云南省昆明第一中学2019-2020学年高中新课标高三第六次考前基础强化数学(文)试题(解析版)

昆明第一中学2020届高中新课标高三第六次考前基础强化
文科数学
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合||12}A x Z x =∈-≤≤，{}
2
|1B x x =≤，则（ ）
A. {}1,0,1A B =-I
B. {}1,0,1,2A B ⋃=-
C. {}|11A B x x ⋂=-≤≤
D. {}|12A B x x ⋃=-≤≤
【答案】A 【解析】 【分析】
用列举法表示出集合A ，再求解出不等式21x ≤的解集为集合B ，即可计算出,A B A B ⋃⋂的结果. 【详解】因为集合{|12}{1,0,1,2}A x Z x =∈-≤≤=-，{
}
2
|1{|11}B x x x x =≤=-≤≤， 所以{1,0,1}A B ⋂=-，{|11}{2}A B x x ⋃=-≤≤⋃， 故选：A.
【点睛】本题考查集合的交集和并集运算，难度较易.
2.甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，
甲乙两组数据的平均数分别为x 甲、x 乙标准差分别为σ甲、σ乙，则( )
A. x x <甲乙，σσ<甲乙
B. x x <甲乙，σσ>甲乙
C. x x >甲乙，σσ<甲乙
D. x x >甲乙，σσ>甲乙
【答案】C
【解析】 【分析】
通过读图可知甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知x x >甲乙，图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故σσ<甲乙.
【详解】由图可知，甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知x x >甲乙，图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故σσ<甲乙.故选.
【点睛】本题考查平均数及标准差的实际意义，是基础题. 3.设有下面四个命题：
1p ：0a =是(),a bi a b R +∈为纯虚数的充要条件；
2p ：设复数123z i =-，212z i =-+，则12z z +在复平面内对应的点位于第四象限； 3p ：复数1
z i
=的共轭复数z i =-；
4p ：设1z 是虚数，211
1
z z z =+
是实数，则1||1z =. 其中真命题为（ ） A. 1p ，3p B. 1p ，4p C. 2p ，3p D. 2p ，4p
【答案】D 【解析】 【分析】
1p ：考虑,a b 同为零的情况；2p ：先计算12z z +的结果，然后判断所在象限；3p ：计算出z ，然后即可得
到共轭复数；4p ：设1z a bi =+，根据2z 是实数得到,a b 的关系，由此求解出1z . 【详解】命题1p ：若0a =，0b =时，则0a bi +=不是纯虚数，所以1p 为假命题；
命题2p ：121z z i +=-，在复平面内所对应的点的坐标为()1,1-，位于第四象限，所以2p 为真命题； 命题3p ：1
z i i
==-，它的共扼复数为z i =，所以3p 为假命题；
命题4p ：设1z a bi =+（,a b ∈R ，且0b ≠），则
212222111a b z z a bi a b i z a bi a b a b ⎛⎫⎛⎫=+
=++=++- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭
，因为2z 是实数，0b ≠， 所以221a b +=，即1||1z =，所以4p 为真命题. 故选：D.
【点睛】本题考查复数的概念、除法运算以及复数的几何意义，属于综合型问题，难度较易.已知z a bi =+，则a 为实部，b 为虚部，共轭复数z a bi =-
，复数的模z =
.
4.1876年4月1日，加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了勾股定理的一种证明方法，即在如图的直角梯形ABCD 中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”推证出勾股定理，人们把这一证明方法称为“总统证法”.如图，设15BEC ∠=︒，在梯形ABCD 中随机取一点，则此点取自等腰直角CDE ∆中（阴影部分）的概率是（ ）
A.
B.
34
C.
23
D.
2
【答案】C 【解析】 【分析】
根据几何概型中的面积模型可知：点取自等腰直角CDE ∆中（阴影部分）的概率等于阴影部分面积比上整个梯形的面积，由此得到结果.
【详解】在直角BCE ∆中，cos15a c =︒，sin15b c =︒，
则()
22
2
22112
2
1
1sin 303
cos15sin15()2
CDE ABCD
c S c P S c a b ∆︒
︒︒
=
=
=
=
=+++梯形. 故选：C.
