2024届辽宁省沈阳市和平区中考二模数学试题含解析

2024届辽宁省沈阳市和平区中考二模数学试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．如图所示是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，求出这支蜡烛在暗盒中所成像CD 的长（ ）
A ．16cm
B ．1
3cm C ．12cm D ．1cm
2．平面直角坐标系内一点()2, 3P -关于原点对称点的坐标是（ ）
A ．()3,2-
B ．()2,3
C ．()2,3--
D ．()2,3-
3．一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O 出发，如图所示，轮船从港口O 沿北偏西20°的方向行60海里到达点M 处，同一时刻渔船已航行到与港口O 相距80海里的点N 处，若M 、N 两点相距100海里，则∠NOF 的度数为（ ）
A ．50°
B ．60°
C ．70°
D ．80°
4．下列运算结果正确的是（ ）
A ．3a ﹣a=2
B ．（a ﹣b ）2=a 2﹣b 2
C ．a （a+b ）=a 2+b
D ．6ab 2÷2ab=3b
5．若关于x 的一元二次方程x 2－2x －k ＝0没有实数根，则k 的取值范围是（ ）
A ．k ＞－1
B ．k≥－1
C ．k ＜－1
D ．k≤－1
62(3)3b b -=-，则（ ）
A ．3b >
B ．3b <
C ．3b ≥
D ．3b ≤
7．如图，等边△ABC 内接于⊙O ，已知⊙O 的半径为2，则图中的阴影部分面积为（ ）
A ．8233π-
B ．433π-
C ．8333
π- D ．9344π- 8．抚顺市中小学机器人科技大赛中，有7名学生参加决赛，他们决赛的成绩各不相同，其中一名参赛选手想知道自己能否进入前4名，他除了知道自己成绩外还要知道这7名学生成绩的（ ）
A ．中位数
B ．众数
C ．平均数
D ．方差
9．3-的相反数是（ ）
A ．33
B ．-33
C ．3
D ．3-
10．一次函数y kx b =+满足0kb <，且y 随x 的增大而减小，则此函数的图像一定不经过( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11．已知关于x 的方程x 2﹣2x+n=1没有实数根，那么|2﹣n|﹣|1﹣n|的化简结果是_____．
12．一个圆锥的三视图如图，则此圆锥的表面积为______．
13．为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3000元．若每个篮球80元，每个足球50元，则篮球最多可购买_____个．
14．如图，一根5m 长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A （羊只能在草地上活动），那么小羊A 在草地上的最大活动区域面积是_____平方米．
15．分解因式：x 2y ﹣y ＝_____．
16．若将抛物线y=﹣4（x+2）2﹣3图象向左平移5个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线的顶点坐标是_____．
17．分解因式：ax 2－a =______．
三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝1．在BC 上求作一点P ，使PA+PB ＝BC ；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)求BP 的长．
19．（5分）解不等式组:3(2)42115
2x x x x ≥-+⎧⎪-+⎨<⎪⎩并把解集在数轴上表示出来. 20．（8分）已知，如图，直线MN 交⊙O 于A ，B 两点，AC 是直径，AD 平分∠CAM 交⊙O 于D ，过D 作DE ⊥MN 于E ．
求证：DE 是⊙O 的切线；若DE=6cm ，AE=3cm ，求⊙O 的半径．
21．（10分）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：
今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？
译文为：
现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？
请解答上述问题．
22．（10分）已知抛物线2
3y ax bx =++的开口向上顶点为P
（1）若P 点坐标为（4，一1），求抛物线的解析式；
（2）若此抛物线经过（4，一1），当－1≤x≤2时，求y 的取值范围（用含a 的代数式表示）
（3）若a ＝1，且当0≤x≤1时，抛物线上的点到x 轴距离的最大值为6，求b 的值
23．（12分）为了加强学生的安全意识，某校组织了学生参加安全知识竞赛．从中抽取了部分学生成绩（得分数取正整数，满分为100分）进行统计，绘制统计频数分布直方图（未完成）和扇形图如下，请解答下列问题：
（1）A组的频数a比B组的频数b小24，样本容量，a为：
（2）n为°，E组所占比例为%：
（3）补全频数分布直方图；
（4）若成绩在80分以上优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀学生有名．
24．（14分）已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF．
()1求证：BCE DCF
≅；
()2当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．
参考答案
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1、D
【解题分析】
过O作直线OE⊥AB，交CD于F，由CD//AB可得△OAB∽△OCD，根据相似三角形对应边的比等于对应高的比列方程求出CD的值即可.
【题目详解】
过O作直线OE⊥AB，交CD于F，
∵AB//CD，
∴OF⊥CD，OE=12，OF=2，
∴△OAB∽△OCD，
∵OE、OF分别是△OAB和△OCD的高，
∴OF CD
OE AB
=，即
2
126
CD
=，
解得：CD=1.
