【精准解析】陕西省西安市长安区第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学(理)试卷

长安一中2020——2021学年第一学期高二年级
期中考试 理科数学试卷
一、选择题
1. 若直线l 的方向向量为(1,0,2)a =，平面α的法向量为(2,0,4)n =--，则（ ） A. //l α B. l α⊥ C. l α⊂ D. l 与α斜交
【答案】B 【解析】 【分析】
由l 的方向向量(1,0,2)a = ，平面α的法向量(2,0,4)n =-- 可得2n a =-，从而得解. 【详解】∵(1,0,2)a = ，(2,0,4)n =--， ∴2n a =- ，即//n a .∴l α⊥. 故选：B
【点睛】本题考查利用直线l 的方向向量与平面α的法向量关系判断线面位置关系.属于基础题.
2. 已知命题:p x R ∀∈，2230x x -+>；命题q ：若22a b <，则a b <，下列命题为假命题的是（ ） A. p q ∨
B. ()p q ∨⌝
C. p q ⌝∨
D.
()p q ⌝∨⌝
【答案】C 【解析】 【分析】
解不等式可判断命题p 的真假，根据不等式性质可判断q 的真假，再由复合命题的性质判断命题真假．
【详解】命题p ：x R ∀∈，2230x x -+>， 因为()2
120x -+>，所以命题p 为真命题
命题q ：若22a b <，则a b <，当1,4a b ==-时不等式不成立，所以命题q 为假命题 由复合命题真假判断可知
A ：p q ∨为真命题；
B ：()p q ∨⌝为真命题;
C ：p q ⌝∨为假命题；
D ：()p q ⌝∨⌝为真命题. 故选:C
3. 已知抛物线2
2y x =的焦点与椭圆22
12
y x m +=的一个焦点重合，则m =（ ）
A.
74
B.
127
64
C.
94
D.
129
64
【答案】A 【解析】 【分析】
抛物线2
2y x =的焦点为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭
，然后可算出答案.
【详解】抛物线2
2y x =的焦点为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以椭圆22
12
y x m +=的一个焦点为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以124m -=，即7
4
m = 故选：A
4. 已知正方体1111ABCD A B C D -，若112AB C B ⋅=-，则正方体的棱长等于（ ）
A 2 B.
C.
D. 4
【答案】C 【解析】 【分析】
设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为()0a a >，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，利用空间向量数量积的坐标运算以及等式112AB C B ⋅=-，可得出关于a 的等式，由此可得出该正方体的棱长.
【详解】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为()0a a >，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、
1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，
则()0,0,0A 、(),0,0B a 、()1,0,B a a 、()1,,C a a a ，
()1,0,AB a a =，()10,,C B a a =--，则2112AB C B a ⋅=-=-，可得2a =因此，正方体1111ABCD A B C D -2. 故选：C.
【点睛】本题考查利用空间向量数量积求解正方体的棱长，考查计算能力，属于基础题.
5. 设1a ≥，则双曲线22
214
x y a a -=+离心率的取值范围为（ ）
A. [)5,+∞
B. [)6,+∞
C. )
5,⎡+∞⎣ D. )
6,⎡+∞⎣
【答案】C 【解析】 【分析】
由双曲线方程可得222
2441c a a e a a a a
++===++，从而可得离心率的取值范围.
【详解】由双曲线方程可得222
244
1c a a e a a a a
++===++，又1a ≥
44
121415a a a a
∴++≥⋅=+=，当且仅当4a a =，即2a =时取等号，
所以双曲线的离心率的取值范围为)
5,⎡+∞⎣. 故选：C.
【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质，不等式的性质的应用，属于基础题.
6. 三棱锥A­BCD 中，AB ＝AC ＝AD ＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则AB CD ⋅等于( )
A. －2
B. 2
C. 23-
D. 23【答案】A 【解析】 试
题
分析：
()
····022cos602
CD AD AC AB CD AB AD AC AB AD AB AC =-∴=-=-=-⨯⨯=-
考点：平面向量数量积的运算
7. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，O 是11A C 的中点，则O 到平面11ABC D 的距离为（ ） A.