【点睛】本题考查几何概型中的面积模型，难度较易.解答问题的关键：将图形的面积比值与概率联系在一起.
5.已知抛物线C ：2
4y x =的焦点为F ，点A 为C 上一点且||4AF =，则OFA ∆的面积为（ ）
（O
为
A.
B.
C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】
利用抛物线的定义求解出A 点的坐标，然后代入坐标OFA ∆的面积即可计算出.
【详解】由抛物线的定义得点A 到准线1x =-的距离为4，所以点A 的横坐标为3x =，
代入抛物线C ：24y x =得2
12y =，y =±，
所以OFA ∆的面积为1
12
S =⨯⨯= 故选：B.
【点睛】本题考查抛物线中三角形面积求解，涉及到利用抛物线的定义求坐标，难度较易.已知抛物线方程
()220y px p =>，则抛物线上点()00,P x y 到抛物线焦点F 的距离02
p PF x =+
. 6.在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱CD ,AD 的中点，则（ ） A. 1EF DC ⊥ B. 1EF DB ⊥
C. 11EF D C ⊥
D. 11EF B C ⊥
【答案】B 【解析】 【分析】
画出几何体，连接,AC BD ，再根据线面关系、线线关系作出判断. 【详解】如图所示：
连结AC 、BD ，则AC ⊥平面1B DB ，所以1AC DB ⊥， 又//EF AC ，所以1EF DB ⊥.
【点睛】本题考查正方体中线面垂直、线线垂直关系的判断，难度较易.判断时注意根据正方体的几何特点简化判断.
7.已知,x y 满足251000y x x y y ≤⎧⎪
+-≥⎨⎪≥⎩
，则2z x y =+的最小值为（ ）
A.
307
B. 107
-
C. 5
D. 5-
【答案】A 【解析】 【分析】
作出不等式表示的可行域，采用平移直线法判断出在何处取最小值，由此得到结果. 详解】作出可行域如图所示：
由图可知目标函数2z x y =+在点A 处取得最小值，因为2510y x x y =⎧⎨+=⎩，所以107
107x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
所以min 101030
2777
z =+⨯=， 故选：A.
【点睛】本题考查利用线性规划求解线性目标函数的最值，难度较易.求解线性目标函数的最值的常用方法：平移直线法，将目标函数的最值与直线的截距联系在一起，利用数形结合思想解决问题. 8.函数()()1
2x x f x x e -=
-的大致图象是（
）
【
A. B.
C. D.
【答案】A 【解析】 【分析】
根据函数的定义域计算出导函数()f x '的正负，由此判断函数()f x 的单调性并判断出图象. 【详解】因为定义域{}|2x x ≠，所以(
)2233()0(2)x
x x f x x e --+'=
<-，
所以()f x 在(),2-∞和()2,+∞上单调递减， 故选：A.
【点睛】本题考查函数的图象的辨别，难度一般.根据函数解析式辨别函数图象，可以从函数的奇偶性、单调性、特殊点等方面进行分析. 9.定义在R 上的函数()f x 满足
()1f x +的图象关于1x =-对称，且()f x 在(),0-∞上是减函数，若
()0.3a f π=，()2b f e -=，21log 9c f ⎛
⎫= ⎪⎝
⎭，则（ ）
A. a c b >>
B. c b a >>
C. c a b >>
D. b c a >>
【答案】C 【解析】 【分析】
根据条件分析出()
f x 奇偶性以及在()0,∞+上的单调性，再根据指、对数函数的单调性分析所给自变量的大小，由此判断出函数值之间的大小关系.
【详解】因为函数()f x 满足()1f x +的图象关于1x =-对称，则()f x 图象关于y 轴对称，则()f x 是偶
函数且在()0,∞+上是增函数， 因为0.313π<<，201e -<<，21
|log |39
>，所以c a b >>， 故选：C.
