2022-2023学年北师大版九年级数学下册《1-6利用三角函数测高》填空专项练习题(附答案)

2022-2023学年北师大版九年级数学下册《1.6利用三角函数测高》
填空专项练习题（附答案）
1．喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟．丹丹在汨罗江国际龙舟竞渡中心广场点P处观看200米直道竞速赛．如图所示，赛道AB为东西方向，赛道起点A位于点P的北偏西30°方向上，终点B位于点P的北偏东60°方向上，AB＝200米，则点P到赛道AB的距离约为米（结果保留整数，参考数据：≈1.732）．
2．如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，2小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是海里．（结果保留根号）
3．如图，码头A在码头B的正东方向，它们之间的距离为10海里．一货船由码头A出发，沿北偏东45°方向航行到达小岛C处，此时测得码头B在南偏西60°方向，那么码头A 与小岛C的距离是海里（结果保留根号）．
4．如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A在它的北偏东60°方向上，航行12海里到达点C处，测得小岛A在它的北偏东30°方向上，那么小岛A到航线BC的距离等于海里．
5．如图，城中有一高层建筑物A，一辆汽车在一条东西方向的笔直公路上由西向东行驶，在点B处测得建筑物A位于它的东北方向，此时汽车与建筑物相距2公里，继续行驶至点D处，测得建筑物A在它的北偏西60°方向，此时汽车与建筑物距离AD为公里．
6．如图，已知公路l上A，B两点之间的距离为20米，点B在C的南偏西30°的方向上，A在C的南偏西60°方向上，则点C到公路l的距离为米．
7．如图，上午9时，一艘船从小岛A出发，以12海里/小时的速度向正北方向航行，10时40分到达小岛B处，若从灯塔C处分别测得小岛A、B在南偏东34°、68°方向，则小岛B处到灯塔C的距离是海里．
8．如图所示，海面上有一座小岛A，一艘船在B处观测A位于西南方向20km处，该船向正西方向行驶2小时至C处，此时观测A位于南偏东60°，则船行驶的路程约为．（结果保留整数，≈1.41，≈1.73，≈2.45）
9．一艘轮船以15千米时的速度向正东方向航行，到达A点时测得小岛C在点A北偏东60°方向；继续航行一小时到达B点，这时测得小岛C在点B的东北方向；再继续航行小时，轮船刚好到达小岛C的正南方向．
10．如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P 的距离为海里（结果保留根号）．
11．如图，海中有一个小岛A．一艘轮船由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上；航行12nmile到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．小岛A到航线BC的距离是nmile（≈1.73，结果用四舍五入法精确到0.1）．
12．如图，甲，乙两艘船同时从港口A出发，甲船沿北偏东45°的方向前进，乙船沿北偏东75°方向以每小时30海里的速度前进，两船航行两小时分别到达B，C处，此时测得甲船在乙船的正西方向，则甲船每小时行驶海里．
13．如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东53°方向走了400m到达B 点，然后再沿北偏西37°方向走了300m到达目的地C．此时A，C两点之间的距离为m．
14．如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小雅同学在南岸B处测得对岸A 处一棵柳树位于北偏东60°方向，她沿着河岸向东步行60米后到达C处，此时测得柳树位于北偏东30°方向，则河面的宽度是米．
15．一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛60海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为海里/小时．
16．某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续向北走70m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北偏东53°方向．请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为m．（参考数据：tan37°≈，tan53°≈）
