2020_2021学年高中数学第三章推理与证明单元综合测试含解析北师大版选修1_2

高中数学:
单元综合测试三(第三章综合测试)
时间：120分钟 分值：150分
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．两个正方体M 1、M 2，棱长分别为a ，b ，则对于正方体M 1、M 2有：棱长比为a b ，表面积的比为a 2
：b 2
，体积的比为a
3
b 3.我们把满足类似条件的几何体称为“相似体”，下列
给出的几何体中是“相似体”的是( )
A ．两个球
B ．两个长方体
C ．两个圆柱
D ．两个圆锥 【答案】 A
2．推理：“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③所以三角形不是矩形．”中的小前提是( )
A ．①
B ．②
C ．③
D ．①和② 【答案】 B
3．不等式a ＞b 与1a ＞1
b
同时成立的充要条件为( )
A ．a ＞b ＞0
B ．a ＞0＞b
C.1b ＜1a ＜0
D.1a ＞1b
＞0
【答案】 B 【解析】 ⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＞
b 1a ＞1
b ⇔⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＞
b a －b
ab
＜0⇔⎩⎪⎨⎪⎧
a ＞b
ab ＜0
⇔a ＞0＞b ，故选B.
4．有下列叙述：
①“a >b ”的反面是“a <b ”； ②“x ＝y ”的反面是“x >y 或x <y ”；
③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；
④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”，其中正确的叙述有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 【答案】 B
【解析】 ①错，应为a ≤b ；②对；③错，应为三角形的外心在三角形内或三角形的边上；④错，应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．
5．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1·b 2·b 3·b 4·b 5·…·b 9＝29
.若{a n }为等差数列，
a 5＝2，则{a n }的类似结论为( )
A ．a 1·a 2·a 3·…·a 9＝29
B ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝29
C ．a 1a 2a 3…a 9＝2×9
D ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9 【答案】 D
【解析】 等比数列的特点是b 1b 9＝b 2b 8＝b 3b 7＝b 4b 6＝b 2
5，而等差数列的特点是a 1＋a 9
＝a 2＋a 8＝a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5.
6．如果f (x ＋y )＝f (x )f (y )，且f (1)＝1，则f 2f 1＋f 4f 3＋…＋f 2 008
f 2 007
等于( )
A ．1 003
B ．1 004
C ．2 006
D ．2 008 【答案】 B
【解析】 由于f (x ＋y )＝f (x )f (y )， 那么f (2)＝f (1＋1)＝f (1)f (1)， 即f 2
f 1
＝f (1)；f (4)＝f (3＋1)＝f (3)f (1)， 即f 4
f 3
＝f (1)，…；f (2 008)＝f (2 007＋1)＝f (2 007)f (1)， 即
f 2 008f 2 007＝f (1)；那么f 2f 1＋f 4f 3＋…＋f 2 008
f 2 007
＝f (1)＋f (1)＋…＋f (1)＝1 004f (1)＝1 004. 7．已知a ，b ，c ，d 为正数，S ＝a a ＋b ＋c ＋b a ＋b ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋d
c ＋
d ＋b
，则( )
A ．0＜S ＜1
B ．1＜S ＜2
C ．2＜S ＜3
D ．3＜S ＜4
【答案】 B 【解析】 S ＝a a ＋b ＋c ＋b a ＋b ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋d c ＋d ＋b ＜a a ＋b ＋b a ＋b ＋c c ＋d ＋d
c ＋d
＝2，
又S ＞
a a ＋
b ＋
c ＋
d ＋
b
a ＋
b ＋
c ＋
d ＋
c
a ＋
b ＋
c ＋
d ＋
d
a ＋
b ＋
c ＋d
＝1，
所以1＜S ＜2，故选B.
8．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2
a n (n ≥2)，而a 1＝1，猜想a n 等于( )
A.2n ＋12
B.
2
n
n ＋1
C.
2
2n
－1
D.