【点睛】本题考查根据函数的单调性、奇偶性比较函数值的大小，难度一般.()f x a +的图象关于x a =-对称()f x ⇔的图象关于y 轴对称()f x ⇔是偶函数；()f x a +的图象关于(),0a -成中心对称()f x ⇔的图象关于()0,0成中心对称()f x ⇔是奇函数.
10.执行如图所示的程序框图，如果输出的28A =，那么在图中的判断框中可以填入（ ）
A. 5?n ≥
B. 5?n >
C. 7?A ≤
D. 7?A ≥
【答案】B 【解析】 【分析】
根据程序框图，将每一次循环对应的结果列出，再根据输出结果是28A =选择判断框中的内容. 【详解】当0n =时，1A =；当1n =时，1A =；当2n =时，0A =；当3n =时，1A =-； 当4n =时，0A =；当5n =时，7A =；当6n =时，28A =， 所以判断框中的内容应填写：5?n >，
故选：B
【点睛】本题考查补全程序框图中的判断框内容，难度较易.处理此类问题常用的方法是根据循环语句列举出每一步的结果，然后再根据结果进行分析. 11.在ABC ∆中，3
B π
=
，AC =2AB BC +的最大值为（ ）
A.
B. C. 3
D. 4
【答案】B 【解析】 【分析】
利用正弦定理将边化为角，再根据三角恒等变换中的辅助角公式计算出2AB BC +的最大值即可. 【详解】因为
2sin sin sin AB AC BC
C B A
===，
所以22sin 4sin 2sin 4sin 4sin )3AB BC C A C C C C C πϕ⎛⎫
+=+=++
=+=+ ⎪⎝
⎭
，
其中tan ϕ=()sin 1C ϕ+=取得最大值，存在C
使得最大值为 故选：B.
【点睛】本题考查正弦定理与辅助角公式的综合运用，难度一般.（1
）注意
()()sin cos 0a x b x x ab ϕ+=+≠，其中tan b a
ϕ=
；（2）解三角形时，注意隐含条件A B C π++=的运用.
12.已知,A B 是双曲线2
2
2x y -=右支上的两点，O 为坐标原点，则OA OB ⋅u u u r u u u r
的最小值为（ ）
A. 1-
B. 0
C. 1
D. 2
【答案】D 【解析】 【分析】
设出点的坐标，根据()()(
)()
22
2
2
221212122111
22x x y y x y x y x y x
y +=++--并结合平方的非负性，计算出
OA OB ⋅u u u r u u u r
的最小值.
【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，所以1212OA OB x x y y ⋅=+u u u r u u u r
，
因为()()(
)(
)
()2
2
2
2
2
22
1212122111
22122144x x y y x y x y x y x y x y x y +=++--=++≥
.
当且仅当21
21
y y x x =-时，即,A B 关于x 轴对称时等号成立， 又因为渐近线方程为：y x =±，所以,OA OB u u u r u u u r
的夹角小于
24
2
π
π
⨯=
，所以0OA OB ⋅>u u u r u u u r
，
所以()
min
2OA OB
⋅=u u u r u u u r
，
故选：D.
【点睛】本题考查双曲线中的向量数量积的最值计算，对于分析和转化计算能力要求很高，难度较难.解答问题的关键能将()2
1212x x y y +变形为可直接判断大小的式子.
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知非零向量a r ，b r 满足(2)a b a +⊥r r r ，若1||||2
a b =r r
，则a r 与b r 的夹角为__________．
【答案】π
【解析】 【分析】
根据向量垂直对应的数量积为0，得到关于,a b <>r r 的等式，将1||||2
a b =r r
代入即可计算出,a b <>r r 的值.
【详解】因为()2a b a +⊥r r r ，所以()
20a b a +⋅=r r r
，
即2||20a a b +⋅=r r r ，解得cos ,1a b <>=-r r ，所以,a b π<>=r r
.
故答案为：π.
【点睛】本题考查向量夹角的计算，难度较易.注意当a b ⊥r r
时，一定有0a b ⋅=r r ，反之亦成立.
14.曲线(
)12
f x x
=
在点()41-,处的切线方程为__________． 【答案】5y x =- 【解析】 【分析】
先求解出()f x 的导函数()f x '，再根据导数的几何意义求解出切线的斜率，根据直线的点斜式方程求解出切线方程.