17．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船与观测站之间的距离（即OB的长）为km．
18．如图，一个机器人从A地沿着西南方向先前进了4米到达B地，观察到原点O地在它的南偏东60°的方向上，则A、O两地的距离等于米．
19．如图，一艘货轮以40海里/小时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的东北方向有一灯塔B，货轮继续向北航行30分钟后到达C点，发现灯塔B在它北偏东75°方向，则此时货轮与灯塔B的距离为海里．（结果精确到0.1海里，参考数据：≈1.414，≈1.732）
20．如图，某海监船以30海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P 在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为海里．
21．如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东60°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市北偏东30°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西60°方向．当在主输气管道AC上寻找支管道连接点N，使到该小区M铺设的管道最短时，AN的长为米．
22．如图，为了测量河宽CD，先在A处测得对岸C点在其北偏东30°方向，然后沿河岸直行100米到点B，在B点测得对岸C点在其北偏西45°方向，则河宽CD是米．（结果保留根号）
23．如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，则B，C两地的距离千米．
24．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A、C两港之间的距离为km．
参考答案
1．解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，
设PC＝x米，
在Rt△APC中，∠APC＝30°，
∴AC＝PC•tan30°＝x（米），
在Rt△CBP中，∠CPB＝60°，
∴BC＝CP•tan60°＝x（米），
∵AB＝200米，
∴AC+BC＝200，
∴x+x＝200，
∴x＝50≈87，
∴PC＝87米，
∴点P到赛道AB的距离约为87米，
故答案为：87．
2．解：作BD⊥AC于点D．
∵∠CBA＝25°+50°＝75°，∠CAB＝（90°﹣70°）+（90°﹣50°）＝20°+40°＝60°，
∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝30°，
∴∠CBD＝∠CBA﹣∠ABD＝75°﹣30°＝45°．
在Rt△ABD中，∠CAB＝60°，AB＝2×20＝40，
BD＝AB•sin∠CAB＝40•sin60°＝40×＝20．
在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，cos C＝，
∴∠C＝90﹣∠CBD＝45°，
则BC＝BD＝20（海里）．
故答案为：20．
3．解：过C作CD⊥BA于D，如图：
则∠CDB＝90°，
由题意得：∠BCD＝60°，∠CAD＝90°﹣45°＝45°，∴△ACD是等腰直角三角形，
∴CD＝AD，AC＝CD，
设CD＝AD＝x海里，则AC＝x海里，
在Rt△BCD中，tan∠BCD＝＝tan60°＝，
∴BD＝CD＝x（海里），
∵BD＝AD+AB，
∴x＝x+10，
解得：x＝5+5，
∴x＝×（5+5）＝5+5，
即AC＝（5+5）海里，
故答案为：（5+5）．
4．解：过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，
由题意得：BC＝12海里，∠ABC＝90°﹣60°＝30°，∠ACE＝90°﹣30°＝60°，∴∠BAC＝∠ACE﹣∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝∠ABC，
∴AC＝BC＝12海里，
在Rt△ACE中，sin∠ACE＝，
∴AE＝AC•sin∠ACE＝12×＝6（海里），
即小岛A到航线BC的距离是6海里，
故答案为：6．
5．解：如图，过点A作AC⊥BD于点C，
根据题意可知，∠BAC＝∠ABC＝45°，∠ADC＝30°，AB＝2公里，
在Rt△ABC中，AC＝BC＝AB•sin45°＝2×＝（公里），
