数学_2015年北京市朝阳区高考数学二模试卷(理科)(含答案)

2015年北京市朝阳区高考数学二模试卷（理科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1. 已知集合A ={x|x 2>1}，集合B ={x|x(x −2)<0}，则A ∩B =( ) A {x|1<x <2} B {x|x >2} C {x|0<x <2} D {x|x ≤1, 或x ≥2}
2. 执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值是（ ）
A 7
B 10
C 66
D 166
3. 设i 为虚数单位，m ∈R ，“复数m(m −1)+i 是纯虚数”是“m ＝1”的（ ）
A 充分不必要条件
B 必要不充分条件
C 充要条件
D 既不充分又不必要条件 4. 已知平面上三点A ，B ，C ，满足|AB →
|=6，|AC →
|=8，|BC →
|=10，则AB →
⋅BC →
+BC →
⋅CA →
+CA →
⋅AB →
=( )
A 48
B −48
C 100
D −100
5. 已知函数f(x)=2sin(π
2
x +π
5
)，若对任意的实数x ，总有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)，则|x 1−
x 2|的最小值是（ ）
A 2
B 4
C π
D 2π
6. 已知双曲线x 2
a 2−y 2
b 2=1(a >0, b >0)与抛物线y 2＝4x 有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ．若|PF|=5
2，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A y ＝±1
2x B y ＝±2x C y ＝±√3x D y ＝±√33x 7. 已知函数f(x)=
e x −e −x
2
，x ∈R ，若对任意θ∈(0, π2
]，都有f(sinθ)+f(1−m)>0成立，
则实数m 的取值范围是（ ）
A (0, 1)
B (0, 2)
C (−∞, 1)
D (−∞, 1]
8. 如图，将一张边长为1的正方形纸ABCD 折叠，使得点B 始终落在边
AD 上，则折起部分面积的最小值为（ ） A 1
4 B 3
8 C 2
5 D 1
2
二、填空题：本小题共6小题，每小题5分，共30分． 9. (1−
13x
)4
展开式中含x −3项的系数是________． 10. 已知圆C 的圆心在直线x −y =0上，且圆C 与两条直线x +y =0和x +y −12=0都相切，则圆C 的标准方程是________．
11. 如图，已知圆B 的半径为5，直线AMN 与直线ADC 为圆B 的两条割线，
且割线AMN 过圆心B ．若AM =2，∠CBD =60∘，则AD =________． 12. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为________．
13. 已知点A 1(a 1, 1)，A 2(a 2, 2)，…，A n (a n , n)(n ∈N ∗)在函数y =log 13
x 的图象上，则数
列{a n }的通项公式为________；设O 为坐标原点，点M n (a n , 0)(n ∈N ∗)，则△OA 1M 1，△OA 2M 2，…，△OA n M n 中，面积的最大值是________．
14. 设集合A ={(m 1, m 2, m 3)|m 2∈{−2, 0, 2}, m i =1, 2, 3}}，集合A 中所有元素的个数为________；集合A 中满足条件“2≤|m 1|+|m 2|+|m 3|≤5”的元素个数为________．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在梯形ABCD 中，AB // CD ，CD ＝2，∠ADC ＝120∘，cos∠CAD =
5√7
14
．
(Ⅰ)求AC的长；
(Ⅱ)求梯形ABCD的高
