大学物理 第十章 课后答案

习题十
10-1 一半径r =10cm
的圆形回路放在B =0.8T 的均匀磁场中．回路平面与B
垂直．当回路
半径以恒定速率t r
d d =80cm ·s -1
收缩时，求回路中感应电动势的大小．
解: 回路磁通 2
πr B BS m ==Φ
感应电动势大小
40.0d d π2)π(d d d d 2====
t r r B r B t t m Φε V
10-2 一对互相垂直的相等的半圆形导线构成回路，半径R =5cm ，如题10-2图所示．均匀
磁场B =80×10-3
T ，B 的方向与两半圆的公共直径(在Oz 轴上)垂直，且与两个半圆构成相
等的角α当磁场在5ms 内均匀降为零时，求回路中的感应电动势的大小及方向．
解: 取半圆形cba 法向为i ， 题10-2图
则
αΦcos 2π21
B R m
= 同理，半圆形adc 法向为j
，则
αΦcos 2π2
2
B R m
=
∵ B 与i 夹角和B 与j
夹角相等，
∴ ︒
=45α
则
αΦcos π2
R B m = 2
21089.8d d cos πd d -⨯-=-=Φ-=t B R t m αεV
方向与cbadc 相反，即顺时针方向．
题10-3图
*10-3 如题10-3图所示，一根导线弯成抛物线形状y =2
ax ，放在均匀磁场中．B 与xOy 平
面垂直，细杆CD 平行于x 轴并以加速度a 从抛物线的底部向开口处作平动．求CD 距O 点
为y 处时回路中产生的感应电动势．
解: 计算抛物线与CD 组成的面积内的磁通量
⎰⎰=-==a
y
m y
B x x y B S B 0
2
3
2
322d )(2d 2ααΦ
∴ v
y B t y y B t m 2
1
212d d d d ααε-=-=Φ-=
∵ ay v 22
= ∴ 2
12y a v =
则
αα
εa
By
y a y
B
i 8222
12
1-=-
= i ε实际方向沿ODC ．
题10-4图
10-4 如题10-4图所示，载有电流I 的长直导线附近，放一导体半圆环MeN 与长直导线共面，且端点MN 的连线与长直导线垂直．半圆环的半径为b ，环心O 与导线相距a ．设半圆环以速度v 平行导线平移．求半圆环内感应电动势的大小和方向及MN 两端的电压
N M U U -．
解: 作辅助线MN ，则在MeNM 回路中，沿v
方向运动时
0d =m Φ
∴ 0=MeNM ε 即 MN MeN
εε=
又∵ ⎰+-<+-=
=b
a b
a MN
b a b
a Iv l vB 0ln 2d
cos 0πμπε
所以
MeN ε沿NeM 方向，
大小为 b a b
a Iv -+ln
20π
μ M 点电势高于N 点电势，即
b a b
a Iv U U N M -+=-ln
20πμ
题10-5图
10-5如题10-5所示，在两平行载流的无限长直导线的平面内有一矩形线圈．两导线中的电
流方向相反、大小相等，且电流以t I
d d 的变化率增大，求：
(1)任一时刻线圈内所通过的磁通量； (2)线圈中的感应电动势． 解: 以向外磁通为正则
(1) ]
ln [ln
π2d π2d π2000d a
d b a b Il
r l r I
r l r I
a
b b a
d d m +-+=
-=⎰
⎰
++μμμΦ
(2)
t I b a b d a d l t d d ]
ln [ln π2d d 0+-+=-=μΦε 10-6 如题10-6图所示，用一根硬导线弯成半径为r 的一个半圆．令这半圆形导线在磁场
中以频率f 绕图中半圆的直径旋转．整个电路的电阻为R ．求：感应电流的最大值．
题10-6图
解: )
cos(2π02
ϕωΦ+=⋅=t r B S B m ∴ Bf
r f r B r B t r B t m m i 222
202ππ22π2π)
sin(2πd d ===+=-=ωεϕωωΦε ∴ R Bf r R I m 22π=
=ε
10-7 如题10-7图所示，长直导线通以电流I =5A ，在其右方放一长方形线圈，两者共面．线