3
2
B.
24
C.
12
D.
33
【答案】B 【解析】 【分析】
O 是11A C 中点，111
2
OC AC =
，因此O 到平面11ABC D 的距离等于1A 到平面11ABC D 距离的一半，求出1A 到平面11ABC D 距离即可．
【详解】如图，连续1A D 与1AD 交于点M ，11ADD A 是正方形，则11A D AD ⊥，
1111ABCD A B C D -是正方体，AB ⊥平面11ADD A ，而1A D ⊂平面11ADD A ，∴1AB A D ⊥，
又1AD AB A ⋂=，∴1A D ⊥平面11ADD A ，又1112
2A M A D =
=
， ∴1A 到平面11ABC D 的距离为
2
， 又1112AC OC =，∴O 到平面11ABC D 的距离等于1A 到平面11ABC D 距离的一半即为24
． 故选：B ．
【点睛】方法点睛：本题考查求点到平面的距离，求P 到平面α的距离方法如下： （1）直接过P 作平面α的垂线，垂足为M ，求出PM 的长即可；
（2）（转化法）若Q α∈，O 是直线PQ 上的点，且PQ OQ λ=，求出O 到平面α的距离d ，则P 到α距离为d λ．
（3）体积法，利用三棱锥可以以任一面
底面，换底后求出体积，则可求得点面距．
（4）建立空间直角坐标系，若Q α∈，求出α的一个法向量，PQ 在n 方向上的投影的绝对值即为P 到平面α的距离．
8. 已知点F 为椭圆()2
221x y a a
+>的一个焦点，过点F 作圆221x y +=的两条切线，若这两
条切线互相垂直，则a =（ ） A. 2 2
3 D. 23【答案】C 【解析】 【分析】
根据切线垂直，推导出F 点至坐标原点的距离，即可求得焦点坐标和a 【详解】由题可设(),0F c ，根据题意，作图如下：
因为过F 点的两条切线垂直，
故可得45OFH ∠=︒，则1OH HF ==， 故可得2OF =F 坐标为
)
2,0.
则2,1c b =
=，
故2223a b c =+=，解得3a =故选:C.
9. 下列命题中为真命题的是（ ） A. 命题“若2020x >，则0x >”的逆命题 B. 命题“若0xy =，则0x =或0y =”的否命题 C. 命题“若220x x +-=，则1x =” D. 命题“若21x ≥，则1≥x ”的逆否命题 【答案】B 【解析】 【分析】
依次判断每个命题的真假即可.
【详解】A 项，命题“若2020x >，则0x >”的逆命题为“若0x >，则2020x >”，显然命题为假；
B 项，命题“若0xy =，则0x =或0y =”的逆命题为“若0x =或0y =，则0xy =”，显然命题为真，则原命题的否命题也为真；
C 项，解220x x +-=，得1x =或2x =-，所以命题“若220x x +-=，则1x =”为假；
D 项，211x x ≥⇒≤-或1≥x ，所以命题“若21x ≥，则1≥x ”是假命题，则其逆否命题也为假命题. 故选：B.
