解直角三角形和应用题经典复习教案教师版

解直角三角形和应用题

1、解直角三角形的概念及基本类型

（１）概念：在直角三角形中，用除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。

注意：在直角三角形中，除直角外，一共有５个元素，即３条边和２个锐角。

（２）解直角三角形的两种基本类型————

①已知两边长；

②已知一锐角和一边。注意：已知两锐角不能解直角三角形。

2、解直角三角形的方法

“有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜用切（正切、余切，宁乘毋除，取原避中），”这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦，无斜边时，就用正切或余切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可以由已知数据又可由中间数据求解时，则用已知数据，尽量避免用中间数据。

3、解非直角三角形的方法

对于非直角三角形，往往要通过作辅助线构造直角三角形来解，作辅助线的一般思路是：（１）作垂线构成直角三角形；

（２）利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边。

正确地建立解直角三角形的数学模型以及熟悉测量，航海，航空，•工程等实际问题中的常用概念是解决这类问题的关键．

注意：（1）准确理解几个概念：①仰角，俯角；②坡角；③坡度；④方位角．

（2）将实际问题抽象为数学问题的关键是画出符合题意的图形．

（3）在一些问题中要根据需要添加辅助线，构造出直角三角形，•从而转化为解直角三角形的问题．

1．仰角、俯角

- 1 - 亲爱的学子：在数学的领域中, 我们发现真理的主要工具是归纳和学习。

亲爱的学子：在数学的领域中, 我们发现真理的主要工具是归纳和学习。

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当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．

2、坡角与坡度

坡面与水平面的夹角称为坡角，坡面的铅直高度与水平宽度的比为坡度（或坡比），即坡度等于坡角的正切。

即h

i l

=

，通常写成1：m 的形式．

坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有h

i tan l

α=

=。

【典型例题】

例1. 如图，点A 是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B 、C 两个村庄，现要在B 、C 两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通，经测得∠

ABC=45o ，∠ACB=30o

，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明。

解：在中，R tA B H B H A H

∆=

︒t a n 45

在中，R tA C H C H A H

∆=

︒

t a n 30 ∴︒+︒

=A H A H

t a n t a n 45301000

∴=->A H 5003500300 ∴不会穿过

例2. 如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD ，且建筑物周围没有开阔平整

地带，该建筑物顶端宽度AD 和高度DC 都可直接测得，从A 、D 、C 三点可看到塔顶端H ，可供使用的测量工具有皮尺、测倾器。

A

B H C

亲爱的学子：在数学的领域中, 我们发现真理的主要工具是归纳和学习。

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（1）请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG 的方案。具体要求如下：测量数据尽可能少，在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测A 、D 间距离，用m 表示；如果测D 、C 间距离，用n 表示；如果测角，用α、β、γ表示）。

（2）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG （用字母表示，测倾器高度忽略不计）。

解：（1）在A 处放置测倾器，测得点H 的仰角为α 在B 处放置测倾器，测得点H 的仰角为β

（）在中，2R t H A I A I H I D I H I

A I D I m

∆=

=-=t a n t a n

αβ

H I m

=

-t a n t a n t a n t a n αββα

H G H I I G m

n

=+=-+t a nt a n t a n t a n αββα

例3. 某一时刻，一架飞机在海面上空C 点处观测到一人在海岸A 点处钓鱼。从C 点处测

得A 的俯角为45o ；同一时刻，从A 点处测得飞机在水中影子的俯角为60o

。已知海岸的高度为4米，求此时钓鱼的人和飞机之间的距离（结果保留整数）。

例4. 在∆A B C 中，∠=︒=C A 901，t a n ，那么cotB 等于（ ）

解：在中，R t A B C B C A B ∆=︒

t a n 45 在中，R t A B G B G A B ∆=︒t a n 60

A B A B t a n t a n 60458︒-︒= ∴=+A B 443

∴=+A C4246

亲爱的学子：在数学的领域中, 我们发现真理的主要工具是归纳和学习。

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A B C D ....

32133

分析：在R t A B C ∆中，已知tanA ，求cotB 可利用互余角的三角函数关系求解，应选C 。 例5 已知α为锐角，下列结论：

<>+=11s i nc o s αα

<2>如果α>︒45，那么s i n c o s αα> <3>如果cos α>

12

，那么α<︒60 <4>(s i n )s i n αα-=-112

正确的有（ ） A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

分析：利用三角函数的增减性和有界性即可求解。 解：由于α为锐角知<1>不成立

当4590︒<<︒α

时，有s i n c o s αα>，即<2>正确；当cos α>1

2

时，α<︒60，即<3>成立

又01≤≤s i n α，即(s i n )s i n αα

-=-112

正确。即<4>成立，故应选C 。 例6. （1）计算：s i n c o s c o tt a n t a n 3060456030︒+︒-︒-︒⋅︒ （2）计算：22459044211

(c o s s i n )()()︒-︒+-︒+--π

分析：（1）可利用特殊角的三角函数值代入直接计算；

（2）利用特殊角的三角函数值和零指数及负整数次幂的知识求解。注意分母有理化，可求得（1）-1；（2）4 例7 如图1，在∆A B C 中，AD 是BC 边上的高，t a n c o s B D A C =∠。 （1）求证：AC ＝BD

（2）若s

i n C B C ==12

13

12，，求AD 的长。 图1

分析：由于AD 是BC 边上的高，则有R t A D B ∆ 和R t A D C ∆，这样可以充分利用锐角三角函数的 概念使问题求解。