圈长b =0.06m ，宽a =0.04m ，线圈以速度v =0.03m ·s -1
垂直于直线平移远离．求：d =0.05m
时线圈中感应电动势的大小和方向．
题10-7图
解: AB 、CD 运动速度v
方向与磁力线平行，不产生感应电动势．
DA 产生电动势
⎰==⋅⨯=A D I
vb vBb l B v d 2d )(0
1πμε
BC 产生电动势
)(π2d )(02d a I
vb
l B v C B +-=⋅⨯=⎰με
∴回路中总感应电动势
8
021106.1)1
1
(π2-⨯=+-=
+=a d d Ibv μεεε
V 方向沿顺时针．
10-8 长度为l 的金属杆ab 以速率v 在导电轨道abcd 上平行移动．已知导轨处于均匀磁场B
中，B 的方向与回路的法线成60°角(如题10-8图所示)，B
的大小为B =kt (k 为正常)．设t =0时杆位于cd 处，求：任一时刻t 导线回路中感应电动势的大小和方向．
解: ⎰==︒=⋅=2
221
2160cos d klvt lv kt Blvt S B m Φ
∴ klvt
t m -=-=d d Φ
ε
即沿abcd 方向顺时针方向．
题10-8图
10-9 一矩形导线框以恒定的加速度向右穿过一均匀磁场区，B
的方向如题10-9图所示．取逆时针方向为电流正方向，画出线框中电流与时间的关系(设导线框刚进入磁场区时t =0)．
解: 如图逆时针为矩形导线框正向，则进入时0
d d <Φ
t ,0>ε；
题10-9图(a)题10-9图(b)
在磁场中时0d d =t Φ
,0=ε； 出场时0d d >t Φ
，0<ε，故t I -曲线如题10-9图(b)所示.
题10-10图
10-10 导线ab 长为l ，绕过O 点的垂直轴以匀角速ω转动，aO =3l
磁感应强度B 平行于转
轴，如图10-10所示．试求： （1）ab 两端的电势差； （2）b a ,两端哪一点电势高? 解: (1)在Ob 上取dr r r +→一小段 则
⎰==320
2
92d l Ob l B r rB ωωε
同理 ⎰=
=30
2181
d l Oa l B r rB ωωε ∴ 2
261
)92181(l B l B Ob aO ab ωωεεε=+-=+=
(2)∵ 0>ab
ε 即0<-b a U U
∴b 点电势高．
题10-11图
10-11 如题10-11图所示，长度为b 2的金属杆位于两无限长直导线所在平面的正中间，并
以速度v 平行于两直导线运动．两直导线通以大小相等、方向相反的电流I ，两导线相距
2a ．试求：金属杆两端的电势差及其方向． 解：在金属杆上取r d 距左边直导线为r ，则
b a b a Iv r r a r Iv l B v b a b a B
A A
B -+-=-+-=⋅⨯=⎰⎰+-ln
d )211(2d )(00πμπμε
∵ 0<AB ε
∴实际上感应电动势方向从A B →，即从图中从右向左， ∴
b a b
a Iv U AB -+=
ln 0πμ
题10-12图
10-12 磁感应强度为B
的均匀磁场充满一半径为R 的圆柱形空间，一金属杆放在题10-12图中
位置，杆长为2R ，其中一半位于磁场内、另一半在磁场外．当t B
d d ＞0时，求：杆两端的感应
电动势的大小和方向．
解： ∵
bc ab ac εεε+=
t B
R B R t t ab d d 43]43[d d d d 21=--=-
=Φε =-=t
ab d d 2Φεt B
R B R t d d 12π]12π[d d 22=
-- ∴
t B
R R ac d d ]
12π43[22+=ε ∵ 0d d >t B
∴ 0>ac
ε即ε从c a →
10-13 半径为R 的直螺线管中，有dt dB
＞0的磁场，一任意闭合导线abca ，一部分在螺线管内绷直成ab 弦，a ,b 两点与螺线管绝缘，如题10-13图所示．设ab =R ，试求：闭合
导线中的感应电动势．
解：如图，闭合导线abca 内磁通量
)
436π(2
