高中数学必修一 《3 1 函数的概念及其表示》课时练习09

课时分层作业(十五)函数的表示法
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．购买某种饮料x听，所需钱数为y元．若每听2元，用解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数为()
A．y＝2x B．y＝2x(x∈R)
C．y＝2x(x∈{1,2,3，…}) D．y＝2x(x∈{1,2,3,4})
D[题中已给出自变量的取值范围，x∈{1,2,3,4}，故选D.]
2．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2，1)，C(3,2)，则f(g(2))的值为()
x 12 3
f(x)230
A．3 B．2
C．1 D．0
B[由函数g(x)的图象知，g(2)＝1，则f(g(2))＝f(1)＝2.]
3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是()
C [距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.]
4．如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x ＝x 1－x ，则当x ≠0,1时，f (x )等于( )
A.1x
B.1x －1
C.11－x
D.1x －1
B [令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x
，则有f (t )＝
1t
1－1t
＝
1
t －1
，故选B.] 5．若f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )＝( ) A ．3x ＋2 B ．3x －2 C ．2x ＋3 D ．2x －3 B [设f (x )＝ax ＋b ，由题设有 ⎩⎪⎨⎪⎧
2(2a ＋b )－3(a ＋b )＝5，2(0·
a ＋
b )－(－a ＋b )＝1. 解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝3，
b ＝－2.所以选B.]
二、填空题
6．已知f (2x ＋1)＝x 2－2x ，则f (3)＝________. －1 [由2x ＋1＝3得x ＝1，∴f (3)＝1－2＝－1.] 7．f (x )的图象如图所示，则f (x )的值域为________．
[－4,3] [由函数的图象可知，f (x )的值域为[－2,3]∪[－4,2.7]，即[－4,3]．]
8．若一个长方体的高为80 cm ，长比宽多10 cm ，则这个长方体的体积y (cm 3)与长方体的宽x (cm)之间的表达式是________．
y ＝80x (x ＋10)，x ∈(0，＋∞) [由题意可知，长方体的长为(x ＋10)cm ，从而长方体的体积y ＝80x (x ＋10)，x >0.]
三、解答题
9．画出二次函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f (0)，f (1)，f (3)的大小； (2)求函数f (x )的值域．
[解] f (x )＝－(x －1)2＋4的图象如图所示：
(1)f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0， 所以f (1)>f (0)>f (3)．
(2)由图象可知二次函数f (x )的最大值为f (1)＝4， 则函数f (x )的值域为(－∞，4]．
10．(1)已知f (x )是一次函数，且满足2f (x ＋3)－f (x －2)＝2x ＋21，求f (x )的解析式；
(2)已知f (x )为二次函数，且满足f (0)＝1，f (x －1)－f (x )＝4x ，求f (x )的解析式； (3)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －1x ＝x 2＋1x 2＋1，求f (x )的解析式．
[解] (1)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，
则2f (x ＋3)－f (x －2)＝2[a (x ＋3)＋b ]－[a (x －2)＋b ]＝2ax ＋6a ＋2b －ax ＋2a －b ＝ax ＋8a ＋b ＝2x ＋21，
所以a ＝2，b ＝5，所以f (x )＝2x ＋5. (2)因为f (x )为二次函数，
设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由f (0)＝1，得c ＝1. 又因为f (x －1)－f (x )＝4x ，
所以a (x －1)2＋b (x －1)＋c －(ax 2＋bx ＋c )＝4x ，整理，得－2ax ＋a －b ＝4x ，求得a ＝－2，b ＝－2，
所以f (x )＝－2x 2－2x ＋1.
(3)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2＋1＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －1x 2
＋3.∴f (x )＝x 2＋3.
[等级过关练]
1．已知函数f (2x ＋1)＝3x ＋2，且f (a )＝2，则a 的值为( ) A ．－1 B ．5 C ．1
D ．8
C [由3x ＋2＝2得x ＝0， 所以a ＝2×0＋1＝1. 故选C.]
2．一等腰三角形的周长是20，底边长y 是关于腰长x 的函数，则它的解析式为( )
A ．y ＝20－2x
B ．y ＝20－2x (0<x <10)
C ．y ＝20－2x (5≤x ≤10)
D ．y ＝20－2x (5<x <10) D [由题意得y ＋2x ＝20， 所以y ＝20－2x ，
又2x >y ，即2x >20－2x ，即x >5， 由y >0即20－2x >0得x <10， 所以5<x <10.故选D.]
3．已知f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，则f (x )的解析式为________．
f(x)＝1
3x
2－2x[以－x代替x得：f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.
与f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x联立得：f(x)＝1
3x
2－2x.]
4．设f(x)＝2x＋a，g(x)＝1
4(x
2＋3)，且g(f(x))＝x2－x＋1，则a的值为________．
－1[因为g(x)＝1
4(x
2＋3)，所以g(f(x))＝14[(2x＋a)2＋3]＝14(4x2＋4ax＋a2＋
3)＝x2－x＋1，求得a＝－1.]
5．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2 m，渠深为1.8 m，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)
(1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数；
(2)确定函数的定义域和值域．
[解](1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2 m，上底为(2＋2h)m，高为
h m，∴水的面积A＝[2＋(2＋2h)]h
2
＝h2＋2h(m2)．
(2)定义域为{h|0<h<1.8}．值域由二次函数A＝h2＋2h(0<h<1.8)求得．
由函数A＝h2＋2h＝(h＋1)2－1的图象可知，在区间(0,1.8)上函数值随自变量的增大而增大，
∴0<A<6.84.
故值域为{A|0<A<6.84}．。