2021年高中数学《函数模型的应用举例》教案 新人教A版必修1

2021年高中数学《函数模型的应用举例》教案2 新人教A版必修1

导入新课

思路1.(事例导入)

一辆汽车在水平的公路上匀加速行驶，初速度为v0,加速度为a,那么经过t小时它的速度为多少？在这t小时中经过的位移是多少？试写出它们函数解析式，它们分别属于那种函数模型？v=v0+at,s=v0t+at2,它们分别属于一次函数模型和二次函数模型.

不仅在物理现象中用到函数模型，在其他现实生活中也经常用到函数模型，今天我们继续讨论函数模型的应用举例.

思路2.(直接导入)

前面我们学习了函数模型的应用，今天我们在巩固函数模型应用的基础上进一步讨论函数拟合问题.

推进新课

新知探究

提出问题

①我市某企业常年生产一种出口产品，根据需求预测：进入21世纪以来，前8年在正常情

该企业年产量发展变化的函数模型，并求之.

2°xx年(即x＝7)因受到某外国对我国该产品反倾销的影响，年产量应减少30%，试根据所建立的函数模型，确定xx年的年产量应该约为多少？

②什么是函数拟合？

③总结建立函数模型解决实际问题的基本过程.

讨论结果：①1°如图3-2-2-5，

设f(x)＝ax＋b,代入（1，4）、（3，7）,得解得a=，b=.

∴f(x)=x+.

检验：f(2)＝5.5，|5.58-5.5|=0.08<0.1；

f(4)＝8.5，|8.44-8.5|=0.06<0.1.

∴模型f(x)=x+能基本反映产量变化.

2°f(7)＝13，13×70%＝9.1，xx年年产量应约为9.1万件.

图3-2-2-5

②函数拟合：根据搜集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型并求出函数解析式，再进行拟合比较选出最恰当函数模型的过程.

③建立函数模型解决实际问题的基本过程为：

图3-2-2-6

应用示例

思路1

例1某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元.销售单价与日均销售量的关系如下表所示:

销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶480 440 400 360 320 280 240 请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润?

解：根据上表,销售单价每增加1元,日均销售量就减少40桶.设在进价基础上增加x元后,日均销售利润为y元,而在此情况下的日均销售量就为

480－40(x－1)=520－40x(桶).

由于x＞0,且520－40x＞0,即0＜x＜13,

于是可得

y=(520－40x)x－200=－40x2+520x－200,0＜x＜13.

易知,当x=6.5时,y有最大值.

所以,只需将销售单价定为11.5元,就可获得最大的利润.

变式训练

某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品．

（1）如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请你写出y与x之间的关系式；

（2）增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？

解：（1）设在原来基础上增加x台，则每台生产数量为384-4x件，机器台数为80+x，

由题意有y=(80+x)(384-4x).

（2）整理得y=-4x2+64x+30 720，

由y=-4x2+64x+30 720,得y=-4(x-8)2+30 976，

所以增加8台机器每天生产的总量最大，最大生产总量为30 976件.

点评：二次函数模型是现实生活中最常见数学模型.

例2某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表:

（1）根据上表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式.

(2)若体重超过相同身高男性体重的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？

活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：

根据表的数据画出散点图.观察发现，这些点的连线是一条向上弯曲的曲线.根据这些点的分布情况，可以考虑用y=a·b x这一函数模型来近似刻画这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系.

解：（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图（图3-2-2-7）.根据点的分布特征，可以考虑用y=a·b x作为刻画这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm关系的函数模型. 如果取其中的两组数据（70，7.90）,(160,47.25),代入y=a·b x,得

用计算器算得a≈2,b≈1.02.

这样，我们就得到一个函数模型：y=2×1.02x.

将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象（图3-2-2-8），可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.

(2)将x=175代入y=2×1.02x，得y=2×1.02175，

由计算器算得y≈63.98.

由于78÷63.98≈1.22>1.2,

所以这个男生偏胖

.

图3-2-2-7 图3-2-2-8

变式训练

九十年代，政府间气候变化专业委员会（IPCC）提供的一项报告指出：使全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使CO2浓度增加.据测，1990年、1991年、1992年大气中的CO2浓度分别比1989年增加了1个可比单位、3个可比单位、6个可比单位.若用一个函数模拟九十年代中每年CO2浓度增加的可比单位数y与年份增加数x的关系，模拟函数可选用二次函数或函数y=a·b x+c（其中a、b、c为常数），且又知1994年大气中的CO2浓度比1989年增加了16个可比单位，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？

解：(1)若以f(x)=px2+qx+r作模拟函数，

则依题意得

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

+

+

=

+

+

=

+

+

6,

r

3q

9p

3,

r

2q

4p

1,

r

q

p

解得

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

=

=

=

,0

,

2

1

,

2

1

r

q

p

所以f(x)=x2+x.

(2)若以g(x)=a·b x+c作模拟函数，则

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

+

=

+

=

+

6,

c

ab

3,

c

ab

1,

c

ab

3

2解得

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

-

=

=

=

3

,

2

3

,

3

8

c

b

a

所以g(x)=·()x-3.

(3)利用f(x)、g(x)对1994年CO2浓度作估算，则其数值分别为：

f(5)=15可比单位，g(5)=17.25可比单位，

∵|f(5)－16|<|g(5)－16|,

故选f(x)=x2+x作为模拟函数与1994年的实际数据较为接近.

思路2

例1某自来水厂的蓄水池有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t小时内供水总量为1206t吨,其中0≤t≤24.

(1)从供水开始到第几小时,蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少吨?

(2)若蓄水池中水量少于80吨时,就会出现供水紧张现象,请问:在一天的24小时内,有几小时出现供水紧张现象?

活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导.

思路分析：首先建立函数模型，利用函数模型解决实际问题.

解：设供水t小时，水池中存水y吨，则

(1)y=400+60t-120=60()2+40(1≤t≤24),