【详解】因为(
)212
f x x
'=
，由导数的几何意义知()f x 在点()41-,处的切线斜率()41k f '==，
则()f x 在点()41-,处的切线方程为：()114y x +=⨯-，即5y x =-.
故答案为：5y x =-.
【点睛】本题考查曲线在某点处的切线方程的求解，难度较易.曲线()f x 在某点处()()
00,x f x 的切线方程的求解思路：（1）先求导函数()f x '；（2）计算该点处的导数值()0f x '，即为切线斜率；（3）根据直线的点斜式方程求解出切线方程. 15.若
cos sin 2cos sin θθ
θθ
+=-，则(cos sin )(cos sin )θθθθ+-=__________．
【答案】
45
【解析】 【分析】
先根据条件计算出tan θ，然后根据“齐次式”的计算方法，将待求式子变形为关于tan θ的形式，从而可求解出结果. 【详解】由
cos sin 1tan 2cos sin 1tan θθθθθθ
++==--，所以1
tan 3θ=，
而2222
2
222
cos sin 1tan 4
(cos sin )(cos sin )cos sin cos sin 1tan 5
θθθθθθθθθθθθ--+-=-===++. 故答案为：
45
【点睛】本题考查同角的三角函数的基本关系的运用，难度一般.利用“齐次式”的概念进行求值时，若出
现的是2222
sin cos sin cos a b c d θθθθ
++的形式，考虑分子、分母同除以2cos θ即可；若出现的是22sin cos a b θθ+，注意将其补全一个分母22sin cos θθ+以变形为分式结构.
16.已知在半径为3的球面上有,,,A B C D 四点，若2AB CD ==，则四面体ABCD 体积的最大值为__________．
【答案】
3
【解析】 【分析】
过CD 作空间四边形ABCD 的截面PCD ，由体积公式可知只需求解出PCD S V 的最大值即可，由此进行分析求解.
【详解】过CD 作平面PCD ，使得AB ⊥平面PCD ，交AB 于P 点，如下图：
设P 到CD 的距离为h ，所以122223323
PCD h h V S ⨯=
⨯⨯=⨯=V ， 当球的直径通过,AB CD 的中点时，此时h
的值最大，且max h ==
所以max V =
.
故答案为：
3
. 【点睛】本题考查几何体的体积最值与球的综合运用，难度较难.涉及到几何体外接球的问题，注意利用球本身的性质去分析问题，从而达到简化问题的目的.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.
17.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，310a =，1111S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求n S 的最大值及此时n 的值.
【答案】（1）319n a n =-+；（2）当6n =时，n S 有最大值为651S = 【解析】 【分析】
（1）根据已知条件列出关于1,a d 的方程组，求解出1,a d 即可求出通项公式； （2）利用0d <对应{}n a 为递减等差数列，根据10
n n a a +≥⎧⎨≤⎩确定出n 的取值，从而n S 的最大值以及取最大
值时n 的值都可求.
【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，由310a =可得1210a d +=，由1111S =可得1115511a d +=， 所以1121051a d a d +=⎧⎨
+=⎩，所以116
3
a d =⎧⎨=-⎩，
所以16(1)(3)319n a n n =+-⨯-=-+；
（2）由131903160
n n a n a n +=-+≥⎧⎨=-+≤⎩，解得1619
33n ≤≤， 所以当6n =时，n S 有最大值，此时最大值为651S =.
【点睛】本题考查等差数列通项公式以及前n 项和的综合应用，难度较易.其中第二问还可以先将n S 的表达式求解出来，然后根据二次函数的对称轴以及开口方向亦可确定出n S 的最大值以及取最大值时n 的值. 18.如图所示的几何体中，BE ⊥平面ABCD ，//AF BE ，
四边形ABCD 为菱形，2==AB AF ，
点M ，N 分别在棱FD ，ED 上.
（1）若//BF 平面MAC ，设
FM
FD
λ=，求λ的值； （2）若60ABC ∠=︒，12EN ND =，直线BN 与平面ABCD
所成角的正切值为3
，求三棱锥B ENF -的体积.
