有理数及其运算(二)解读

有理数及其运算（二）
【课标要求】
1．经历探索有理数法则和运算率的过程，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方的运算及简单的混合运算（以三步为主）。

2. 理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算。

3. 能运用有理数的运算解决简单的实际问题。

【重难点知识归纳及讲解】
本章的重点是有理数的运算。

加法与乘法都是在介绍运算法则——着重是符号法则的基础上，进行基本运算，然后结合具体例子引入运算律，并运用运算律简化运算。

减法与除法，则是着重介绍如何由加法与乘法转化，从而利用加法与乘法的运算法则、运算律进行运算。

乘方是几个相同因数的乘积，也就可以利用乘法运算。

（1）有理数加法的法则：
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．而互为相反数的两个数相加得零；
③任何数同零相加，仍得这个数．
（2）有理数加法的运算顺序：
第一步，确定和的符号；第二步，求和的绝对值．
其中最关键的一步是搞清符号问题，符号一经确定，问题就比较简单了．
（3）有理数加法的运算律：
①加法交换律，即a＋b＝b＋a；②加法结合律，即a＋b＋c＝a＋(b＋c).
巧妙地运用加法的运算律，可以简化有理数的加法运算．
（4）有理数减法法则：
减去一个数等于加上这个数的相反数。

即a-b=a+(-b)。

对大家而言，做题时一定要注意两变：一是减号变为加号；二是减数变为其相反数。

（5）利用减法比较大小：
a，b是两个有理数，若a－b＞0，则a＞b；若a－b＜0，则a＜b．即大的－小的＞0，小的－大的＜0．
（6）加减混合运算的两个关键点是：
在交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换．尽量使用运算率简便计算。

（7）在有理数加减运算中，正确理解运算符号．运算符号与性质符号既有区别，又有联系，有时可以相互转化
（8）有理数的乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数同零相乘，都得零。

（9）多个有理数乘积的确定：
几个不等于零的有理数相乘，积的符号由负因数的个数确定：当负因数的个数为奇数时，积为负；当负因数的个数为偶数时，积为正。

符号确定后，再分别把绝对值相乘。

只要有一个因数为0，则积为0。

（10）乘法的运算律：
①乘法交换律，即ab=ba ；②乘法结合律，即(ab)c=a(bc)；
③乘法分配律，即a(b+c)=ab+ac 。

在做乘法时，要灵活运用上述运算律，以达到简化运算的目的。

乘法和加法的运算律，都可以推广到多个数的情况。

（11）倒数的概念：
乘积为1的两个有理数互为倒数。

由于任何一个有理数与0的积为0，不可能是1，所以0没有倒数。

（12）除法的运算法则：
法则一：除以一个数等于乘上这个数的倒数，即：a ÷b=a • (b ≠0)
法则一表明了有理数的除法和乘法可以互相转化，由于0没有倒数，所以除数不能为0. 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.
0除以任何一个不等于0的数，得0.
（13）关于运算律
因为除法可以转化成乘法，所以乘法的运算律有的在除法中适用，但是乘法的交换律和结合律在除法中是不适用的，如6÷5≠5÷6，（6÷2）÷3≠6÷（2÷3）
（14）乘方的有关概念．
求n 个相同因数a 的积的运算叫乘方，乘方的结果叫幂．a 叫底数，n 叫指数，a n 读作：a 的n 次幂(a 的n 次方)．
乘方的意义：a n 表示n 个a 相乘．
如：(－3)3＝(－3)×(－3)×(－3)，表示3个(－3)相乘．
(15)写法的注意：
当底数是负数或分数时，底数一定要打括号，不然意义就全变了．
如：(31)2＝31×31，表示两个31相乘．而312＝31
1 ，表示2个1相乘的积除以3． (－2)2＝(－2)×(－2)，表示两个(－2)相乘．－22＝－(2×2)，表示2个2的乘积的相反数．
（16）乘方运算的符号规律．
正数的任何次幂都是正数．负数的奇次幂是负数．负数的偶次幂是正数．0的奇数次幂，偶次幂都是0．所以，任何数的偶次幂都是正数或0．
（17）有理数的混合运算
有理数的运算中，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方（及开方——乘方的逆运算，以后将讲到）为三级运算。