22n －1
【答案】 B
【解析】 由a 1＝1，S n ＝n 2
a n ，得a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110，猜想a n ＝
1
n
n ＋1
. 9．定义A *B ，B *C ，C *D ，D *A 的运算分别对应下面图中的(1)，(2)，(3)，(4)，则图中，
a ，
b 对应的运算是( )
A ．
B *D ，A *D B ．B *D ，A *
C C ．B *C ，A *
D D ．C *D ，A *D 【答案】 B
【解析】 根据题意可知A 对应横线，B 对应矩形，C 对应竖线，D 对应圆．故选B. 10．观察下列等式： ①cos2α＝2cos 2
α－1；
②cos4α＝8cos 4
α－8cos 2
α＋1；
③cos6α＝32cos 6
α－48cos 4
α＋18cos 2
α－1；
④cos8α＝128cos 8
α－256cos 6
α＋160cos 4
α－32cos 2
α＋1；
⑤cos10α＝m cos 10
α－1 280cos 8
α＋1 120cos 6
α＋n cos 4
α＋p cos 2
α－1. 可以推测，m －n ＋p ＝( ) A ．962 B ．960 C ．762 D ．562 【答案】 A
【解析】 本题主要考查归纳推理等知识． 由题易知：m ＝29＝512，p ＝5×10＝50，
m －1 280＋1 120＋n ＋p －1＝1，
∴m ＋n ＋p ＝162.
∴n ＝－400，∴m －n ＋p ＝962.
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
11．在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为1
4，类似地，
在空间中，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积比为________．
【答案】 1:8
【解析】 由平面和空间的知识，可知很多比值在平面中成平方关系，在空间中成立方关系．故若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积比为18.
12．f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N ＋)，计算得f (2)≥32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>7
2.
推测当n ≥2时，有________．
【答案】 f (2n
)≥
n ＋2
2
(n ≥2)
【解析】 ∵f (2)＝f (21
)≥32＝1＋22
，
f (4)＝f (22)>2＝2＋2
2， f (8)＝f (23)>5
2
＝
3＋2
2， f (16)＝f (24)>3＝4＋2
2
， f (32)＝f (25)>72＝
5＋2
2
，
∴可猜想f (2n
)≥
n ＋2
2
(n ≥2)．
13．对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集．给出平面上4个点集的图形如下(阴影区域及其边界)：
其中为凸集的是____________(写出所有凸集相应图形的序号)．
【答案】 ②③
【解析】 本题主要考查从题目中提取信息，解决问题的能力． 举反例
14．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于表中的第n 行第n ＋1列的数是________.
第1列 第2列 第3列 … 第1行 1 2 3 … 第2行 2 4 6 … 第3行 3 6 9 … …
…
…
…
…
【答案】 n 2
【解析】 本题考查了等差数列及归纳推理的方法和思想，要求考生能从给出的信息总结规律，归纳结论．
由图表知，第n 行的数构成首项为n ，公差为n 的等差数列， ∴第n 行第n ＋1列的数为：n ＋(n ＋1－1)·n ＝n 2
＋n .
15．如图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点P (点P 不在C 上)且半径相等，设第i 段弧所对的圆心角为αi (i ＝1,2,3)，则cos a 1
3
cos
α2＋α3
3
－sin
α1
3
sin
α2＋α3
3
＝____________.
【答案】 －1
2
【解析】 本题考查平面几何知识，涉及到多边形的内角和，圆以及三角函数的基本知识．考查整体思想及运算处理能力．
如图所示，四边形O 1PO 3C 为菱形，所以∠O 1PO 3＝∠O 1CO 3， 同理∠O 1PO 2＝∠O 1AO 2，∠O 2PO 3＝∠O 2BO 3， 因为∠O 1PO 2＋∠O 1PO 3＋∠O 2PO 3＝360°， 所以∠O 1AO 2＋∠O 2BO 3＋∠O 1CO 3＝360°. 六边形O 1AO 2BO 3C 内角和为720°.
所以∠AO 1C ＋∠AO 2B ＋∠BO 3C ＝720°－360°＝360°，
α1＋α2＋α3＝(360°－∠AO 1C )＋(360°－∠AO 2B )＋(360°－∠BO 3C )
＝1080°－(∠AO 1C ＋∠AO 2B ＋BO 3C )＝720°. cos
α1
3
cos
α2＋α3
3
－sin
α1
3
sin
α2＋α3
3
＝cos
α1＋α2＋α3
3＝cos240°＝－1
2
.
三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分)
16．在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 对应的边长分别为a ，b ，c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形．
【证明】 由A 、B 、C 成等差数列， ∴2B ＝A ＋C ①
∵A 、B 、C 为△ABC 的内角， ∴A ＋B ＋C ＝π② 由①②得B ＝π
3③
由a 、b 、c 成等比数列， ∴b 2
＝ac ④
由余弦定理及③可得
b 2＝a 2＋
c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac 再由④得a 2＋c 2－ac ＝ac
即(a －c )2
＝0，∴a ＝c ， 从而有A ＝C ⑤
由②③⑤得A ＝B ＝C ＝π
3，
∴△ABC 为等边三角形．
17．设实数a ，b ，c 成等比数列，非零实数x ，y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，试证：a x ＋c y
＝2.