在Rt△ACD中，∠ADC＝30°，
∴AD＝2AC＝2（公里），
即此时汽车与建筑物距离AD为2公里．
故答案为：2．
6．解：如图，过点C作CD⊥公路l于点D，
则∠ADC＝90°，∠BCD＝30°，∠ACD＝60°，AB＝20米，
∴∠ACB＝∠ACD﹣∠BCD＝60°﹣30°＝30°，∠CAD＝90°﹣∠ACD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ACB＝∠CAD，
∴BC＝AB＝20米，
在Rt△BCD中，cos∠BCD＝，
∴CD＝BC•cos∠BCD＝20×＝10（米），
故答案为：10．
7．解：连接AB幷延长，如图，
由题意得：AB＝12×＝20（海里），
∵从灯塔C处分别测得小岛A、B在南偏东34°、68°方向，
∴∠CAB＝34°，∠ACB＝68°﹣34°＝34°，
∴∠CAB＝∠ACB，
∴BC＝AB＝20海里，
即小岛B处到灯塔C的距离是20海里，
故答案为：20．
8．解：作AD⊥BC于D，
则∠ABD＝90°﹣45°＝45°，∠ACD＝90°﹣60°＝30°，
∴BD＝AD＝AB＝10，CD＝AD＝10，
∴BC＝BD+CD＝10+10≈39（km）；
故答案为：39km．
9．解：如图，由题意得，AB＝15千米，∠EAC＝60°，∠FBC＝45°，
过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，
∵∠EAC＝60°，∠FBC＝45°，
∴∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∠CBD＝90°﹣45°＝45°，设CD＝x千米，则AD＝（x+15）千米，
在Rt△ACD中，
∵∠CAD＝30°，
∴AD＝CD，
即15+x＝x，
解得x＝（千米），
即CD＝BD＝千米，
需要的时间为：÷15＝（时），
答：再继续航行小时，轮船刚好到达小岛C的正南方向．
10．解：过P作PC⊥AB于C，如图所示：
由题意得：∠APC＝30°，∠BPC＝45°，P A＝50海里，
在Rt△APC中，cos∠APC＝，
∴PC＝P A•cos∠APC＝50×＝25（海里），
在Rt△PCB中，cos∠BPC＝，
∴PB＝＝＝25（海里），
故答案为：25．
11．解：过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，由题意得，∠BAE＝60°，∠CAE＝30°，
∴∠ABC＝30°，∠ACE＝60°，
∴∠BAC＝∠ACE﹣∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝∠ABC，
∴AC＝BC＝12nmile，
在Rt△ACE中，sin∠ACE＝，
∴AE＝AC•sin∠ACE＝6≈10.4（nmile），
故小岛A到航线BC的距离是10.4nmile，
故答案为10.4．
12．解：设甲船每小时行驶x海里，则AB＝2x海里，如图，
作BD⊥AC于点D，在AC上取点E，使BE＝CE，根据题意可知：
∠BAD＝30°，∠C＝15°，
∴∠BED＝30°，
∴AD＝DE＝x，
CE＝BE＝AB＝2x，
∴AD+DE+CE＝60，
即x+x+2x＝60，
解得x＝15（﹣1）（海里）．
答：甲船每小时行驶15（﹣1）海里．
故答案为：15（﹣1）．
13．解：如图，由题意得：AB＝400m，BC＝300m，∠CBD＝37°，∠BAF＝53°，AF∥DE，
∴∠ABE＝∠BAF＝53°，
∴∠ABC＝180°﹣∠CBD﹣∠ABE＝180°﹣37°﹣53°＝90°，
∴AC＝＝＝500（m），
即A，C两点之间的距离为500m，
故答案为：500．
14．解：如图，过A作AD⊥BC于D，
由题意可知：BC＝60米，∠ABD＝30°，∠ACD＝60°，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝30°，
∴∠ABC＝∠BAC，
∴BC＝AC＝60（米）．
在Rt△ACD中，AD＝AC•sin60°＝60×＝30（米）．
即这条河的宽度为30米，
故答案为：30．
15．解：如图所示：
设该船行驶的速度为x海里/时，
3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，
由题意得：AB＝60海里，BC＝3x海里，
在直角三角形ABQ中，∠BAQ＝60°，
∴∠B＝90°﹣60°＝30°，
∴AQ＝AB＝30，BQ＝AQ＝30，
在直角三角形AQC中，∠CAQ＝45°，
∴CQ＝AQ＝30，
∴BC＝30+30＝3x，