10. 设有下列四个命题：
1p ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． 2p ：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
3p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． 4p ：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m l ⊥．
则上述命题中所有真命题的个数是（ ）． A. 1 B. 2
C. 3
D. 4
【答案】B 【解析】 【分析】
利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假. 【详解】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α； 若3l 与1l 相交，则交点B
平面α内， 同理，3l 与2l 的交点A 也在平面α内，
所以，AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题；
对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个， 命题2p 为假命题；
对于命题3p ，空间中两条直线不相交，可能平行可能异面，命题3p 为假命题； 对于命题4p ，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线， 直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ，命题4p 为真命题. 故选:B
11. 已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于,A B 两点，12,AB P =为C 的准线上一点，则ABP ∆的面积为（ ） A. 18 B. 24
C. 36
D. 48
【答案】C 【解析】
解：设抛物线的解析式为y2=2px （p ＞0）， 则焦点为F （2p ，0），对称轴为x 轴，准线为x=-2
p
∵直线l 经过抛物线的焦点，A 、B 是l 与C 的交点， 又∵AB ⊥x 轴 ∴|AB|=2p=12 ∴p=6
又∵点P 在准线上 ∴DP=（
2p +|-2
p
|）=p=6 ∴S △ABP=12（DP•AB ）=1
2
×6×12=36 故选C ．
12. 在ABC 中，“sin cos B C <”是“ABC 为钝角三角形”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 【分析】
利用充分条件、必要条件的定义，结合特殊值法、正弦函数的单调性以及诱导公式判断可得出结论.
【详解】充分性：在
ABC 中，若sin cos B C <，则cos 0C >，可知C 为锐角，且
cos sin 2C C π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
.
若角B 为直角，则sin 1B =，则cos 1C >不成立，故角B 不可能为直角； 若角B 为锐角，则sin cos sin 2B C C π⎛⎫
<=-
⎪⎝⎭
，02C π<<，则022C ππ<-<，
由于正弦函数sin y x =在0,2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
上为增函数，可得2
B C π
<
-，即2
B C π
+<
，
即2
A π
π-<
，2
A π∴>
，此时，ABC 为钝角三角形；
若角B 为钝角，即
2
B π
π<<，可得02
B π
π<-<
，
02
C π
<<
，则02
2
C π
π
<
-<
，
由sin cos B C <可得()sin sin 2B C ππ⎛⎫-<-
⎪⎝⎭
， 由于正弦函数sin y x =在0,
2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
上为增函数，可得2
B C π
π-<
-，可得2
B C π
->
，
2
2
B C π
π
∴>+
>
，此时，ABC 为钝角三角形；
所以，充分性成立；
必要性：若ABC 为钝角三角形，且角C 为钝角，则角B 为锐角，那么sin 0cos B C >>， 必要性不成立.
综上所述，在ABC 中，“sin cos B C <”是“ABC 为钝角三角形”的充分不必要条件. 故选：B.
【点睛】方法点睛：判断充分条件和必要条件，一般有以下几种方法： （1）定义法； （2）集合法； （3）转化法.
13. 如图，过抛物线2
2(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，
若F 是AC 的中点，且4AF =，则线段AB 的长为（ ）
A. 5
B. 6
C.
163
D.
203
【答案】C 【解析】 【分析】
设,A B 在准线上的射影分别为,M N ，根据点F 是AC 的中点， 2AM HF =，取得2p =， 设BF BN m ==，根据相似求得4
3
BF =
，再结合焦点弦的性质，即可求解. 【详解】设,A B 在准线上的射影分别为,M N ，准线与x 轴交于H ，则HF p =， 由于点F 是AC 的中点，且4AF =，
根据抛物线的定义，可得224AM HF p ===，所以2p =，
设BF BN m ==，则BN BC FH CF =，即424
m m -=，解得4
3m =，
所以416
433
AB AF BF =+=+=， 即AB 的长为163
. 故选：C.
【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及其应用，其中解答中熟记抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力.
14. 已知1F ，2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则离心率的取值范围是（ ） A. ()0,1 B. 10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
C. 20,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
D. 2,1⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
【答案】C
【解析】 【分析】
由120MF MF ⋅=可知，M 在以原点为圆心，c 为半径的圆上，所以圆在椭圆内部，可得c b <. 【详解】因数120MF MF ⋅=
所以M 在以原点为圆心，c 为半径的圆上 所以圆在椭圆内部， 所以c b <
所以2222<=-c b a c
22
12<
c a 202
e <<
故选：C.
【点睛】本题主要考查了点与椭圆的位置关系，还考查转化化归的能力，属于中档题.
二、填空题
15. 设双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>
C 的渐近线方程为___________.