【答案】（1）12λ=；（2
）9
【解析】 【分析】
（1）连接AC BD P =I ，连接MP ，利用线面平行的性质定理判断出//BF MP ，由此求出λ的值； （2）过N 作//NG BE 且NG BD G ⋂=，根据线面角的正切值计算出BE 的长度，即可求解出BEF V 的面积，再利用体积公式即可计算出三棱锥B ENF -的体积.
【详解】（1）连接AC 、BD ，设AC BD P =I ，因为四边形ABCD 为菱形，所以P 为AC 与BD 中
点，
连接MP ，因为//BF 平面MAC ，且平面BFD ⋂平面MAC MP =，所以//BF MP ， 因为P 为BD 的中点，所以M 为FD 的中点，即
12
FM FD =，1
2λ=.
（2）因为60ABC ∠=︒，四边形ABCD 为菱形，2AB CB ==
，所以BD = 过N 作//NG BE ，且NG BD G ⋂=，因为
12EN ND =
，所以3
BG =，设BE a =，则23NG a =， 因为直线BN 与平面ABCD
所成角的正切值为tan NBG ∠=
=，
所以a =
BEF
的面积1S =
= 而点N 到平面BEF 的距离即点G 到平面BEF
的距离为h
，由113B ENF N BEF V V S h --==
⋅=
， 所以三棱锥B ENF -
的体积为
9
【点睛】本题考查根据线面平行关系求解参数、已知线面角正切值求解长度、棱锥体积计算，属于综合型问题，难度一般.（1）已知线面平行求解参数时，注意使用线面平行的性质定理分析问题；（2）利用几何方法计算线面角的三角函数值时，可采用找射影点的方法完成求解.
19.我市某区2018年房地产价格因“棚户区改造”实行货币化补偿，使房价快速走高，为抑制房价过快上涨，政府从2019年2月开始采用实物补偿方式（以房换房），3月份开始房价得到很好的抑制，房价渐渐回落，以下是2019年2月后该区新建住宅销售均价的数据：
的
（1）研究发现，3月至7月的各月均价y （百元/平方米）与月份x 之间具有较强的线性相关关系，求价格y （百元/平方米）关于月份x 的线性回归方程；
（2）用i y ∧
表示用（1）中所求的线性回归方程得到的与i x 对应的销售均价的估计值，3月份至7月份销售
均价估计值i
y ∧与实际相应月份销售均价i y 差的绝对值记为i ξ，即||i i i y y ξ∧
=-，
1,2,3,4,5i =.若0.25i ξ≤，则将销售均价的数据i y 称为一个“好数据”，现从5个销售均价数据中任取2个，求抽取的2个数据均是“好数据”的概率.
参考公式：回归方程系数公式^
1
2
1
()()
()
n
i
i
i n
i
i x x y y b x x ==--=
-∑∑，^^
a y
b x =-；
参考数据：5
1
1984i i
i x y
==∑，5
21
135i i x ==∑.
【答案】（1） 1.688y x ∧
=-+；（2）3
10
P = 【解析】 【分析】
（1）先计算出,x y ，然后根据b $的计算公式求解出b $，再根据线性回归方程过样本点中心()
,x y 求解出$a
，由此求解出线性回归方程；
（2）先根据定义计算出()1,2,3,4,5i i ξ=，利用古典概型的概率计算方法，先列举出所有可能的情况，然后分析其中满足的情况，由此计算出抽取的2个数据均是“好数据”的概率. 【详解】（1）由表格中的数据，可得3456755
x ++++==，8382807877
805y ++++=
=， 所以219845580 1.613555
b ∧
-⨯⨯=
=--⨯，则80 1.6588a ∧
=+⨯=，所以y 关于x 的回归方程 1.688y x ∧=-+. （2）利用（1）中的回归方程为 1.688y x ∧
=-+，
可得13x =，183.2y ∧
=，24x =，281.6y ∧
=，35x =，380y ∧
=，46x =，478.4y ∧
=，57x =，676.8y ∧
=，
所以10.2ξ=，20.4ξ=，30ξ=，40.4ξ=，50.2ξ=， 即5个销售均价数据中有3个即1y ，3y ，5y 是“好数据”，
从5个销售均价数据中任意抽取2个的所有可能结果：()12,y y ，()13,y y ，()14,y y ，
()15,y y ，()23,y y ，()24,y y ，()25,y y ，()34,y y ，()35,y y ，()45,y y ，共10种，
抽取的2个数据均为“好数据”的结果是：()13,y y ，()15,y y ，()35,y y ，共3种， 所以310
P =
. 【点睛】本题考查线性回归方程的求解和古典概型的概率计算，难度一般.（1）求解回归直线方程中的参数值时，注意回归直线方程过样本点的中心()
,x y ；（2）利用古典概型求解概率时，最常用的方法是列举法，将所有的基本事件列举出来，同时写出目标事件对应的基本事件，根据事件数目即可计算出对应的概率.