解得：x＝10+10（海里/时）．
即该船行驶的速度为（10+10）海里/时；
故答案为：10+10．
16．解：如图，过C作CE⊥BA于E．
设EC＝xm，BE＝ym，
在Rt△ECB中，tan53°＝≈，
即≈①，
在Rt△AEC中，tan37°＝≈，
即≈②，
由①②得：x＝120，y＝90，
∴EC＝120m，BE＝90m，
∴AE＝70+90＝160（m），
∴AC＝＝＝200（m），
故答案为：200．
17．解：如图所示，过点A作AD⊥OB于点D，
由题意知，∠AOD＝30°，OA＝4km，
则∠OAD＝60°，
∴∠DAB＝45°，
在Rt△OAD中，AD＝OA sin∠AOD＝4×sin30°＝4×＝2（km），OD＝OA cos∠AOD＝4×cos30°＝4×＝2（km），
在Rt△ABD中，BD＝AD＝2km，
∴OB＝OD+BD＝2+2（km），
故答案为：（2+2）．
18．解：如图，过点B作BC⊥OA于C，
在Rt△ABC中，AB＝4米，∠BAC＝45°，
∴AC＝BC＝AB＝4（米）．
在Rt△OBC中，∠OBC＝90°﹣60°＝30°，
∴OC＝BC＝（米），
∴AO＝AC+CO＝（4+）米，
故答案为：（4+）．
19．解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，则∠CDA＝∠CDB＝90°，∵货轮以40海里/小时的速度在海面上航行，向北航行30分钟后到达C点，∴AC＝40×＝20（海里），
∵∠A＝45°，∠BCE＝75°，
∴∠B＝∠BCE﹣∠A＝30°，
∵CD＝AC sin45°＝20×＝10（海里），
∴BC＝2CD＝20≈28.3（海里），
即此时货轮与灯塔B的距离约为28.3海里，
故答案为：28.3．
20．解：在Rt△P AB中，∠APB＝30°，
∴PB＝2AB，
由题意得BC＝2AB，
∴PB＝BC，
∴∠C＝∠CPB，
∵∠ABP＝∠C+∠CPB＝60°，
∴∠C＝30°，
∴PC＝2P A，
∵P A＝AB•tan60°，AB＝30×1＝30（海里），
∴PC＝2×30×＝60（海里），
故答案为：60．
21．解：如图，过C作东西方向线的平行线交过A的南北方向线AE于B，过M作MN⊥AC交于N点，
则MN最短，
∵∠EAC＝60°，∠EAM＝30°，
∴∠CAM＝30°，
∴∠AMN＝60°，
又∵C处看M点为北偏西60°，
∴∠FCM＝60°，
∴∠MCB＝30°，
∵∠EAC＝60°，
∴∠CAD＝30°，
∴∠BCA＝30°，
∴∠MCA＝∠MCB+∠BCA＝60°，
∴∠AMC＝90°，∠MAC＝30°，
∴MC＝AC＝1000，∠CMN＝30°，
∴NC＝MC＝500，
∵AC＝2000米，
∴AN＝AC﹣NC＝2000﹣500＝1500（米），
即该小区M铺设的管道最短时，AN的长为1500米，
故答案为：1500．
22．解：设CD＝x米，
由题意得：CD⊥AB，∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴AD＝CD＝x米，BD＝CD＝x米，
∵AD+BD＝AB＝100米，
∴x+x＝100，
解得：x＝150﹣50，
即河宽CD是（150﹣50）米，
故答案为：（150﹣50）．
23．解：过B作BD⊥AC于点D．
在Rt△ABD中，∠BAD＝60°，AB＝4，sin∠BAD＝，∴BD＝AB•sin∠BAD＝4×＝2（千米），
在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，
∴∠C＝90°﹣∠CBD＝90°﹣45°＝45°，
∴∠CBD＝∠C，
∴CD＝BD＝2千米，
∴BC2＝BD2+CD2＝（2）2+（2）2＝24，
∴BC＝2（千米）．
答：B，C两地的距离是2千米，
故答案为：2．
24．解：如图，过B作BE⊥AC于E，过C作CF∥AD，
则CF∥AD∥BG，∠AEB＝∠CEB＝90°，
∴∠ACF＝∠CAD＝20°，∠BCF＝∠CBG＝40°，∴∠ACB＝20°+40°＝60°，
由题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，AB＝30km，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵AB＝30km，
∴AE＝BE＝AB＝15（km），
在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，tan∠ACB＝，∴CE＝＝＝5（km），
∴AC＝AE+CE＝（15+5）km，
∴A，C两港之间的距离为（15+5）km，
故答案为：（15+5）．。