16. 某学科测试中要求考生从A，B，C三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有600名学生参加测试，选择A，B，C三题答卷数如表：
（1）某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从600份答案中抽出若干份答卷，其中从选择A题作答的答卷中抽出了3份，则应分别从选择B，C题作答的答卷中各抽出多少份？
（2）若在（1）问中被抽出的答卷中，A，B，C三题答卷得优的份数都是2，从被抽出的A，B，C三题答卷中再各抽出1份，求这3份答卷中恰有1份得优的概率；
（3）测试后的统计数据显示，B题的答卷得优的有100份，若以频率作为概率，在（1）
问中被抽出的选择B题作答的答卷中，记其中得优的份数为X，求X的分布列及其数学期望EX．
17. 如图，在直角梯形ABCD中，AB // CD，∠DAB=90∘，
AB=1．直角梯形ABEF可以通过直角梯形ABCD以直线AB为轴旋转得到，且AD=DC=1
2
平面ABEF⊥平面ABCD．
（1）求证：FA⊥BC；
（2）求直线BD和平面BCE所成角的正弦值；
（3）设H为BD的中点，M，N分别为线段FD，AD上的点（都不与点D重合）．若直线
FD⊥平面MNH，求MH的长．
18. 已知点M为椭圆C:3x2+4y2=12的右顶点，点A，B是椭圆C上不同的两点（均异于点M），且满足直线MA与直线MB斜率之积为1
．
4
（1）求椭圆C的离心率及焦点坐标；
（2）试判断直线AB是否过定点：若是，求出定点坐标；若否，说明理由．
19. 已知函数f(x)=(x2−a)e x，a∈R．
（1）当a=0时，求函数f(x)的单调区间；
（2）若在区间(1, 2)上存在不相等的实数m，n，使f(m)=f(n)成立，求a的取值范围；（3）若函数f(x)有两个不同的极值点x1，x2，求证：f(x1)f(x2)<4e−2．
20. 已知数列，A n:a1，a2，…，a n(n≥2, n∈N∗)是正整数1，2，3，…，n的一个全排
列．若对每个k ∈{2, 3, ..., n}都有|a k −a k−1|=2或3，则称A n 为H 数列． （I ）写出满足a 5=5的所有H 数列A 5；
（II ）写出一个满足a 5k (k =1, 2,…,403)的H 数列A 2015的通项公式；
（III ）在H 数列A 2015中，记b k =a 5k (k =1, 2,…,403)．若数列{b k }是公差为d 的等差数列，求证：d =5或−5．
2015年北京市朝阳区高考数学二模试卷（理科）答案
1. A
2. B
3. B
4. D
5. A
6. C
7. D
8. B
9. −4
27
10. (x −3)2+(y −3)2=18 11. 3 12. 2√39 13. a n =(1
3)n ,1
6 14. 27,18
15. （1）在△ACD 中，∵ cos∠CAD =5√7
14
，∴ sin∠CAD =
√21
14
． 由正弦定理得：AC
sin∠ADC =CD
sin∠CAD ， 即AC =
CDsin∠ADC sin∠CAD
=
2×
√32√2114
=2√7．
（2）在△ACD 中，由余弦定理得：AC 2＝AD 2+CD 2−2AD ⋅CDcos120∘， 整理得AD 2+2AD −24＝0，解得AD ＝4．
过点D 作DE ⊥AB 于E ，则DE 为梯形ABCD 的高． ∵ AB // CD ，∠ADC ＝120∘， ∴ ∠BAD ＝60∘．
在直角△ADE 中，DE ＝AD ⋅sin60∘＝2√3． 即梯形ABCD 的高为2√3．
16. 解：（1）由题意可得：
应分别从B 、C 题的答卷中抽出5份，2份．
（2）记事件M ：被抽出的A 、B 、C 三种答卷中分别再任取出1份，这3份答卷中恰有1份得优，可知只能C 题答案为优，依题意P(M)=1
3×3
5×1=1
5．
（3）由题意可知，B 题答案得优的概率为13，显然被抽出的B 题的答案中得优的份数X 的可
能取值为0，1，2，3，4，5，且X ∼B(5,1
3
)．P(X =k)=∁5k (1
3
)k (2
3
)
5−k
(k =0, 1, 2, 3, 4, 5)，可得P(X =0)=32243