【答案】y = 【解析】 【分析】
根据离心率公式得到
b
a
=，再计算渐近线得到答案. 【详解】由双曲线的方程可得渐近线的方程为：b
y x a
=±，
由题意离心率c e a ===
b a =
y =，
故答案为：y =.
【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程，属于简单题.
16. 一个椭圆中心在原点，焦点12F F ，在x
轴上，(P 是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为____． 【答案】22
186
x y +
【解析】 【分析】
设椭圆方程为22
22x y a b
+=1，（a ＞b ＞0），由已知结合椭圆性质及等差数列性质列出方程求出
a ，
b ，由此能求出椭圆方程．
【详解】∵个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，
∴设椭圆方程为22
22x y a b
+=1，（a ＞b ＞0），
∵P （2
|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，
∴2243
124a b a c
⎧+=⎪⎨⎪=⎩，且a 2=b 2+c 2， 解得
，
，
∴椭圆方程为22
186x y +=．
故答案为22
186
x y +=．
【点睛】本题考是椭圆方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．
17. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则点1A 与面对角线1BC 所在直线间的距离是______． 【答案】6a 【解析】 【分析】
连接11,BC B C 交于点O ，连接1A O ，根据正方体的性质，易得1BC ⊥平面11A B O ，进而得到
1BC ⊥1A O ，则1A O 的长度即为所求.
【详解】如图所示：
连接11,BC B C 交于点O ，连接1A O ， 因为111111111,,BC B C BC A B B C A B B ⊥⊥⋂=， 所以1BC ⊥平面11A B O ， 所以1BC ⊥1A O ， 所以1A O 的长度即为所求.
因为1112
,A B a B O a ==
， 所以2211116AO A B B O a =+= 故答案为：
6
a 18. 已知抛物线()2
20y px p =>在第一象限内的部分上一点()3,A b 到抛物线焦点F 的距离为4，若P 为抛物线准线上任意一点，则PAF △的周长最小值为______． 【答案】434+ 【解析】 【分析】
利用抛物线的定义由342
p
+
=求得抛物线方程24y x =，进而得到准线方程1x =-，焦点坐标()1,0F ，()
3,23A ，然后作出点A 关于准线的对称点()
5,23A '-求解. 【详解】因为抛物线()2
20y px p =>上的点()3,A b 到抛物线焦点F 的距离为4，
由抛物线的定义得；342
p
+
=，解得2p =， 所以抛物线方程为2
4y x =，准线方程为1x =-，焦点坐标为()1,0F ，()
3,23A ，
如图所示：
点A 关于准线的对称点(5,23A '-，则AP +PF 的最小值为
()
()
2
2
5123
43A F '=
--+=
所以PAF △
的周长最小值为4
故答案为：4
三、解答题
19. 已知m ∈R ，命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立；命题q ：存在
[]1,1x ∈-，使得m ax ≤成立．
（1）若p 为真命题，求m 的取值范围；
（2）当1a =时，p 且q 为假命题，p 或q 为真命题，求m 的取值范围． 【答案】（1）[]1,2；（2）()(],11,2-∞.
【解析】 【分析】
（1）考查不等式恒成立，构造函数()[]()
220,1f x x x =-∈，求其最小值()2
min 3f x m m
≥-即可；
（2）p 且q 为假命题，p 或q 为真命题，则p ，q 中一个是真命题，一个是假命题，分p 真q 假、p 假q 真两类讨论即可.
【详解】（1）对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立，令()[]()
220,1f x x x =-∈，则()2
min 3f x m m ≥-，
当[]0,1x ∈时，()()min 02f x f ==-，即232m m -≤-，解得12m ≤≤． 因此，当p 为真命题时，m 的取值范围是[]1,2．
（2）当1a =时，若q 为真命题，则存在[]1,1x ∈-，使得m x ≤成立，所以1m ． 因此，当命题q 为真时，1m ．因为p 且q 为假命题，p 或q 为真命题， 所以p ，q 中一个是真命题，一个是假命题． 当p 真q 假时，由12
1m m ≤≤⎧⎨
>⎩
得12m <≤；
当p 假q 真时，由12
1m m m ⎧⎨
≤⎩
或得1m <．
综上所述，m 的取值范围为()
(],11,2-∞．
【点睛】本题借助命题的“外衣”，考查了不等式恒成立问题，和存在性问题，是一道很典型的题目.
20. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1224AB BC AA ===，E 为11A D 的中点，M 为线段11C D 上一点，且满足1111
4
MC D C =
，F 为MC 的中点．
（1）求证：//EF 平面1A DC ；
（2）求直线1A D 与直线CF 所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（210
【解析】 【分析】
（1）以D 为原点建立空间直角坐标系，求出EF 和平面1A DC 的一个法向量为n ，满足
0EF n ⋅=即可；
（2）利用111cos ,DA CF DA CF DA CF
⋅=
⋅可求出.
【详解】（1）证明：在长方体1111ABCD A B C D -中，建立如图所示空间直角坐标系，
由1224AB BC AA ===，E 为11A D 的中点，M 为线段11C D 上一点，且满足1111
4
MC D C =， 得()0,0,0D ，()1,0,2E ，70,,12F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，()12,0,2A ，()0,4,0C ，
∴()12,0,2DA =，()0,4,0DC =，71,,12EF ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
．
设平面1A DC 的一个法向量为(),,n x y z =．
由1220
40n DA x z n DC y ⎧⋅=+=⎨⋅==⎩
，取1z =-，得()1,0,1n =-，
∵0EF n ⋅=，且EF ⊄平面1A DC ，∴//EF 平面1A DC ．
（2）解：由（1）知，()12,0,2DA =，又
10,,12CF ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
， ∴
11110cos ,55222
DA CF DA CF DA CF
⋅=
=
=
⋅⨯
．
∴直线1A D 与直线CF 10． 【点睛】本题考查线面平行
证明和异面直线所成角的求解，建立空间直角坐标系，利用向
量的方法求解是解决本题的有效办法.
21. 已知椭圆()222210y x a b a b +=>>的离心率2
2
e =，且过点(0,2．
（1）求椭圆方程；
（2）已知1F 、2F 为椭圆的上、下两个焦点，AB 是过焦点1F 的一条动弦，求2ABF 面积的
最大值．
【答案】（1）2
2
12
y x +=；
（2
. 【解析】 【分析】
（1）根据离心率的值，可列出a c ，的关系式，再根据经过()0,-2点，可得出a 的值和c 的值，最后再结合222a b c =+，可算出b 的值，直接写出椭圆方程即可.
（2）根据题意设出直线的方程和椭圆方程联立方程组，由根和系数的关系，再结合三角形面积公式，可把三角形面积表示成含有参数的关系式，最后根据不等式，可求得面积的最大值. 【详解】（1
）由题意，a =
2
c e a =
=
得1c =，所以1b =，所以椭圆方程是2
2
12
y x +=．
（2）由于直线AB 经过上焦点()0,1，设直线AB 方程为1y kx =+，
联立方程组22112y kx y x =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩
将1y kx =+代入椭圆方程22
12
y x +=，得()
22
2210k x kx ++-=，
则222A B k x x k +=-+，2
1
2
A B x x k ⋅=-+， ∴
A B
x x -=
=
2121
2
ABF A B S F F x x =
⋅-△，可知122F F
=
则
2
21
1
122ABF S k ===≤+
△．
=
，即0k =时，2
ABF S
．
【点睛】椭圆与直线相交时，三角形面积问题的关键点为：设直线方程、联立方程组、韦达
定理、列出三角形面积的关系式，最后根据函数或不等式，可求出三角形面积的范围. 22. 如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，AB CD ∥，4AB =，
2BC CD ==，顶点1D 在底面ABCD 内的射影恰为点C.