故选D.
【题目点拨】
本题考查相似三角形的应用，解题的关键在于理解小孔成像原理给我们带来的已知条件，熟记相似三角形对应边的比等于对应高的比是解题关键.
2、D
【解题分析】
根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．
【题目详解】
解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，
∴点A（-2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，-3）, 故选D．
【题目点拨】
本题主要考查点关于原点对称的特征，解决本题的关键是要熟练掌握点关于原点对称的特征.
3、C
【解题分析】
解：∵OM=60海里，ON=80海里，MN=100海里，
∴OM2+ON2=MN2，
∴∠MON=90°，
∵∠EOM=20°，
∴∠NOF=180°﹣20°﹣90°=70°．
故选C．
【题目点拨】
本题考查直角三角形的判定，掌握方位角的定义及勾股定理逆定理是本题的解题关键．
4、D
【解题分析】
各项计算得到结果，即可作出判断．
【题目详解】
解：A 、原式=2a ，不符合题意；
B 、原式=a 2-2ab+b 2，不符合题意；
C 、原式=a 2+ab ，不符合题意;
D 、原式=3b ，符合题意；
故选D
【题目点拨】
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5、C
【解题分析】 试题分析：由题意可得根的判别式
，即可得到关于k 的不等式，解出即可. 由题意得，解得 故选C.
考点：一元二次方程的根的判别式 点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 6、D
【解题分析】
等式左边为非负数，说明右边3b 0-≥，由此可得b 的取值范围．
【题目详解】 解：2(3b)3b -=-，
3b 0∴-≥，解得b 3.≤
故选D ．
【题目点拨】
()a 0a 0≥≥()2a a a 0=≥．
7、A
【解题分析】解：连接OB、OC，连接AO并延长交BC于H，则AH⊥BC．
∵△ABC是等边三角形，∴BH 3
3OH=1，∴△OBC的面积=
1
2
×BC×OH3则△OBA的面积=△OAC
的面积=△OBC的面积3BOC=120°，∴图中的阴影部分面积
=
2
2402
23
360
π⨯
-
8
23
3
π-A．
点睛：本题考查的是三角形的外接圆与外心、扇形面积的计算，掌握等边三角形的性质、扇形面积公式是解题的关键．8、A
【解题分析】
7人成绩的中位数是第4名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前4名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【题目详解】
由于总共有7个人，且他们的分数互不相同，第4的成绩是中位数，要判断是否进入前4名，故应知道中位数的多少，故选A．
【题目点拨】
本题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义，熟练掌握相关的定义是解题的关键. 9、C
【解题分析】
根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可.
【题目详解】
3
-3
所以33
故选C．
【题目点拨】
本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键.
10、C
【解题分析】
y随x的增大而减小，可得一次函数y=kx+b单调递减，k＜0，又满足kb<0，可得b>0，由此即可得出答案．【题目详解】
∵y随x的增大而减小，∴一次函数y=kx+b单调递减，
∴k＜0，
∵kb<0，
∴b>0，
∴直线经过第二、一、四象限，不经过第三象限，
故选C．
【题目点拨】
本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数y=kx+b(k≠0，k、b是常数)的图象和性质是解题的关键.
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11、﹣1
【解题分析】
根据根与系数的关系得出b2-4ac=（-2）2-4×1×（n-1）=-4n+8＜0，求出n＞2，再去绝对值符号，即可得出答案．【题目详解】
解：∵关于x的方程x2−2x+n=1没有实数根，
∴b2-4ac=（-2）2-4×1×（n-1）=-4n+8＜0，
∴n＞2，
∴|2−n |-│1-n│=n-2-n+1=-1.
故答案为-1.
【题目点拨】
本题考查了根的判别式，解题的关键是根据根与系数的关系求出n的取值范围再去绝对值求解即可.
12、55cm2
【解题分析】
由正视图和左视图判断出圆锥的半径和母线长，然后根据圆锥的表面积公式求解即可.
【题目详解】
由三视图可知，半径为5cm,圆锥母线长为6cm,
∴表面积=π×5×6+π×52=55πcm2，
故答案为: 55πcm 2.
【题目点拨】
本题考查了圆锥的计算,由该三视图中的数据确定圆锥的底面直径和母线长是解本题的关键，本题体现了数形结合的数学思想.如果圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，那么圆锥的表面积=πrl +πr 2.