对于有理数的混合运算，要特别注意运算顺序及正确使用符号法则确定各步运算结果的符号。

有理数的运算顺序是：先算乘方，再算乘除，最后算加减，对于同级运算，一般从左到右依次进行。

如果有括号，就先算括号内的，且一般先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的。

如果能利用运算律简化计算，可变更上面的运算顺序，灵活处理。

（18）为了加强与相关运算的联系，利用计算器计算分散安排在相关内容中。

例如，教科书用计算器计算一些负数的乘方，进而探求负数的乘方的符号规律。

学会了使用计算器进行有理数运算，较复杂的计算就可以用计算器完成。

简单的有理数运算仍需要学生熟练地用笔算完成。

【数学史料】
数学符号的起源
数学除了记数以外，还需要一套数学符号来表示数和数、数和形的相互关系。

数学符号的发明和使用比数字晚，但是数量多得多。

现在常用的有200多个，初中数学书里就不下20多种。

它们都有一段有趣的经历。

例如加号曾经有好几种，现在通用"+"号。

"+"号是由拉丁文"et"（"和"的意思）演变而来的。

十六世纪，意大利科学家塔塔里亚用意大利文"più"（加的意思）的第一个字母表示加，草为"μ"最后都变成了"+"号。

"-"号是从拉丁文"minus"（"减"的意思）演变来的，简写m，再省略掉字母，就成了"-"了。

也有人说，卖酒的商人用"-"表示酒桶里的酒卖了多少。

以后，当把新酒灌入大桶的时候，就在"-"上加一竖，意思是把原线条勾销，这样就成了个"+"号。

到了十五世纪，德国数学家魏德美正式确定："+"用作加号，"-"用作减号。

乘号曾经用过十几种，现在通用两种。

一个是"×"，最早是英国数学家奥屈特1631年提出的；一个是"• "，最早是英国数学家赫锐奥特首创的。

德国数学家莱布尼茨认为："×"号象拉丁字母"X"，加以反对，而赞成用"• "号。

他自己还提出用"п"表示相乘。

可是这个符号现在应用到集合论中去了。

到了十八世纪，美国数学家欧德莱确定，把"×"作为乘号。

他认为"×"是"+"斜起来写，是另一种表示增加的符号。

"÷"最初作为减号，在欧洲大陆长期流行。

直到1631年英国数学家奥屈特用"："表示除或比，另外有人用"-"（除线）表示除。

后来瑞士数学家拉哈在他所著的《代数学》里，才根据群众创造，正式将"÷"作为除号。

平方根号曾经用拉丁文"Radix"（根）的首尾两个字母合并起来表示，十七世纪初叶，法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中，第一次用"√"表示根号。

"r"是由拉丁字线"r"变，"--"是括线。

十六世纪法国数学家维叶特用"="表示两个量的差别。

可是英国牛津大学数学、修辞学教授列考尔德觉得：用两条平行而又相等的直线来表示两数相等是最合适不过的了，于是等于符号"="就从1540年开始使用起来。

1591年，法国数学家韦达在菱中大量使用这个符号，才逐渐为人们接受。

十七世纪德国莱布尼茨广泛使用了"="号，他还在几何学中用"∽"表示相似，用"≌"表示全等。

大于号"〉"和小于号"〈"，是1631年英国著名代数学家赫锐奥特创用。

至于≯""≮"、"≠"这三个符号的出现，是很晚很晚的事了。

大括号"{ }"和中括号"[ ]"是代数创始人之一魏治德创造的。

【智慧列车】
1.有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数，将这四个数（每个数用且只能用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24。

例如对1，2，3，4，可作如下运算：(1+2+3)×4＝24（上述运算与4×(1＋2＋3)视为相同方法的运算）
现有四个有理数3，4，－6，10，运用上述规则写出三种不同方法的运算式，可以使用括号，使其结果等于24。

运算式如下：（1），（2），（3）。

另有四个有理数3，－5，7，－13，可通过运算式（4）使其结果等于24。

2．小亮的爸爸在一家合资企业工作，月工资2500元，按规定：其中800元是免税的，其余部分要缴纳个人所得税，应纳税部分又要分为两部分，并按不同税率纳税，即不超过500元的部分按5%的税率；超过500元不超过2000元的部分则按10%的税率，你能算出小亮的爸爸每月要缴纳个人所得税多少元？
解：500×5%+（2500－800－500）×10%=145（元）
因此，小亮的爸爸每月要缴纳个人所得税145元．
【中考欣赏】
1.下表列出了国外几个城市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京的时间早的时数）。

现在的北京时间是上午8∶00
（1）求现在纽约时间是多少？
（2
解：（1）上午8：00往前推13小时时前一天晚上19点。

（2）8+（-7）=1巴黎现在是凌晨1点，所以不合适。

2.M国股民吉姆上星期六买进某公司股票1000股，每股27元，下表为本周内每日该股票
（1）星期三收盘时，每股是多少元？
（2）本周内最高价是每股多少元？最低价是每股多少元？
（3）已知吉姆买进股票时付了0.15%的手续费，卖出时需付成交额 0.15％的手续费和0.1％的交易税，如果吉姆在星期六收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？
解（1）27+4+4.5-1=34.5（元）
（2）
（3）28×1000-27×1000-（27×1000×0.15%+28×1000×0.25%）=889.5(元) 吉姆在星期六收盘前将全部股票卖出，他获利889.5元。