《高层结构设计》+-+05框架-剪力墙结构的内力和位移计算.pdf

图5
框架－剪力墙协同工作原理
框架－剪力墙体系在水平荷载作用下， 由框架和剪力墙共同承受外荷载。 将链杆切断后， 在楼层标高处，剪力墙与框架之间有相互作用的集中力 PFi[图 5（b）]。对剪力墙来说，除 外荷载外还有框架给墙的集中反作用力 PFi。为了计算方便，可以把集中力简化为连续的分 布力 PF[图 5（c）]，与此对应，原来只是在每一楼层标高处剪力墙与框架变形相同的变形 连续条件[图 5（a）]也可以简化为沿整个建筑高度范围内剪力墙与框架变形都相同的变形连 续条件。 当楼层数目较多时，这一由集中变为连续的简化不会带来很大误差。这样，剪力墙可视 为下端固定、上端自由，承受外荷载与框架弹性反力的一个“弹性地基梁” [图 5（c）]； 框架就是梁的“弹性地基” [图 5（d）]。由此两者共同承受水平荷载，这就是框架－剪力 墙协同工作的基本原理。
下， VW + V F = P ，即 −
EI W d 3 y C F dy + =P H 3 dξ 3 H dξ dy =0 dξ d2y =0 dξ 2
（2）当 x = 0 （即 ξ = 0 ）时，剪力墙底部转角为 0，即
（3）当 x = H （即 ξ = 1 ）时，剪力墙顶部弯矩 M W 为 0，即 （4）当 x = 0 （即 ξ = 0 ）时，剪力墙底部位移为 0，即 y = 0
墙结构，计算简图将如图 3（b）所示。图中总剪力墙包含 2 片剪力墙，总框架包含 5 榀框 架，链杆代表刚性楼板的作用，将剪力墙与框架连在一起，同一楼层标高处，有相同的水平 位移。这种连接方式或计算简图称为框架－剪力墙绞结体系。 2. 通过楼板和连梁 图 4（a）所示结构平面是另一种情况。横向抗侧力结构有 2 片双肢墙和 5 榀框架，如 图 4（b）所示，双肢墙的连梁对墙肢会产生约束弯矩，画计算简图时为了简单，常将图 4 （b）画为图 4（c）的形式，将连梁与楼盖链杆的作用综合为总连杆。图 4（c）中剪力墙与 总连杆间用刚结，表示剪力墙平面内的连梁对墙有转动约束，即能起到连梁的作用；框架与 总连杆间用绞结，表示楼盖链杆的作用。被连接的总剪力墙包含 4 片墙，总框架包含 5 榀框 架；总连杆中包含 2 根连梁，每梁有两端与墙相连，即 2 根连梁的 4 个刚结端对墙肢有约束 弯矩作用。这种连接方式或计算简图称为框架－剪力墙刚结体系。
图2
框架－剪力墙协同工作受力和变形
由以上的初步分析可见， 楼板和连梁的连接作用使框架与剪力墙协同工作， 有共同的变 形曲线，因而在框架与剪力墙之间产生了相互作用的力，这些力之上而下并不是相等的，有 时甚至会改变方向[图 2（b）]。 在以往的设计中，为了计算简单，常常假设剪力墙承担 80％的水平力，框架承担 20％ 的水平力，显然，这样没有考虑框架和剪力墙协同工作的特点，而是一律按固定的比例来分 配水平力，结果不仅太粗糙，也是不合理的。所以，较准确的计算应考虑框架－剪力墙的协 同工作，正确的解决框架与剪力墙之间的相互作用力。 框架－剪力墙结构协同工作的计算方法很多， 但主要分两大类： 一类用矩阵位移法通过 计算机进行求解； 一类是在基本假设基础上的简化计算方法。 本章主要介绍工程中常用的一 种借助于图表曲线的简化计算方法。
CF 0 =
∆M CF ∆M + ∆N
式中：C F 0 为框架考虑了柱轴向变形影响后的等效刚度； ∆ M 为仅考虑梁、柱弯曲变形时框 架的顶点位移； ∆ N 为仅考虑柱轴向变形时框架的顶点位移。
∆ M 和 ∆ N 可用第三章中的简化方法计算，计算时可以任意给定荷载，但必须使用相同
的荷载计算 ∆ M 和 ∆ N 。
VF ，下面分别给出三种典型水平荷载下的计算公式。
1. 均布水平荷载
图9
均布水平荷载
2. 倒三角形荷载
图 10
倒三角形水平荷载
3. 顶部作用水平集中力
图 11
顶部水平集中力
PH 3
dy dx
