129常系数非齐次线性微分方程

y py qy f (x) (1)
对应齐次线性微分方程：
y py qy 0
(2)
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Revised March 2006 June 2005
y py qy f (x)
(1)
y py qy 0
Q(x) ax Q(x) a Q(x) 0
代入公式 (3):
0 (2 2)a 0ax 4a 1
a1
4
y* 1 xex
通解：
4 y C1e3x C2ex
1 xex 4
Q(x) (2 p)Q( x) ( 2 p q)Q( x) P ( x) RevisedmMarch 2006
Qm (x) a0 xm a1xm1 ... am1x am
将Qm(x) 代入方程 (3)，比较两端同次幂的系数
即可求出待定系数：a0, a1, …, am
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2 p q 0
则 Q(x) 与 Pm(x) 是同次多项式：Q(x) Qm (x)
方程的通解形如： y* Qm (x)ex
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Q(x) (2 p)Q(x) ( 2 p q)Q(x) Pm (x)
且
2 p 0
Q(x) Pm (x)
则 Q’’(x) 与 Pm(x) 是同次多项式，Q(x) 是比
Pm(x) 高 2 次的多项式：Q(x) Qm2 (x) x2Qm (x)
方程的通解形如：
Qm＋2(x) 的零次幂和一次幂不起作用
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y* x2Qm (x)ex
x 1 e2x
因为 f(x) 中含有指数函数
(2x2 1)ex
因此特解 y* 中也必须有指数函数
设特解
y* Q(x)ex
其中 Q(x) 是一个待定的多项式
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y* Q(x)ex
代入公式 (3):
6ax 2b0Q(x) 0Q(x) 1 x
6ax 2b 1 x
a 1, b 1
62
y* (ax3 bx2 )ex 1 (x3 3x2 )ex
6
Q(x) (2 p)Q( x) ( p q)Q( x) P ( x) http://xuxz.nease.net
λ = 0 因为 λ = 0 不是特征根，设特解：
y* ax2 bx c
求导： y* 2ax b
y* 2a
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y* ax2 bx c y* 2ax b y* 2a
当 0 是特征单根 (q 0, p 0)
(q 0, p 0) 当 0 是特征重根
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例 求通解：y y 2x2 3
解 特征方程： r2 1 0 特征根： r i
对应齐次方程的通解：Y C1 cos x C2 sin x
y* x2(ax b)ex (ax3 bx2 )ex
Q(x) ax3 bx2 Q(x) 6ax 2b
Q(x) 3ax2 2bx
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Q(x) ax3 bx2 y 2 y y (1 x)ex Q(x) 3ax2 2bx Q(x) 6ax 2b
12.9 常系数非齐次线性微分方程
Nonhomogeneous Linear Equations with Constant Coefficients
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二阶常系数非齐次线性微分方程：
特别地， y py qy Pm (x)
此公式见 《学习手册》339页
特解形式为：
y* xkQm (x)
0
r2 pr q 0
r2 pr 0 r2 0
0
k


1
2
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当 0 不是特征根 (q 0)
y* xQm (x)ex
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Q(x) (2 p)Q(x) ( 2 p q)Q(x) Pm (x)
(3) 若 λ 是特征重根： 2 p q 0
2
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y 2 y y (1 x)ex
y* 1 (x3 3x2 )ex 6
Y (C1 C2x)ex
通解：
y
(C1
C2x)ex
1 (x3 6
3x2 )ex
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综上所述， y py qy Pm (x)ex
的特解形式为：
0
y* xkQm (x)ex
k


1
2 此公式见《学习手册》338页
当 λ 不是特征根 当 λ 是特征单根 当 λ 是特征重根
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如何求出原方程 的一个特解？ 原方程 的一个特解应当具有什么形式？ 这与方程
y py qy f (x)
与自由项 f(x) 的形式有关。
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(2) 若 λ 是特征单根： 2 p q 0
但
2 p 0
Q(x) (2 p)Q(x) Pm (x)
则 Q’(x) 与 Pm(x) 是同次多项式，Q(x) 是比
Pm(x) 高一次的多项式：Q(x) Qm1(x) xQm (x)
方程的通解形如：
Qm＋1(x) 的零次幂不起作用
Q(x) (2 p)Q(x) ( 2 p q)Q(x) Pm (x)
(3)
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Q(x) (2 p)Q(x) ( 2 p q)Q(x) Pm (x) (1) 若 λ 不是特征根：
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y* ax2 bx c a 2, b 0, c 7
y* 2x2 7 Y C1 cos x C2 sin x
通解： y Y y * C1 cos x C2 sin x 2x2 7
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求导： y * Q(x)ex Q(x)ex [Q(x) Q(x)]ex
再求导：y * [Q(x) Q(x)]ex [Q(x) Q(x)]ex
[Q(x) 2Q(x) 2Q(x)]ex
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y py qy Pm (x)ex
y* Q(x)ex y * [Q(x) Q(x)]ex y * [Q(x) 2Q(x) 2Q(x)]ex
代入原方程，并约去 eαx ，得
一、 设 f (x) Pm (x)ex 其中 Pm(x) 是 m 次多项式
y py qy Pm (x)ex
I 型自由项
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2
y py qy Pm (x)ex
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y

(C1

C2
x)ex

1 6
(
x3

3x2
)ex
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y (C1 C2x)ex
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例 求通解： y 2 y 3y ex
解 特征方程：r2 2r 3 0 特征根： r1 3, r2 1
对应齐次方程的通解： Y C1e3x C2ex
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y

C1e3x

C2e x

1 4
xe x
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y C1e3x C2ex
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λ = -1 因为 λ = -1是特征单根，设特解：
y* x aex axex
Q(x) ax Q(x) a Q(x) 0
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y 2 y 3y ex y* axex
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y C1 cos x C2 sin x 2x2 7
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Y C1 cos x C2 sin x
(2)
二阶常系数非齐次线性微分方程的求解步骤
(1) 求出对应齐次线性方程 (1) 的通解：
Y C1 y1 C2 y2
已会了
(2) 求出原方程 (1) 的一个特解：y* 还不会
(3) 写出原方程 的通解：y = Y + y*
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谁不会？
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例 求通解： y 2 y y (1 x)ex
ห้องสมุดไป่ตู้
解 特征方程： r2 2r 1 0 特征根： r 1 二重根
对应齐次方程的通解： Y (C1 C2 x)ex
λ = 1 因为 λ = 1是特征重根，设特解：
代入原方程： y y 2x2 3 2a ax2 bx c 2x2 3 ax2 bx (2a c) 2x2 3
比较两端同次幂的系数，得
a 2, b 0, 2a c 3, c 7
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