2R R B S B m -=⋅= Φ
∴
t B R R i d d )
436π(22--=ε ∵ 0d d >t B
∴0<i
ε，即感应电动势沿acba ，逆时针方向． 题10-13图题10-14图
10-14 如题10-14图所示，在垂直于直螺线管管轴的平面上放置导体ab 于直径位置，另一导体cd 在一弦上，导体均与螺线管绝缘．当螺线管接通电源的一瞬间管内磁场如题10-14图示方向．试求： （1）ab 两端的电势差； （2）cd 两点电势高低的情况．
解： 由⎰⎰⋅-=⋅l S t B l E
d d d d 旋知，此时旋E 以O 为中心沿逆时针方向．
(1)∵ab 是直径，在ab 上处处旋E 与ab 垂直
∴ ⎰=⋅l
l 0
d 旋
∴
0=ab ε,有b a U U =
(2)同理， 0
d >⋅=⎰
l E c
d
dc
旋
ε
∴
0<-c d U U 即d c U U >
题10-15图
10-15 一无限长的直导线和一正方形的线圈如题10-15图所示放置(导线与线圈接触处绝缘)．求：线圈与导线间的互感系数．
解： 设长直电流为I ，其磁场通过正方形线圈的互感磁通为
⎰
=
=323
00122
ln π
2d π2a a Ia
r r
Ia
μμΦ
∴
2
ln π2012
a
I M μΦ=
=
10-16 一矩形线圈长为a =20cm ，宽为b =10cm ，由100匝表面绝缘的导线绕成，放在一无限
长导线的旁边且与线圈共面．求：题10-16图中(a)和(b)两种情况下，线圈与长直导线间的互感．
解：(a)见题10-16图(a)，设长直电流为I ，它产生的磁场通过矩形线圈的磁通为
2ln π2d 2πd 020)
(12Ia r r Ia
S B b
b S μμΦ⎰⎰==
⋅=
∴ 6
012
108.22ln π2-⨯===a N I N M μΦ H
(b)∵长直电流磁场通过矩形线圈的磁通012=Φ，见题10-16图(b)
∴ 0=M
题10-16图题10-17图
10-17 两根平行长直导线，横截面的半径都是a ，中心相距为d ，两导线属于同一回路．设两
导线内部的磁通可忽略不计，证明：这样一对导线长度为l 的一段自感为
πμl L 0=
In a a
d -．
解： 如图10-17图所示，取r l S d d =
则
⎰⎰-----=--=-+=a d a
a d a
a d d a
a d Il r r r Il r l r I r πI )
ln (ln 2πd )d 11(π
2d ))d (π22(0000μμμμΦ
a a
d Il
-=
ln
π
0μ
∴
a a d l
I L -=
=
ln
π0μΦ
10-18 两线圈顺串联后总自感为1.0H ，在它们的形状和位置都不变的情况下，反串联后总自感为0.4H ．试求：它们之间的互感．
解： ∵顺串时 M L L L 221++=
反串联时M L L L 221-+='
∴ M L L 4='-
15.04='
-=
L L M H
10-19图
10-19 一矩形截面的螺绕环如题10-19图所示，共有N 匝．试求： (1)此螺线环的自感系数；
(2)若导线内通有电流I ，环内磁能为多少? 解：如题10-19图示 (1)通过横截面的磁通为
⎰
=
=b
a
a b NIh
r h r NI
ln
π
2d π
200μμΦ
磁链
a b Ih
N N ln
π
220μΦψ=
= ∴
a b h
N I
L ln
π220μψ
=
=
(2)∵ 2
21LI W m = ∴
a b h I N W m ln
π4220μ= 10-20 一无限长圆柱形直导线，其截面各处的电流密度相等，总电流为I ．求：导线内部
单位长度上所储存的磁能． 解：在R r <时
20π2R I B r
μ=
∴
4
222002
π82R r I B w m μμ== 取 r r V d π2d =(∵导线长1=l )
则 ⎰⎰
=
==R R
m I R r
r I r r w W 0
2
04
320π16π4d d 2μμπ。