【证明】 由已知条件得b 2
＝ac,2x ＝a ＋b,2y ＝b ＋c ， 要证a x ＋c y
＝2，只需证ay ＋cx ＝2xy ，即证2ay ＋2cx ＝4xy ， 因为2x ＝a ＋b,2y ＝b ＋c ，b 2＝ac ，所以
4xy ＝(a ＋b )(b ＋c )＝ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝ab ＋2ac ＋bc ， 2ay ＋2cx ＝a (b ＋c )＋c (a ＋b )＝ab ＋bc ＋2ac ， 所以2ay ＋2cx ＝4xy ，命题得证． 18．观察下表 1， 2,3， 4,5,6,7，
8,9,10,11,12,13,14,15， ….
问：(1)此表第n 行的最后一个数是多少？ (2)此表第n 行的各个数之和是多少？
【解析】 (1)由表知，第二行起每行的第一个数为偶数，所以第n ＋1行的第一个数为2n
，所以第n 行的最后一个数为2n
－1.
(2)由(1)知第n －1行的最后一个数为2
n －1
－1，第n 行的第一个数为2
n －1
，第n 行的最
后一个数为2n
－1.又由观察知，每行数字的个数与这一行的第一个数相同，所以由等差数列求和公式得：S n ＝
2n －1
2
n －1
＋2n
－12
＝22n －3＋22n －2－2n －2
.
19．求证：正弦函数没有比2π小的正周期．
【证明】 假设T 是正弦函数的周期，且0<T <2π，则对任意实数x 都有sin(x ＋T )＝sin x 成立．令x ＝0，得sin T ＝0，即T ＝k π，k ∈Z .
又0<T <2π，故T ＝π，从而对任意实数x 都有sin(x ＋π)＝sin x ，这与sin(π
2＋
π)≠sin π
2
矛盾．所以，正弦函数没有比2π小的正周期．
20．已知函数f (x )＝
x 13
－x －
135
，g (x )＝x 13＋x －
1
35
，
(1)证明：f (x )是奇函数；
(2)分别计算f (4)－5f (2)g (2)，f (9)－5f (3)g (3)的值，由此概括出涉及函数f (x )和
g (x )对所有不等于0的实数x 都成立的一个等式，并证明．
【解析】 (1)证明：f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
又f (－x )＝
－x
13－－x －135＝－x 13－x －13
5
＝－f (x )，故f (x )是奇函数．
(2)计算知f (4)－5f (2)g (2)＝0，f (9)－5f (3)g (3)＝0，于是猜测f (x 2
)－5f (x )g (x )＝0(x ∈R 且x ≠0)．
证明：f (x 2
)－5f (x )g (x )＝
x 2
3－x －
23
5
－5×
x 13－x －
13
5
·
x 13＋x －
13
5
＝
x 23－x －
23
5
－
x 13－x －
13x 13＋x －
13
5
＝
x 23
－x －
235
－x 23－x －235
＝0.
21．数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －3n (n ∈N ＋)． (1)求{a n }的通项公式；
(2)数列{a n }中是否存在三项，它们按原顺序可以构成等差数列？若存在，求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．
【解析】 (1)a 1＝S 1＝2a 1－3，则a 1＝3.
由⎩⎪⎨⎪⎧
S n ＋1＝2a n ＋1－3n ＋1
S n ＝2a n －3n
⇒a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n －3⇒a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)，
∴{a n ＋3}为等比数列，首项为a 1＋3＝6，公比为2. ∴a n ＋3＝6·2
n －1
，即a n ＝3·2n
－3.
(2)假设数列{a n }中存在三项a r ，a s ，a t (r <s <t )，它们可以构成等差数列，且a r <a s <a t . ∴只能是a r ＋a t ＝2a t ，即3(2r －1
)＋3(2
t －1
)
＝6(2
s －1
)．
∴2r
＋2t
＝2
s ＋1
.∴1＋2
t －r
＝2
s ＋1－r
.(*)
∵r <s <t ，r ，s ，t 均为正整数，∴(*)式左边为奇数，右边为偶数，不可能成立． ∴数列{a n }中不存在可以构成等差数列的三项．。