空间两点间的距离公式 课件

【探究提升】对空间两点间距离公式的三点说明 (1)空间两点间距离公式是平面内两点间距离公式的推广. (2)公式的推导是转化成平Байду номын сангаас内两点之间的距离,结合勾股定理 推出的. (3)公式中x1,x2及y1,y2及z1,z2的顺序可以改变.
类型 一 空间两点间的距离公式
尝试解答下列题目，归纳利用空间两点间的距离公式求空间 距离的步骤. 1.点B是点A(1，2，3)在坐标平面yOz内的射影，则|OB|等于
()
A. 14
B. 13
C.2 3
D. 11
2.设点P在x轴上，它到点P1(0， 2 ，3)的距离为到点 P2(0,1,-1)的距离的两倍，求点P的坐标.
【解题指南】1.先求出点B的坐标，再由距离公式求解. 2.先根据x轴上点的坐标特点设出点P的坐标(a,0,0),再根据两 点间距离公式列出关于a的方程，然后解方程即可.
【解析】1.选C.| AB | (4 1)2 (2 2)2 (3 11)2 89.
| AC | (6 1)2 (1 2)2 (4 11)2 75 5 3. | BC | (6 4)2 (1 2)2 (4 3)2 14.
因为|AB|2=|AC|2+|BC|2, 又|AB|，|AC|，|BC|两两不等， 所以△ABC为直角三角形，故选C.
空间两点间的距离公式 观察空间两点间的距离公式,一般地,空间中任意两点 P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)间的距离为
P1P2 (x1 x2 )2 (y1 y2 )2 (z1 z2 )2
探究1：观察公式,探究以下问题 (1)空间两点间的距离公式有何特征? 提示：空间两点间的距离公式右端是同名坐标的差的平方和 的算数平方根. (2)空间两点间的距离公式与平面内两点间的距离公式有什么 关系? 提示：空间两点间的距离公式是平面内两点间的距离公式的 推广,其形式和结构特征是相同的,只是多出一组坐标.
探究2：结合空间两点间的距离公式,探究式子(x1-x2)2+(y1y2)2+(z1-z2)2的几何意义是什么? 提示：式子(x1-x2)2+(y1-y2)2+(z1-z2)2表示两点P1(x1,y1,z1), P2(x2,y2,z2)距离的平方.
【拓展延伸】空间两点间的距离公式的几何意义 空间中任意一点P(x,y,z)到原点O的距离 OP x2 当y2 z2 , OP为定值时, x2 y2 = zr(2 r>0)的几何意义是以原点O为球心, 以r为半径的球面.
所以c 7 58 ,
3
所以P(0,0, 7 )或58P(0，0，
3
)7 . 58
3
类型 二 空间两点间距离公式的应用
通过解答下列与两点间距离公式应用有关的题目,试总结
两点间距离公式在几何上的应用.
1.已知A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状为
()
A.等腰三角形
2.以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系. 因为正方体棱长为a,所以B(a,a,0),A′(a,0,a),C′(0,a,a), D′(0,0,a).由于M为BD′的中点，取A′C′的中点O′,所以
M(a , a , a ), O( a , a ,a).
222
22
因为|A′N|=3|NC′|,所以N为A′C′的四等分点,
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
2.如图,已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a,M为BD′的 中点,点N在A′C′上,且|A′N|=3|NC′|,试求|MN|.
【解题指南】1.先利用空间两点间距离公式求出三角形的三 边长，再根据三角形的三边确定三角形的形状. 2.先根据空间几何体的结构特征建立空间直角坐标系，然后 根据题目中的条件求出点M，N的坐标，最后利用空间两点 间距离公式即可求出|MN|.
空间两点间的距离公式
空间两点间的距离 (1)公式：已知空间中任意两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则 |P1P2|=___(_x1___x_2 )_2__(_y_1__y_2_)_2 __(_z1___z_2 )_2__. (2)特殊情况：空间中任意一点P(x,y,z)与原点O的距离为 |OP|=___x_2 __y_2___z 2__.
【互动探究】若题2中“点P在x轴上”换为“点P在z轴上”其
他条件不变，其结论又如何呢？
【解析】设P(0,0,c),因为|PP1|=2|PP2|, 所以 (0 0)2 (0 2)2 (c 3)2
2 (0 0)2 (0 1)2 (c 1)2 ,
所以2+(c-3)2=4(1+c2+2c+1),
从而N为O′C′的中点，故 N(a , 3 a,a).
44
根据空间两点间的距离公式，可得
| MN | ( a a )2 ( a 3a )2 ( a a)2 6 a.
24 2 4 2
4
【技法点拨】两点间距离公式在几何中的应用 (1)求立体几何中线段长度问题 ①建系：将立体图形放在空间直角坐标系中. ②定坐标：在空间直角坐标系中,根据条件确定有关的点的坐 标. ③定距离：利用空间两点间距离公式确定所求线段的长. (2)判断三角形形状 ①利用两点间距离公式求三边长. ②结合三边长及三角形有关知识判断三角形的形状.
【解析】1.选B.因为点B坐标为(0，2，3)， 所以| OB | 02 22 故32选B.13， 2.设P(a,0,0),因为|PP1|=2|PP2|, 所以 (a 0)2 (0 2)2 (0 3)2
2 (a 0)2 (0 1)2 (0 1)2 ,
所以a2+2+9=4(a2+1+1), 所以a=±1,即P(1，0，0)或P(-1,0,0).