成考高考专科数学课件5数列

2 有A6 =30种插入法
5
共有120 30＝3600种排法
几个元素不能相邻 时,先排一般元素， 再让特殊元素插孔.
2.捆绑法 相邻元素的排列，可以采用“局部到整体”的 排法，即将相邻的元素局部排列当成“一个”元素， 然后再进行整体排列.
例3 . 6人排成一排.甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法? 解：（1）分两步进行： 第一步，把甲乙排列(捆绑)： ♀♀♀♀♀♀ 甲乙 2
基础知识梳理
2．等差数列的通项公式 若等差数列{an}的首项为a1，公差是d，则其通 项公式为
an＝a1＋(n－1)d
.
基础知识梳理
3．等差中项 如果三个数a，A，b成 A叫做a和b的等差中项，且有A＝ 等差数列
a＋ b 2
，则 .
基础知识梳理
4．等差数列的前n项和公式
n(a1＋an) Sn＝ 2 n(n－1) ＝ na1＋ 2 d
n
n 2 n 2 3 4
2
3
1
n
n
概率与初步统计
考纲要求
一．排列、组合 1．了解分类计算原理和分步计数原理 2．了解（理解）排列、组合的意义，会应用（ 掌握）排列数、组合数的计算公式。 3．会解排列、组合的简单应用题。 4．了解二项式定理，会应用二项展开式的性质 和通项公式解决简单问题。（理科）
排列与组合的 概念有什么共 同点与不同点？
排列定义: 一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n) 个 元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素 中取出 m 个元素的一个排列. 组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个 元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一 个组合．
组合数: 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的 所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出 m m个元素的组合数，用符号 C n 表示.
注意： m 是一个数，应该把它与“组合”区别开来． Cn 如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所 有组合个数是: C 2 3
3
如:已知4个元素a 、b 、 c 、 d ,写出每次取列
考纲要求
1．了解数列及其通项、前n项和的概念。
2．理解等差数列、等差中项的概念，会（灵活）运用 等差数列的通项公式、前n项和公式解决有关问题。 3．理解等比数列、等比中项的概念，会（灵活）运用 等比数列的通项公式、前n项和公式解决有关问题。
基础知识梳理
1．等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前 同一个常数 ，那么 一项的差都等于 这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差 数列的 公差 ，通常用 d 表示，其符号语 an－an－1＝d 言为： (n≥2，d为常 数)．
等比数列的性质
an 中任意两项， 性质1：设an , am为等比数列
性质2：设数列an 为等比数列，且 m, n, s, t N ， 若m n s t , 则am an as at .
且公比为q，则an am q n m .
若m n 2 s, 则am an as .
1
解：
即
1 a 2、（2006年）已知等比数列{ }中，a 16 ，公比q 2 （1）求数列{ a }的通项公式； （2）数列{ a }的前n项和Sn=124，求n的值。
n
3
n
n
3、（2007年）已知数列{ a n }的前n项和Sn =n(2n+1) （1）求该数列的通项公式； （2）判断39是该数列的第几项.
排列数:
从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个 数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排 列数，记作 An m
注意： m 是一个数，应该把它与“排列”区别开来． An
1.排列数公式:
An
m
n(n 1)(n 2) (n m 1)
n! (n m)!
2.组合数公式: Cn
a2=a1q a3=a2q=a1q2 a4=a3q=a1q3 … an=a1qn-1
所以 an=a1qn-1
其中，a1与q均不为0。由于 当n=1时左边等式两边均为a1， 即等式也成立，说明上面公 式当n∈N*时都成立，因此 它 就是等比数列｛an｝的通项 公式。
等比数列前n项和推导过程
……① ……②
有A2＝2种捆法
第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队：
有A ＝120种排法
共有2 120＝240种排法
5 5
几个元素必须相邻时,先 捆绑成一个元素，再与 其它的进行排列.
二项展开式定理
一般地，对于n N*，有：
r n r r Cn a b n n Cn b
0 n 1 n 1 2 n2 2 ( a b )n C n a Cn a b Cn a b
等差数列的性质
已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n 项和． (1)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.
若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.
(2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是 等差数列，公差为kd.
等差数列的性质 (3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等 差数列． (4)S2n－1＝(2n－1)an. n (5)若 n 为偶数， 则 S 偶－S 奇＝ d. 2 若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)． (6)数列{c· an}，{c＋an}，{pan＋qbn}也是 等差数列，其中c、p、q均为常数，{bn}是等差 数列．
m n m n m m
n! 0 C 我们规定：Cn 1. m !(n m)!