d 4 y C F d 2 y p ( x) − = EI W dx 4 EI W dx 2
为了以后应用方便，引入符号：
λ=H
CF x ，ξ = H EI W
其中：λ 是一个无量纲的量，称为结构刚度特征值，它是与剪力墙和框架的刚度比有关 的一个参数，对剪力墙的受力状态和变形状态有很大的影响；ξ 为相对坐标，坐标原点取在 固定端处。 引入上述符号后，方程可变为：
EI W =
值：
CF
∑E I ∑h ∑C h = ∑h
Fj j
j Wj j
j
hj
式中： E j I Wj 为剪力墙沿竖向各段的抗弯刚度；C Fj 为框架沿竖向各段的抗剪刚度；h j 为各 段相应的高度。 当框架的高度大于 50m 或大于其宽度的 4 倍时，应考虑柱轴向变形对框架－剪力墙体 系的内力和位移的影响，这时可用考虑柱轴向变形影响后的等效刚度来代替上述的框架刚 度，其计算公式为：
第二节
框架－剪力墙绞结体系在水平荷载下的计算
一、总剪力墙和总框架刚度的计算
总剪力墙抗弯刚度 EI W 是每片墙抗弯刚度的总和，即 EI W = 的等效抗弯刚度，可用第四章中介绍的方法计算。 总框架是所有梁、柱单元的总和，总框架的抗剪刚度是所有框架柱抗剪刚度的总和。框 架的抗剪刚度（或剪切刚度，有时也简称为框架的刚度）定义是：产生单位层间变形间所需 的剪力 C F [图 6（a）]， C F 可以由框架柱的 D 值求出来。由图 6，总框架的抗剪刚度为：
正负号仍采用梁中通用的规定，图 7 中所示均为正号方向。 框架的剪力可由下式求出：
VF = C Fθ = C F
dy C F dy = dx H dξ
也可以由总剪力减去剪力墙的剪力得到： V F = V P − VW
三、三种水平荷载作用时的计算公式与图表
由上面的分析可见，总剪力墙及总框架内力和位移的主要计算公式是 y 、 M W 、VW 及
2 d4y p(ξ ) H 4 2 d y λ − = EI W dξ 4 dξ 2
这就是求解侧移 y (ξ ) 的基本微分方程。
边界条件：
（1）当 x = H （即 ξ = 1 ）时，在倒三角形分布及均布水平荷载下，框架－剪力墙顶部总 剪力为 0，V = VW + V F = 0 ，即 −
EI W d 3 y C F dy + = 0 ；在顶部集中水平力作用 H 3 dξ 3 H dξ
框架－剪力墙协同工作原理和计算简图
图1
剪力墙和框架的变形
但是，框架－剪力墙结构是互相连结在一起的一个整体结构，并不是单独分开的[图 2 （a）]，因此，它的变形曲线就不会像图 1 那样，而是介于弯曲型和剪切型之间的一种中间 状况，为了清楚起见，将它画在图 2（c）中。图 2（c）中 a 为剪力墙单独变形的曲线，b 为框架单独变形的曲线，c 为框架－剪力墙结构协同变形的曲线。 从图 2（c）可以看出，在结构的上部剪力墙的位移比框架要大，而在结构的下部，剪 力墙的位移又比框架要小。在结构下部，框架把墙向右拉，墙把框架向左边拉[图 2（b）]， 因而框架－剪力墙的位移比框架的单独位移要小，比剪力墙的单独位移要大；在结构上部， 与之相反，框架把墙向左推，墙把框架向右推[图 2（b）]，因而框架－剪力墙结构的位移比 框架的单独位移要大，比剪力墙的单独位移要小。
∑ EI
eq
。 EI eq 为每片墙
CF = h × ∑ D j
式中求和号表示同层中所有柱 D 值之和。
图6
框架的抗剪刚度
（a）框架的抗剪刚度； （b）框架的 D 值
在连续化的协同工作计算法中，假定总剪力墙各层抗弯刚度相等，为 EI W ；总框架各 层抗剪刚度也相等，为 C F 。而实际工程中，各层的 EI W 或 C F 可能不同，如果各层刚度变 化太大， 则本方法不适用； 如果相差不大， 则可用沿高度加权平均方法得到平均的 EI W 和 C F
在给定的荷载下，由上述边界条件可求出基本微分方程的解，即侧移 y ；侧移 y 求出 后，剪力墙任意截面的转角 θ ，弯矩 M 及剪力 V 可由下列微分关系式求得：
