最大值为4，最小值为m ，且函数
()(14g x m =-在[0,)+∞上是增函数，则a ＝（ ）
A ．14
B ．13
C ．12
D ．32
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题纸中对应题号后的横线上，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 13．已知α为第二象限角，3
sin 5
α=
，则sin 2α= ． 14．由直线x ＝－π3，x ＝π
3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为 ．
15．函数)32sin(3)(π
-=x x f 的图象为C ，则如下结论中正确的序号
是 ． ① 图象C 关于直线π12
11
=x 对称； ② 图象C 关于点)0,3
2(
π
对称； ③ 函数()f x 在区间)12
5,12(π
π-内是增函数；
④ 由3sin 2y x =的图象向右平移
3
π
个单位长度可以得到图象C ． 16．对任意的实数R x ∈，不等式01||2≥++x a x 恒成立，则实数a 的取值范围是 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分10分）记函数2()lg(2)f x x x =--的定义域为集合A ，函数
()g x =B ． （1）求A
B ；
（2）若{}
22440,0C x x x p p =++-<>，且()C A
B ⊆，求实数p 的取值范围．
18．（本小题满分12分）在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半
轴为极轴建立极坐标系．已知点M
的极坐标为)
4
π
，曲线C
的参数方程为
1,
,
x
y
α
α
⎧=+
⎪
⎨
=
⎪⎩
（α为参数）．
（1）求直线OM的直角坐标方程；
（2）求点M到曲线C上的点的距离的最小值．
19.（本小题满分12
分）已知函数2
()cos cos
f x x x x a
=++．
（1）求()
f x的最小正周期及单调递减区间；
（2）若()
f x在区间[,]
63
ππ
-上的最大值与最小值的和为
3
2
，求a的值．
20．（本小题满分12
分）已知函数(),
12
f x x x R
π
⎛⎫
=-∈
⎪
⎝⎭
．
（1）求()
3
f
π
的值；
（2）若
33
cos,(,2)
52
π
θθπ
=∈，求()
6
f
π
θ-．
21．（本小题满分12分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式,
)6
(
10
3
2
-
+
-
=x
x
a
y
其中a
x,6
3<
<为常数．己知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（1）求a的值；
（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得利润最大．
22.（本小题满分12分）已知函数1
ln )(++=
x x
b a x f 在点))1(,1(f 处的切线方程为2=+y x ．
（1）求a ，b 的值；
（2）对函数)(x f 定义域内的任一个实数x ，x
m
x f <)(恒成立，求实数m 的取值范围．
甘肃省临夏中学2013～2014学年第一学期期中考试试题答案
数学（理科）
一、选择题．
【12题解析】当1a >时，有214,a a m -==，此时1
2,2
a m ==
，此时()g x =为减函数，不合题意．若01a <<，则124,a a m -==，故11
,416
a m ==，检验知符合题意．
二．填空题． 13．24
25-
14．3 15．①②③ 16．2-≥a
【16题解析】当0=x 时，R a ∈；当0=/x 时，原不等式变形可得)|
|1
|(|x x a +
-≥，因为2||1
||≥+
x x (当且仅当1||=x 时，等号成立)，所以2)||1|(|-≤+-x x ，即)|
|1|(|x x +-的最大值是2-，所以2-≥a ．
三．解答题．
17．(1){|3123}=-≤<-<≤A B x x x 或
(2)01<≤p
18．（1）由点M 的极坐标为π42,
4⎛⎫
⎪⎝
⎭
，得点M 的直角坐标为(4，4)，所以直线OM 的直角坐标方程为x y =．
（2）由曲线C 的参数方程12cos ,
2sin x y αα
⎧=+⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，化成普通方程为：
2)1(22=+-y x ，圆心为A (1，0)，半径为2=r ．由于点M 在曲线C 外，故点M 到曲线
C 上的点的距离最小值为25||-=-r MA ．
19．(1)最小正周期T=π，f (x )的单调递减区间是2[,]63
++k k ππ
ππ
(2)a =0.
21．（1）因为5x =时，11y =．所以1011,2
a
+= 2.a =
（2）由（1）可知，该商品每日的销售量22
10(6)3
y x x =+--，所以商场每日销售该商
品所获得利润22
()(3)[10(6)]210(3)3
f x x x x x =-+-=+--2(6)(36),x x -<<从而
'2()10[(6)2(3)(6)]30(4)(6)f x x x x x x =-+--=--于是，当x 变化时，'()f x ，()f x 的
变化情况如右表，由表知，4x =是函数()f x 在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点. 所以当4x =时，函教()f x 取得最大值，且最大值为42.
22．（1）由2
(1)(ln )
ln ()()1(1)
b
x a b x a b x x f x f x x x +-++=⇒'=++ 而点))1(,1(f 在直线2=+y x 上1)1(=⇒f ，又直线2=+y x 的斜率为1(1)1f -⇒'=-
故有⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧-==⇒-=-=12
14
212b a a b a
（2）由（1）得)0(1ln 2)(>+-=x x x x f 由x m x f <)(及m x x
x x x <+-⇒>1
ln 20
令2
2/)1(ln 1)1()ln 2()1)(ln 1()(1ln 2)(+--=
+--+-=⇒+-=
x x
x x x x x x x x g x x x x x g 令1
()1ln ()10(0)h x x x h x x x
=--⇒'=--
<>，故)(x h 在区间),0(+∞上是减函数，故当10<<x 时，0)1()(=>h x h ，当1>x 时，0)1()(=<h x h ，从而当10<<x 时，()0g x '>，
当1>x 时，0)(/
<x g )(x g ⇒在)1,0(是增函数，在),1(+∞是减函数，故1)1()(max ==g x g 要使m x x
x x <+-1
ln 2成立，只需1>m ，故m 的取值范围是),1(+∞。