江苏省扬州中学07-08学年度第二学期高一数学期中考试

江苏省扬州中学2007—2008学年度第二学期期中考试
高一数学试卷 08、4
一、填空题（每题5分，共70分）
1．若点(,3)P a 在23x y +<表示的区域内，则实数a 的取值范围是___________．
2．在ABC ∆中，,,a b c 分别是,,A B C ∠∠∠所对的边，若A ∠：B ∠：C ∠=1：2：3则::a b c =_____________．
3．已知一个三角形的三边分
别为,a b ，则此三角形中最大角的值为___________．
4. 若不等式220x ax a -+>对一切实数x 都成立，则实数a 的范围为_________．
5．设数列{}n a 的通项公式为227n a n =-+，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则当n =___________时，n S 取得最大值。

6．不等式212
x x -+<1的解集为____________． 7．在ABC ∆中，,,a b c 分别是,,A B C ∠∠∠所对的边，已知4,6,120,a b C ==∠=则SinA
的值是_________．
8．已知变量x y 、满足约束条件102020x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩
，则目标函数z x y =+的最大值是
______________．
9．等差数列{}n a 中，12a =，公差不为零，且1311,,a a a 恰好为某等比数列的前三项，那么该等比数列的公比的值等于______________．
10.ABC ∆中，设a b c 、、分别是A B C ∠∠∠、、所对的边。

已知4,45a B =∠=︒，若解此三角形时有且只有唯一解，则b 的值应满足____________．
11.设数列111112123123n +++++++，，，...，，...的前n 项和为n S ，则n S =_______________．
12.已知数列{}n b 是首项为4-，公比为2的等比数列；又数列{}n a 满足1160,n n n a a a b +=-=，则数列{}n a 的通项公式n a =_______________．
13．在4⨯
60中，分别填入两自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上
14．在等差数列{}n a 中，若100a =，则有等式1212n a a a a a +++=++19n a -+ (19,)n n N *<∈成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{}n b 中，若91b =，则有等式_____________成立．
二、解答题（共90分）
15．ABC ∆中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a 、b 、c 成等差数列，SinA 、SinB 、SinC 成等比数列，试判断△ABC 的形状。

16．某村计划建造一个室内面积为72m 2的矩形蔬菜温室。

在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地。

当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是多少？
17．设数列{}n a 的前n 项和为22,{}n n S n b =为等比数列，且112211,()a b b a a b =-=． ⑴求数列{}n a 和{}n b 的通项公式． ⑵设n n n
a c
b =，求数列{}n
c 的前n 项和n T ． 18．已知二次函数()f x 的二次项系数为a ，且不等式()20f x x +>的解集为（1，3）． ⑴若方程()60f x a +=有两个相等实数根，求()f x 的解析式．
⑵若()f x 的最大值为正数，求a 的取值范围．
19．在ABC ∆中，设角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2A C B +=，并且
2sin sin cos A C B ⋅=，三角形的面积ABC S
∆=，求三边,,a b c ．
20．已知数列{}n a 是由正数组成的等差数列，n S 是其前n 项的和，并且3425,28a a S ==． ⑴求数列{}n a 的通项公式． ⑵求使不等式12111(1)(1)(1)n
a a a +++≥*n N ∈均成立的最大实数a ．
⑶对每一个*k N ∈，在k a 与1k a +之间插入12k -个2，得到新数列{}n b ，设n T 是数列{}n b 的前n 项和，试问是否存在正整数m ，使2008m T =？若存在求出m 的值；若不存在，请说明理由．
命题、校对：姜卫东 审核：沈红
高一数学期中试卷参考答案 08、4
一、填空题
1．0a < 2．1
2 3．120° 4．01a << 5．13
6．(2,3)- 7
．
198．5 9．4 10
．b =b ≥4 11．21n n + 12．1264n +-+ 13．6，4 14．*121217(17,)n n bb b bb b n n N -=<∈
二、解答题
15．∵,,a b c 成等差数列，∴2
a c
b +=
①又∵sin ,sin ,sin A B C 成等比数列， ∴2sin sin sin B A C =⋅，∴2b ac = ②将①代入②得：2()2
a c ac +=，∴2()0a c -=， ∴a c =代入①得
b
c =,从而a b c ==，∴△ABC 是正△ 16．设矩形温室的左侧边长为a m ，后侧边长为b m ，则72ab =，蔬菜的种植面积 (4)(2)428802(2)s a b ab b a a b =--=--+=-+
≤28032()m -= 当且仅当max 2,12,632a b a b ====即时，S
17．⑴当1n =时，112a S ==；当n ≥2时，22122(1)42n n n a S S n n n -=-=--=-，故{}n a 的通项公式为42n a n =-，设{}n b 的通项公式为q ，则12b =，14q =，∴111124n n n b b q --==⨯，即1
24n n b -= ⑵∵11
42(21)424n n n n n a n c n b ---===-， ∴12112[13454(21)4]n n n T c c c n -=+++=+⨯+⨯++-
2214[143454(23)4(21)4]n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+
+-+- 两式相减得：1231312(4444)(21)4n n n T n -=--+++
++-=1[(65)45]3n n -+ ∴1[(65)45]9
n n T n =-+ 18．⑴由()20f x x +>解集为（1，3），∴()2(1)(3)f x x a x x +=--，且0a <，因而2()(24)3f x ax a x a =-++由方程()60f x a +=得2(24)90ax a x a -++=，
因为方程②有两个相等的实根，∴01a ∆=⇒=或15-
，而0a <，∴15a =- ∴2163()555
f x x x =--- ⑵由2()2(12)3,f x ax a x a =-++得∴2max 41()a a f x a
++=-
∴20,2410a a a a a <⎧⎪⇒<-⎨++->⎪⎩
20a -<< 19．∵2A C B +=∴60B =︒，所以21sin sin cos 604
A C =︒= ①
又1sin 2
ABC S ac B ∆==，得16ac = ② 22sin sin sin 1sin ()()64A C A C ac a c ===，所以sin sin 18
A C a c ==
由sin 8sin 8sin 60sin a B b B A ===︒=2221cos 22
a c
b B a
c +-==， 222a c b +-=222,()3,()484896ac a c b ac a c +-=+=+=
,a c +=③
与②联立，得a c ==
，或a c ==
20．⑴设{}n a 的公差为d ，由题意0d >，且111
25(3)(2)28a d a d a d +=⎧⎨++=⎩，∴11,2a d == 数列{}n a 的通项公式为21n a n =-
⑵由题意a
12111)(1)(1)n
a a a +
++对*n N ∈均成立， 记12111())(1)(1)
n F n a a a
=+++， 则(1)2(1)1()2(1)
F n n F n n ++==>=+ ∵()0F n >，∴(1)()F n
F n +>，∴()F n 随n 增大而增大
∴()
F n 的最小值为
(1)3F =，∴a ≤3，即a 的最大值为3
⑶∵21n a n =-∴在数列{}n b 中，n a 及其前面所有项之和为
212[135(21)](222)22m m m m -+++
+-++++=+- ∵21021110221122200811222167+-=<<+-=， 又10a 在数列{}n b 中的项数为：810122521++++=且200811228864432-==⨯ 所以存在正整数521443964m =+=使得2008m T =。