（1）求证：BC ⊥平面ACD 1；
（2）若直线DD 1与底面ABCD 所成的角为4
π
，求平面11ABC D 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析（221 【解析】 【分析】
（1）连接1D C ，则1 D C ⊥平面ABCD ，推导出1BC D C ⊥，连接AC ，过点C 作CG ⊥AB 于点G ，推导出BC ⊥AC ，由此能证明BC ⊥平面ACD 1;
（2）以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CD 1，所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面11ABC D 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值． 【详解】解：（1）证明：如图，连接1D C ，则1 D C ⊥平面ABCD ，
BC ABCD ⊂平面，1BC D C ∴⊥
在等腰梯形ABCD 中，连接AC ，过点C 作CG AB ⊥于点G ，
4,2,AB BC CD AB CD ===∥，
则223,1,213AG BG CG ===-=22223(3)23AC AG CG ∴=+=+=因此满足2
2
2
16,AC BC AB BC AC +==∴⊥ 又1D C ，AC ⊂面1AD C ，1D C
AC C =
BC ∴⊥平面1AD C
（2）由（1
）知1,,AC BC D C 两两垂直，
1D C ⊥平面11,,24
ABCD D DC D C CD π
∴∠=
∴==
以C 为坐标原点，分别以1,,CA CB CD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，
则(0,0,0)C ，(23,0,0)A ，(0,2,0)B ，1(0,0,2)D ，
(23,2,0)AB ∴=-，1(23,0,2)AD =-
设平面11ABC D 的法向量(,,)n x y z =，
由100AB n AD n ⎧⋅=⎪
⎨⋅=⎪⎩，得23202320
x y x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩， 可得平面11ABC D 的一个法向量(1,3,3)n =， 又1(0,0,2)CD =为平面ABCD 的一个法向量， 设平面11ABC D 与平面ABCD 所成锐二面角为θ， 则112321
cos 727
CD n CD n
θ⋅=
=
=，
因此平面11ABC D 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值为
21
7
．
【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
23. 已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A B ，两点，交C 的准线于P Q ，两点．
（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明//AR FQ ；
（Ⅱ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）2
1y x =-．
【解析】
【分析】 设22111,0,,,,,,,,222222a b a b A B b P a Q b R ⎛⎫⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⇒l 的方程为2(x a -+ )0b y ab +=．（Ⅰ）由F 在线段AB 上⇒10ab +=，又
122211a b a b ab k b k a a ab a a
---=====-=+-⇒//AR FQ ；（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为()1,0D x ⇒1111,2222
ABF PQF a b S b a FD b a x S ∆∆-=-=--=⇒111222
a b b a x ---=⇒10x =（舍去），11x =．设满足条件的AB 的中点为(),E x y ．当AB 与x 轴不垂直时⇒()211y x a b x =≠+-⇒2
a b y +=⇒()211y x x =-≠．当AB 与x 轴垂直时⇒E 与D 重合⇒所求轨迹方程为21y x =-． 【详解】由题设1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，设12:,:l y a l y b ==，则0ab ≠，且 22111,0,,,,,,,,222222a b a b A B b P a Q b R ⎛⎫⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭． 记过,A B 两点的直线为l ，则l 的方程为()20x a b y ab -++=
（Ⅰ）由于F 线段AB 上，故10ab +=，
记AR 的斜率为1,k FQ 的斜率为2k ，则122211a b a b ab k b k a a ab a a ---=
====-=+-， 所以//AR FQ
（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为()1,0D x ， 则1111,2222
ABF PQF a b S b a FD b a x S ∆∆-=-=--=，
由题设可得111222
a b b a x ---=，所以10x =（舍去），11x =． 设满足条件的AB 的中点为(),E x y ．
当AB 与x 轴不垂直时，由AB DE k k =可得
()211y x a b x =≠+-． 而2
a b y +=，所以()211y x x =-≠． 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为21y x =-
【点睛】本题考查了1.抛物线定义与几何性质；2.直线与抛物线位置关系；3.轨迹求法．。