13、1
【解题分析】
设购买篮球x 个，则购买足球()50x -个，根据总价=单价⨯购买数量结合购买资金不超过3000元，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之取其中的最大整数即可．
【题目详解】
设购买篮球x 个，则购买足球()50x -个，
根据题意得：()80x 5050x 3000+-≤， 解得：50x 3
≤． x 为整数，
x ∴最大值为1． 故答案为1．
【题目点拨】
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
14、
【解题分析】
试题分析：根据题意可知小羊的最大活动区域为：半径为5，圆心角度数为90°的扇形和半径为1，圆心角为60°的扇形，则902560177S 36036012
πππ⨯⨯⨯⨯=+=． 点睛：本题主要考查的就是扇形的面积计算公式，属于简单题型．本题要特别注意的就是在拐角的位置时所构成的扇形的圆心角度数和半径，能够画出图形是解决这个问题的关键．在求扇形的面积时，我们一定要将圆心角代入进行计算，如果题目中出现的是圆周角，则我们需要求出圆心角的度数，然后再进行计算．
15、y （x +1）（x ﹣1）
【解题分析】
观察原式x 2y ﹣y ，找到公因式y 后，提出公因式后发现x 2-1符合平方差公式，利用平方差公式继续分解可得.
【题目详解】
解：x 2y ﹣y
＝y （x 2﹣1）
＝y （x +1）（x ﹣1）．
故答案为：y （x +1）（x ﹣1）．
【题目点拨】
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
16、（﹣7，0）
【解题分析】
直接利用平移规律“左加右减，上加下减”得出平移后的解析式进而得出答案．
【题目详解】
∵将抛物线y=-4（x+2）2-3图象向左平移5个单位，再向上平移3个单位，
∴平移后的解析式为：y=-4（x+7）2，
故得到的抛物线的顶点坐标是：（-7，0）．
故答案为（-7，0）．
【题目点拨】
此题主要考查了二次函数与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．
17、(1)(1)a x x +-
【解题分析】
先提公因式，再套用平方差公式.
【题目详解】
ax 2－a =a （x 2-1）=()()
11a x x +- 故答案为：()()11a x x +-
【题目点拨】
掌握因式分解的一般方法：提公因式法，公式法.
三、解答题（共7小题，满分69分）
18、 (1)见解析；(2)2.
【解题分析】
（1）作AC 的垂直平分线与BC 相交于P ；（2）根据勾股定理求解.
【题目详解】
(1)如图所示，点P即为所求．
(2)设BP＝x，则CP＝1﹣x，
由(1)中作图知AP＝CP＝1﹣x，
在Rt△ABP中，由AB2+BP2＝AP2可得42+x2＝(1﹣x)2，
解得：x＝2，
所以BP＝2．
【题目点拨】
考核知识点：勾股定理和线段垂直平分线.
19、不等式组的解集为﹣7＜x≤1，将解集表示在数轴上表示见解析.
【解题分析】
试题分析：先解不等式组中的每一个不等式，再根据大大取较大，小小取较小，大小小大取中间，大大小小无解，把它们的解集用一条不等式表示出来．
试题解析：由①得：﹣2x≥﹣2，即x≤1，
由②得：4x﹣2＜5x+5，即x＞﹣7，
所以﹣7＜x≤1．
在数轴上表示为：
.
考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
点睛：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个.在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示.
20、解：（1）证明见解析；
（2）⊙O的半径是7.5cm．
【解题分析】
（1）连接OD，根据平行线的判断方法与性质可得∠ODE=∠DEM=90°，且D在⊙O上，故DE是⊙O的切线．（2）由直角三角形的特殊性质，可得AD的长，又有△ACD∽△ADE．根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求得圆的半径．
【题目详解】
（1）证明：连接OD．
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA．
∵∠OAD=∠DAE，
∴∠ODA=∠DAE．
∴DO∥MN．
∵DE⊥MN，
∴∠ODE=∠DEM=90°．
即OD⊥DE．
∵D在⊙O上，OD为⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：∵∠AED=90°，DE=6，AE=3，
∴2235
AD DE AE
=+=
连接CD．
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=∠AED=90°．
∵∠CAD=∠DAE，
∴△ACD∽△ADE．
∴AD AC AE AD
=．35
35
=
则AC=15（cm ）．
∴⊙O 的半径是7.5cm ．
考点：切线的判定；平行线的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
21、共有7人，这个物品的价格是53元．
【解题分析】
根据题意，找出等量关系，列出一元一次方程.
【题目详解】
解：设共有x 人，这个物品的价格是y 元，
83,74,x y x y -=⎧⎨+=⎩解得7,53,x y =⎧⎨=⎩
答：共有7人，这个物品的价格是53元.
【题目点拨】
本题考查了二元一次方程的应用.