，P(X =1)=
80243
，P(X =2)=
80243
，P(X =3)=
40243
，
P(X =4)=
10243
，P(X =0)=
1243
，
随机变量X 的分布列为：
∴ E(X)=np =5×1
3
=5
3．
17. （1）证明：由已知得∠FAB =90∘，所以FA ⊥AB ． 因为平面ABEF ⊥平面ABCD ， 且平面ABEF ∩平面ABCD =AB ， 所以FA ⊥平面ABCD ，
由于BC ⊂平面ABCD ，所以FA ⊥BC ．
（2）解：由（1）知FA ⊥平面ABCD ，所以FA ⊥AB ，FA ⊥AD ． 由已知DA ⊥AB ，所以AD ，AB ，AF 两两垂直． 以A 为原点建立空间直角坐标系（如图）．
因为AD =DC =1
2AB =1，
则B(0, 2, 0)，C(1, 1, 0)，D(1, 0, 0)，E(0, 1, 1)， 所以BC →
=(1, −1, 0)，BE →
=(0, −1, 1)，
设平面BCE 的一个法向量n →
=(x, y, z)． 所以{x −y =0−y +z =0．
令x =1，则n →
=(1, 1, 1)． 设直线BD 与平面BCE 所成角为θ， 因为BD →
=(1, −2, 0)， 所以sinθ=√3⋅√5
=
√15
15
． 所以直线BD 和平面BCE 所成角的正弦值为
√15
15
． （3）解：A(0, 0, 0)，D(1, 0, 0)，F(0, 0, 1)，B(0, 2, 0)，H(12
, 1, 0)． 设
DM DF =k(0<k ≤1)，则M(1−k, 0, k)，
∴ MH →
=(k −12
, 1, −k)，FD →
=(1, 0, −1)． 若FD ⊥平面MNH ，则FD ⊥MH ． 即FD →
⋅MH →
=0．
∴ k −1
2+k =0．解得k =1
4． 则MH →
=(1
4, 1, −1
4)，|MH →
|=3
4√2．
18. 解：（1）椭圆C 的方程可化为x 2
4+
y 23
=1，则a =2，b =√3，c =1．
故离心率e =c
a =1
2，焦点坐标为(−1, 0)，(1, 0)．
（2）由题意，直线AB 的斜率存在，可设直线AB 的方程为y =kx +m ，A(x 1, y 1)，
B(x 2, y 2)．
联立{y =kx +m
3x 2+4y 2=12得(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0．
△=64k 2m 2−4(3+4k 2)(4m 2−12)=48(4k 2−m 2+3)>0． ∴ x 1+x 2=−8km
3+4k 2，x 1x 2=
4m 2−123+4k 2
，
∵ 直线MA 与直线MB 斜率之积为1
4． ∴ y 1
x
1
−2⋅y 2
x
2
−2
=1
4， ∴ 4(kx 1+m)(kx 2+m)=(x 1−2)(x 2−2)．
化简得(4k 2−1)x 1x 2+(4km +2)(x 1+x 2)+4m 2−4=0， ∴ (4k 2
−1)⋅
4m 2−123+4k 2
+(4km +2)×−8km
3+4k 2+4m 2−4=0，
化简得m 2−2km −8k 2=0，解得m =4k 或m =−2k ． 当m =4k 时，直线AB 方程为y =k(x +4)，过定点(−4, 0)． m =4k 代入判别式大于零中，解得−1
2
<k <1
2
．
当m =−2k 时，直线AB 的方程为y =k(x −2)，过定点(2, 0)，不符合题意． 故直线AB 过定点(−4, 0)． 19. 解：（1）当a =0时，f(x)=x 2e x ，f′(x)=e x (x 2+2x)， 由e x (2x 2+2x)=0，解得：x =0，x =−2， 当x ∈(−∞, −2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x ∈(−2, 0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x ∈(0, +∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