m n
练习
按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？ 3 2 （1）甲、乙、丙三人必须当选； C3 C9 36 0 5 （2）甲、乙、丙三人不能当选； C3 C9 126 （3）甲必须当选，乙、丙不能当选；C11C94 126 （4）甲、乙、丙三人只有一人当选； C 1C 4 378 3 9 （5）甲、乙、丙三人至多2人当选； （6）甲、乙、丙三人至少1人当选；
3 5
3、（2006年）在等差数列{ a n}中， a3 1 ，a5 7 -15 ，则 a _______
7
4、（2004年）在等差数列{a n}中；若 a5 则 a10 _______ 24
a 39 9，
15
二、解答题。（2008年） 1、已知等差数列{ a n }中， a 9 ，a3 a8 0 （1）求数列{ a n }的通项公式； （2）当n为何值时，数列{ a n }的前n项和Sn取得最大值， 并求该最大值。（2008年）
①-②
等差数列的基本运算
1． 等差数列的通项公式 an＝a1＋(n n(a1＋an) －1)d 及前 n 项和公式 Sn＝ ＝ 2 n(n－1) na1＋ d，共涉及五个量 a1，an， 2 d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个， 体现了用方程的思想解决问题．
等差数列的基本运算 2．数列的通项公式和前n项和公式在解 题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列 的两个基本量，用它们表示已知和未知是常 用方法．
一、排列与组合 1 某学生从6门课程中选修3门，其中甲、乙两门 课程至少选修一门，则不同的选课方案共有 1 2 __________ C2C4 12 （2008年理科选择题第17题） 2、在一次共有20人参加的老同学聚会上，如果 每两人握手一次，那么这次聚会共握手 2 C20 190 （2007年选择题第16题）
1.插空法： 解决一些不相邻问题时，可以先排“一 般”元素然后插入“特殊”元素，使问题得以 解决. ♀ ♀ ♀ ♀ ♀♀ ♀ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
例2 . 7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？ 解：分两步进行： 第1步，把除甲乙外的一般人排列： 有A5 =120种排法 第2步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插孔)：
.
Sn 的推导过程
等比数列
定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项 的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列， 这个常数叫做公比，记为q(q≠0).
数学语言：
an q ( n 2且n N* ). an 1 an 1 或 q an
等比数列的通项公式
1.不完全归纳法
共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点: 排列与元素的顺序有关， 而组合则与元素的顺序无关.
概念理解
思考一:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?
思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?
１）元素相同； ２）元素排列顺序相同.
思考三:组合与排列有联系吗?
元素相同
构造排列分成两步完成，先取后排；而构造 组合就是其中一个步骤.
考纲要求
二．概率与统计 1．了解随机事件及其概率的意义。 2．了解等可能事件的概率的意义，会用计数方法和排列 组合基本公式计算一些等可能事件的概率。 3．了解互斥事件的意义，会应用互斥时间的概率加法公 式计算一些事件的概率。 4．了解相互独立事件的意义，会用相互独立事件的概率 乘法公式计算一些事件的概率。
1 4 (5)方法一：C32C93 C3 C9 C30C95 756
方法二：C C C 756 1 4 (6)方法一：C C C C C3C9 666 方法二：C C C 666
5 12 3 2 3 9 5 12 3 3 2 9 2 3 3 9 0 5 3 9
a1 2 4、已知等比数列{ a }的各项都是正数， ，前3项的和为14 （1）求数列{ a n }的通项公式； （2）设 b log a ，求数列{ a n }的前20项和 （2005年第22题） 5、（1）设{ a n }为等差数列，且公差d 为正数， a 1 ， a 4 成等比 已知 a a a 15 ，又 a ， 数列，求 a 和 d（2004年第23题） （2）数列{ a n }的通项公式为 a 2n 2 ， 求前n项和Sn（2004年第20题）
2
性质3：在等比数列中，序号成等差数列的项 依原序构成的新数列是等比数列。
一、填空： a2 6 ， 1、（2008年）等比数列{ a n }中， a4 24 ， 则 a _______ 96
6
2、（2007年）设等比数列{ a n}的各项都是正数，若 ，则公比 q _______ a 9 a 1 ， 3
考纲要求
5．会计算事件在n次独立重复试验中恰好发 生k次的概率。 6．了解离散型随机变量及其期望的含义，会 根据离散型随机变量的分布列求出期望值 。（理科） 7．了解总体和样本的概念，会计算样本平均 数和样本方差。
一．排列、组合
组合定义:
一般地，从n个不同元素中取出m （m≤n）个元素并成一组，叫做从n个 不同元素中取出m个元素的一个组合．
判断下列问题是组合问题还是排列问题? (1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有 多少个? 组合问题
组合是选择的结果，排列 是选择后再排序的结果. (2)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组 ,共有
多少种分法? 组合问题 (4)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序, 有多少种不同的方法? 排列问题
m
A n( n 1)(n 2) ( n m 1) nm m! Am
m
n! m!( n m)!
排列与组合的区别与联系:与顺序有关的 为排列问题,与顺序无关的为组合问题.
概念讲解
从 n 个不同元中取出m个元素的排列数
A C A
n n
m
m
m m
组合数公式:
A n(n 1)(n 2) (n m 1) C A m!
3、4个人排成一行，其中甲、乙总排在一起，则不 2 2 同的排法共有 A2 A3 12 种。 （2006年） 4、从4本不同的书中任意选出2本，不同的选法共 有 2 C4 6 种。 （2005年)
右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式 其中 Cnr an-rbr 叫做二项展开式的通项，记作Tr+1 Cnr 叫做 二项式系数.
二项展开式的特点: ①项数：共n＋1项
②指数：a按降幂排列，b按升幂排列，每一项中a、b的 指数和为n ③系数:第r＋1项的二项式系数为
C
r
n
(r＝0,1,2,…，n）