22、（1）21234
y x x =-+；（2）1－4a≤y≤4＋5a ；（3）b ＝2或－10. 【解题分析】
（1）将P （4，-1）代入，可求出解析式
（2）将（4，-1）代入求得：b=-4a-1，再代入对称轴直线2b x a =-
中，可判断22b x a =->，且开口向上，所以y 随x 的增大而减小，再把x=-1，x=2代入即可求得．
（3）观察图象可得，当0≤x≤1时，抛物线上的点到x 轴距离的最大值为6，这些点可能为x=0，x=1，2b x =-三种情况，再根据对称轴2b x =-
在不同位置进行讨论即可． 【题目详解】
解：（1）由此抛物线顶点为P （4，-1），
所以y ＝a （x-4）2-1＝ax 2－8ax ＋16a －1，即16a －1＝3，解得a=
14， b=-8a=-2 所以抛物线解析式为：21234
y x x =-+； （2）由此抛物线经过点C （4，－1），
所以 一1＝16a ＋4b ＋3，即b ＝－4a －1．
因为抛物线2(41)3=-++y ax a x 的开口向上，则有0a > 其对称轴为直线412+=
a x a ，而4112222a +==+>a x a
所以当－1≤x≤2时，y 随着x 的增大而减小
当x ＝－1时，y=a+(4a+1)+3=4+5a
当x ＝2时，y=4a-2(4a+1)+3=1-4a
所以当－1≤x≤2时，1－4a≤y≤4＋5a ；
（3）当a ＝1时，抛物线的解析式为y ＝x 2＋bx ＋3 ∴抛物线的对称轴为直线2
b x =- 由抛物线图象可知，仅当x ＝0，x ＝1或x ＝－
2b 时，抛物线上的点可能离x 轴最远 分别代入可得，当x ＝0时，y=3
当x=1时，y ＝b ＋4
当x=-2b 时,y=-2
4
b +3 ①当一2
b ＜0，即b ＞0时，3≤y≤b+4， 由b ＋4＝6解得b ＝2 ②当0≤-
2b ≤1时，即一2≤b≤0时，△＝b 2－12＜0，抛物线与x 轴无公共点 由b ＋4＝6解得b ＝2(舍去)； ③当b 12
-> ，即b ＜－2时，b ＋4≤y≤3， 由b ＋4＝－6解得b ＝－10
综上，b ＝2或－10
【题目点拨】
本题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，以及最值问题，关键是对称轴在不同的范围内，抛物线上的点到x 轴距离的最大值的点不同．
23、（1）200；16（2）126；12%（3）见解析（4）940
【解题分析】
分析：（1）由于A 组的频数比B 组小24，而A 组的频率比B 组小12%，则可计算出调查的总人数，然后计算a 和b 的值；（2）用360度乘以D 组的频率可得到n 的值，根据百分比之和为1可得E 组百分比；（3）计算出C 和E 组的频数后补全频数分布直方图；(4）利用样本估计总体，用2000乘以D 组和E 组的频率和即可．
本题解析：
（1）调查的总人数为()24208%200÷-=，
∴2008%16a =⨯=，
20020%40b =⨯=，
（2）D 部分所对的圆心角70360126200
=︒⨯=︒，即126n =， E 组所占比例为：7018%20%25%100%12%200⎛
⎫-+++⨯= ⎪⎝
⎭， （3）C 组的频数为20025%50⨯=，E 组的频数为2001640507024----=，
补全频数分布直方图为：
（4）70242000940200
+⨯=， ∴估计成绩优秀的学生有940人．
点睛：本题考查了频数（率）分布直方图：提高读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，要认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查了用样本估计总体.
24、见解析
【解题分析】
（1）由菱形的性质得出∠B ＝∠D ，AB ＝BC ＝DC ＝AD ，由已知和三角形中位线定理证出AE ＝BE ＝DF ＝AF ，OF ＝12DC ，OE ＝12
BC ，OE ∥BC ，由(SAS )证明△BCE ≌△DCF 即可； （2）由（1）得：AE ＝OE ＝OF ＝AF ，证出四边形AEOF 是菱形，再证出∠AEO ＝90°，四边形AEOF 是正方形．
【题目详解】
(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，
∴∠B ＝∠D ，AB ＝BC ＝DC ＝AD ，
∵点E ，O ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，
∴AE ＝BE ＝DF ＝AF ,OF ＝12DC ,OE ＝12
BC ,OE ∥BC ，
在△BCE和△DCF中,
BE DF
B D B
C DC
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△BCE≌△DCF(SAS)；
(2)当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形，理由如下：
由(1)得：AE＝OE＝OF＝AF，
∴四边形AEOF是菱形，
∵AB⊥BC,OE∥BC，
∴OE⊥AB，
∴∠AEO＝90°，
∴四边形AEOF是正方形.
【题目点拨】
本题考查了全等三角形、菱形、正方形的性质，解题的关键是熟练的掌握菱形、正方形、全等三角形的性质.。