θ=
dθ d 2 y EI W d 2 y = EI W = 2 M W = EI W 2 2 dx dx H dξ dM W EI W d 3 y d3y = − EI W = − VW = − dx dx 3 H 3 dξ 3 dy 1 dy = dx H dξ
二、基本方程及其解
框架－剪力墙绞结体系连续化计算方法的计算归结为计算简图 5（c）所示悬臂墙和图 5 （d）所示框架的协同工作。 对悬臂墙来说，除承受分布荷载 p ( x) 外，还承受框架给它的弹性反力 p F 。弯曲变形、 内力和荷载间有如下的关系（图 7） ：
d2y dx 2 d3y VW = − EI W dx 3 M W = EI W
d4y pW = p ( x) − p F = EI W dx 4
图7
墙的荷载和内力
图8
框架受力与变形
对框架而言，当变形为 θ θ =

dy ： 时，框架所受的剪力为（图 8） dx
VF = C Fθ = C F dVF d2y 微分一次得： = CF = − pF dx dx 2 ⇒
框架－剪力墙结构的内力和位移计算
第一节
一、问题的提出
框架－剪力墙结构是由框架和剪力墙组成的结构体系， 在这种结构体系中， 剪力墙的侧 向刚度比框架的侧向刚度大得多。 由于剪力墙的侧向刚度大， 因而承受水平荷载的主要部分， 框架有一定的侧移刚度，也承受一定的水平荷载；它们各承受水平荷载的多少，主要取决于 剪力墙和框架侧向刚度之比， 但又不是一个简单的比例关系。 因为框架－剪力墙结构是由框 架和剪力墙两部分共同组成的， 因而在水平荷载作用下， 就存在框架与剪力墙之间是如何协 同工作的问题。 为了说明问题，不妨先把框架－剪力墙结构拆开呈框架和剪力墙两个独立部分（图 1） 。 图 1（a）剪力墙是一个竖向悬臂梁，在水平荷载作用下，变形曲线如图 1（a）中虚线所示， 以弯曲变形为主；图 1（b）框架在水平荷载作用下的变形如图 1（b）中虚线所示，是以剪 切变形为主的。
图4
框架－剪力墙刚结体系
（a）结构平面图； （b）双肢墙与框架； （c）计算简图
对图 4（a）所示结构，当计算纵向地震作用时，计算图仍可画为图 4（c）的统一形式。 确定总剪力墙、总框架和总连杆时要注意，中间两片抗侧力结构中，又有剪力墙又有柱；一 端与墙相连、另一端与柱（即框架）相连的梁也称为连梁，该梁对墙和柱都会产生转动约束 作用；但该梁对柱的约束作用已反映在柱的 D 值中，该梁对墙的约束作用仍以刚结的形式 反映，所以仍可画为图 4（c）中一端刚结、一端绞结的形式，所以图 4（a）结构在纵向地 震作用的计算简图仍为图 4 （c） 。 总剪力墙包含 4 片墙， 总框架包含 2 榀框架和 6 根柱子 （也 起框架作用） ，总连杆中包含 8 根一端刚结、一端绞结的连梁，即 8 个刚结端对墙肢有约束 弯矩作用。
二、两种计算简图
框架－剪力墙结构的计算简图，主要是确定如何合并总剪力墙、总框架，以及确定总剪 力墙和总框架之间的连接和相互作用方式。剪力墙和框架之间的连接（a）结构平面图； （b）计算简图
图 3（a）所示框架－剪力墙结构，框架和剪力墙是通过楼板的作用连接在一起的，刚 性楼板保证了在水平力作用下， 同一楼层标高处， 剪力墙与框架的水平位移是相同的； 另外， 楼板平面外刚度为 0，它对各平面抗侧力结构不产生约束弯矩。如图 3（a）所示框架－剪力
最后要指出：计算地震力对结构的影响时，纵、横两个方向均需考虑。计算横向地震力 时，考虑沿横向布置的抗震墙和横向框架；计算纵向地震力时，考虑沿纵向布置的抗震墙和 纵向框架；取墙截面时，另一方向的墙可作为翼缘，取一部分有效宽度，取法见第四章。
三、协同工作的基本原理
图 3（b）和图 4（c）所示的计算简图仍是一个多次超静定的平面结构，欲做简化计算 还需作进一步的假设，采用更简单的计算简图，才适合手算。 现以框架－剪力墙绞结体系（图 5）为例，说明协同工作的基本原理。