数学分析II期末考试题

∑ 2、讨论级数 ∞ cos nx (0 < x < π ) 的绝对和条件收敛性。 np n=1
四、证明题：（每小题 10 分，共 30 分）
∫x
tf (t)dt
1、 f（x）在[0，+∞）上连续且恒有 f（x）>0，证明 g(x) = 0
在[0，+∞）上单调增
∫x f (t)dt
0
加
∞
∑ { } 2、 设正项级数 xn 收敛， n=1
=
x2
∫ 3、 I n =
+∞ e−x x n dx (n 是非负整数）
0
4、设 u = f (x 2 + y 2 + z 2 , xyz), f 具有二阶连续偏导数，求 ∂ 2u ∂z∂x
5、求 f (x) = e x 的幂级数展开式
三、讨论与验证题：（每小题 10 分，共 20 分）
1、讨论二元函数连续、偏可导、可微之间的关系。对肯定的结论任选一进行证明；对否定 的结论，给出反例
2、证明： ∀m, n
>
m ，有 (n − m)
<
xm+1
+ " xn
<
xm 由此得 nxn
<
n n−m
xm ，（4
分）由
级数收敛，故 ∀ε
> 0 可取定 m0 使得 xm0
< ε ，又 lim n n→∞ n − m0
= 1 ，故 ∃n0 使得 n > n0 时，
有
n
n −m
<
2
，（4
分）于是当 n
∑ ∑ ∫ 二、1、由于 lim ln n n! = lim 1 (( n
ln i) − n ln n) = lim
n
ln i 1 =
1
ln xdx = −1（7
n→∞
n
n n→∞
i =1
n→∞ i=1 n n 0
分） 2、解：两曲线的交点为（2，2），（0，0），（2 分）
∫ 所求的面积为：
2
(
2x − x2 )dx = 4 （5 分）
=
2x(2zf11
+
xyf12 )
+
yf 2
+
yz(2zf 21
+
xyf22 ) （4
分）
5、解：
由于余项
rn (x)பைடு நூலகம்
≤
ex (n + 1)!
x n+1
→ 0(n → ∞) ，（3 分）所以
e x = 1 + x + x2 + " x n + " （4 分） 2! n!
三、1、解、可微必可偏导和连续，证明可看课本 133 页（4 分），可偏导不一定连续和可微 例子可看课本 135 页（6 分）
四、证明题（每小题 10 分，共 30 分）
x
x
x
∫ ∫ ∫ xf (x) f (t)dt − f (x) tf (t)dt f (x) (xf (t) − tf (t))dt
1、 证明： g ' (x) =
0
0
=
0
> 0 （8 分）
∫( x f (t)dt)2 0
∫( x f (t)dt)2 0
所以函数单调增加（2 分）
数学分析期末考试题
一、叙述题：（每小题 5 分，共 15 分）
1、 Darboux 和 2、 无穷限反常积分的 Cauchy 收敛原理 3、 Euclid 空间
二、计算题：（每小题 7 分，共 35 分）
1、 lim n n! n n→ +∞
2、求由下列两条曲线围成的平面图形的面积
⎧y2 = 2x
⎨ ⎩2 y
0
2
3
∫ 2、 解：
In =
+∞ e −x x n dx
0
∫ ∫ ∫ = −
xne−x
|0+∞
+n
+∞ 0
e
−
x
x
n−1dx
=
nI
n−1
1 e −x x n dx + +∞ e −x x n dx （6 分）
0
1
I n = n! (1 分）
4、：
∂u ∂x
=2
f1x
+
yzf 2
（3
分）
∂2u ∂z∂x
2、解：当 p > 1时，级数绝对收敛，（4 分）当 0 < p ≤ 1，由 Dirichlet 定理知级数收敛，但
∑ cos nx ≥ cos2 nx = 1 + cos 2nx ，所以 ∞ | cos nx | 发散，即级数条件收敛（4 分），
np
np
2n p 2n p
np
n=1
2
当 p ≤ 0 时，级数的一般项不趋于 0，所以级数不收敛（2 分）
，
则
n
n
∑ ∑ S (P) = M i ∆xi , S (P) = mi ∆xi 分 别 称 为 相 应 于 分 法 P 的 Darboux 大 和 和
i =1
i =1
Darboux 小和。
∫ 2、 ∀ε > 0.∃N > a 使得 ∀m > n > N ，成立 n f (x)dx < ε m
3、 R n 向量空间上定义内积运算 x,y = x1 y1 + " + xn yn 构成 Euclid 空间
xn
单调减少，证明
lim
n→∞
nx n
=0
3、
f
(x,
y)
=
y x2 +
y
，证明： lim x→0
f
(x,
y) 不存在
y→0
1
参考答案
一、1、有界函数 f (x) 定义在[a,b] 上，给一种分法 P ， a = x0 < x1 < " < xn = b 和
记
M i = sup{f (x),[xi−1, xi ]}, mi = inf {f (x),[xi−1, xi ]}
>
n0
时，有 0
<
nxn
<
2ε
，得证（2
分）
3、证明： lim f (x, y) = lim x = 1 lim f (x, y) = lim x2 = 1 ，所以 lim f (x, y)
x→0
x→0 x2 + x
x→0
x→0 x 2 + x 2 2
x→0
y=x
y=x2
y→0
不存在（10 分）
3