20.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，A 为椭圆短
轴端点，若12AF F ∆为直角三角形且周长为4+. （1）求椭圆C 的方程；
（2）若直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，直线OM ,ON 斜率的乘积为2
2b a
-，求OM ON ⋅u u u u r u u u r 的取值范围.
【答案】（1）22
142
x y +=；
（2）[]1,1- 【解析】 【分析】
（1）根据12AF F ∆的形状以及周长，计算出2
2
,a b 的值，从而椭圆C 的方程可求；
（2）分类讨论直线的斜率是否存在：若不存在，直接分析计算即可；若存在，联立直线与椭圆方程，得到
坐标对应的韦达定理形式，再根据条件将直线方程中的参数,k m 关系找到，由此即可化简计算出OM ON
⋅u u u u r u u u r
的取值范围.
【详解】（1）因为12AF F ∆为直角三角形，所以b c =，a =
，
又12AF F ∆周长为4，所以222)4a c c +==，故c =24a =，22b =，
所以椭圆C ：22142
x y +=.
（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，当直线l 斜率不存在时，
121212OM ON
y y k k x x ⋅==-,12x x =，12y y =-，所以212112
OM ON y k k x ⋅=-=-， 又2211142
x y +=，解得212x =，2
11y =，221212111OM ON x x y y x y ⋅=+=-=u u u u r u u u r .
当直线l 斜率存在时，设直线方程为:l y kx m =+，
由2214
2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222124240k x kmx m +++-=，
>0∆得()()222216412240k m k m -+->
即2242m k <+，
122212241224
12km x x k m x x k ⎧
+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
，()()()2222
121212122
412m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+ 由121212OM ON
y y k k x x ⋅==-得22
22
2
4112242
12m k k m k -+=--+，即2221m k =+， 所以22121212222
122121[1,1)2121212m k OM ON x x y y x x k k k
--⋅=+====-∈-+++u u u u r u u u r 所以[]1,1OM ON ⋅∈-u u u u r u u u r
.
【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用，其中涉及到焦点三角形的周长以及向量数量积的取值范围，难度一般.（1）椭圆的焦点三角形的周长为：()2a c +；（2）椭圆中的向量数量积问题，首选方法：将向量数量积表示为坐标形式，借助韦达定理完成求解. 21.已知函数2
()(12)ln ,f x x a x a x a R =+--∈. （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()0f x ≥，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）[]0,1a ∈ 【解析】 【分析】
（1）先求解出导函数()f x '，将其因式分解并根据a 的取值范围作分类讨论，由此得到函数的单调性；
（2）根据不等式恒成立，对参数a 分类讨论：0,0,0a a a =><，分别判断函数
单调性并根据()min 0
f x ≥求解出a 的取值范围.
【详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，
因为22(12)()(21)
()212a x a x a x a x f x x a x x x
+---+'=+--==
， 若0a ≤，则()0f x '>，则()f x 在()0,∞+单调递增；
若0a >，则当0x a <<时，()0f x '<，当x a >时，()0f x '>， 则()f x 在()0,a 单调递减，则(),a +∞单调递增.