所以f(x)的单调增区间为(−∞, −2)，(0, +∞)，单调减区间为(−2, 0)；
（2）依题意即求使函数f(x)=e x (x 2−a)在(1, 2)上不为单调函数的a 的取值范围， 而f′(x)=e x (x 2+2x −a)，设g(x)=x 2+2x −a ，则g(1)=3−a ，g(2)=8−a ， 因为g(x)在(1, 2)上为增函数．
当{g(1)=3−a <0g(2)=8−a >0，即当3<a <8时，函数g(x)在(1, 2)上有且只有一个零点，设为x 0， 当x ∈(1, x 0)时，g(x)<0，即f′(x)<0，f(x)为减函数；
当x ∈(x 0, 2)时，g(x)>0，即f′(x)>0，f(x)为增函数，满足在(1, 2)上不为单调函数． 当a ≤3时，g(1)≥0，g(2)≥0，所以在(1, 2)上g(x)>0成立（因g(x)在(1, 2)上为增函数），
所以在(1, 2)上f′(x)>0成立，即f(x)在(1, 2)上为增函数，不合题意． 同理a ≥8时，可判断f(x)在(1, 2)为减函数，不合题意． 综上：3<a <8．
（3）f′(x)=e x (x 2+2x −a)．
因为函数f(x)有两个不同的零点，即f′(x)有两个不同的零点， 即方程x 2+2x −a =0的判别式△=4+4a >0，解得：a >−1，
由x 2+2x −a =0，解得x 1=−1−√a +1，x 2=−1+√a +1． 此时x 1+x 2=−2，x 1⋅x 2=−a ，
随着x 变化，f(x)和f′(x)的变化情况如下：
1212∴ f(x 1)f(x 2)=e x 1(x 12−a)⋅e x 2(x 22
−a)
=e x 1+x 2[x 12x 22−a(x 12+x 22
)+a 2] =e −2[a 2−a(4+2a)+a 2] =−4ae −2，
因为a >−1，所以−4ae −2<4e −2， 所以f(x 1)f(x 2)<4e −2． 20. （本小题共13分）
解：(I)满足条件的数列有两个：3，1，4，2，5；2，4，1，3，5．
（II ）由（1）知数列A 5:2，4，1，3，5满足a 5=5，把各项分别加5后，所得各数依次排在后，因为|a 6−a 5|=2，所得数列A 10显然满足|a k −a k−1|=2或3，k ∈{2, 3, 4, ..., 10}，
即得H 数列A 10:2，4，1，3，5，7，9，6，8，10．其中a 5=5，a 10=10．如此下去即可得到一个满足a 5K =5K(k =1, 2,…,403)的H 数列A 2015为：
a n ={
n +1,n =5k −4n +2,n =5k −3n −2,n =5k −2n −1,n =5k −1n,n =5k （其中k =1，2， (403)
（III ）由题意知d =2x +3y ，x ，y ∈Z ，且|x|+|y|=5．
|x|+|y|=5有解：(|x|, |y|)=(0, 5)，(1, 4)，(2, 3)，(4, 1)，(5, 0)．
①(|x|, |y|)=(0, 5)，y =±5，d =±15，则b 403=b 1+402d =b 1±6030，这与1≤b 1，b 403≤2015 是矛盾的．
②(|x|, |y|)=(5, 0)时，与①类似可得不成立．
③(|x|, |y|)=(1, 4)时，|d|≥3×4−2=1，则b 403=b 1+402d 不可能成立． ④(|x|, |y|)=(4, 1)时，
若(|x|, |y|)=(4, −1)或(−4, 1)，则d =5或−5．
若(|x|, |y|)=(4, 1)或(−4, −1)，则|d|=11，类似于③可知不成立． ④(|x|, |y|)=(2, 3)时，
若x ，y 同号，则d|=13，由上面的讨论可知不可能； 若(x, y)=(2, −3)或(x, y)=(−2, 3)，则d =−5或5； ⑤(|x|, |y|)=(3, 2)时，
若x ，y 异号，则d =0，不行；
若x ，y 同号，则|d|=12，同样由前面的讨论可知与1≤b 1，b 403≤2015 矛盾．
综上，d 只能为5或−5，且（2）中的数列是d =5的情形，将（2）中的数列倒过来就是d =−5，所以d 为5或−5．。