（2）由（1）可知，当0a =时，()2
f x x x =+在()0,∞+单调递增，()0f x >，满足题意；
当0a >时，要使()0f x ≥，则2
min ()()ln 0f x f a a a a a ==-+-≥，即ln 10a a +-≤，
构造()ln 1g x x x =+-，则()1
10g x x
'=
+>，故()g x 在()0,∞+上单调递增， 又()10g =，故当(0,1]x ∈时，()0g x ≤，故由()0g a ≤得1a ≤， 当0a <时，当x 趋于0时，()f x 趋于-∞，与题意不符，舍去； 综上，要使()0f x ≥，则[]0,1a ∈.
【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及到求解含参函数的单调性和根据不等式恒成立求解参数范围，难度较难.利用导数求解不等式恒成立问题，常用的两种方法：（1）分类讨论法；（2）分离参数法.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C 的参数方程为cos sin x m t y t α
α
=+⎧⎨=⎩（t 为参数，
0απ≤<），射线θϕ=，4
π
θϕ=+，4
π
θϕ=-
分别与曲线1C 交于极点O 外的三点,,A B C .
（1）求
||||
||
OB OC OA +的值；
的
（2）当12
π
ϕ=
时，,B C 两点在曲线2C 上，求m 与α的值.
【答案】（1；（2）2m =，23
π
α= 【解析】 【分析】
（1）利用极坐标表示出,,A B C ，然后将,,OA OB OC 转化为极径，根据对应的极径即可计算出
||||
||
OB OC OA +的值；
（2）先求解出BC 的极坐标将其转化为直角坐标可求斜率，由此先求解出倾斜角α的值，再根据点在线上代入求解出m 的值即可.
【详解】（1）设点,,A B C 的极坐标分别为()1,ρϕ,2,4πρϕ⎛
⎫+
⎪⎝
⎭,3,4πρϕ⎛
⎫
-
⎪⎝
⎭
, 由点,,A B C 在曲线1C 上得：14cos ρϕ=，24cos 4πρϕ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，34cos 4πρϕ⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
，
所以23||||4cos 4cos 44OB OC ππρρϕϕϕ⎛⎫⎛
⎫+=+=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，1||4cos OA ρϕ==，
所以
||||
||
OB OC OA +=；
（2）由曲线2C 的参数方程知，曲线2C 是倾斜角为α且过定点()0m ,
的直线，
当12
π
ϕ=
时，,B C 两点的极坐标分别为2,
3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，6π⎛
⎫-
⎪⎝
⎭，化为直角坐标为(
B ,(3,
C ,
所以，直线的斜率为tan α=23
π
α=，
又因为直线BC 的方程为：y =+，
由点()0m ,
在直线BC 上得：2m =. 【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化、直线的参数方程化为普通方程、根据点在曲线上求解参数值，难度一般.直角坐标与极坐标的互化公式：cos ,sin x y ρθρθ==. 23.已知函数()22,f x x x a a R =---∈． （Ⅰ）当3a =时，解不等式()0f x >；
（Ⅱ）当(,2)x ∈-∞时，()0f x <恒成立，求a 的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）当3a =时，()0f x >即2230x x --->等价于：3{210x x ≤
->或3
2{2
350
x x <<-+>或2{10
x x ≤-+>，解出不等式即可；（Ⅱ）()22f x x x a =---所以()0f x <可化为22x a x ->-①，即22x a x ->-或
22x a x -<-，①式恒成立等价于min (32)x a ->或max (2)x a +<，据此即可求出结果．
试题解析：解：（Ⅰ）当3a =时，()0f x >即2230x x --->
等价于：3{210x x ≤
->或3
2{2350
x x <<-+>或2{10x x ≤-+>解得312x <≤或35
23
x <<或x ∈∅
所以原不等式的解集为：5
{|1}3
x x <<
（Ⅱ）()22f x x x a =---所以()0f x <可化为22x a x ->-①
即22x a x ->-或22x a x -<-，①式恒成立等价于min (32)x a ->或max (2)x a +<
Q (,2)x ∈-∞，∴a ∈∅或4a ≥，4a ∴≥
考点：1．绝对值不等式；2．恒成立问题．。