高三数学各地模拟考试专题精选圆锥曲线

圆锥曲线
1、（2009江西八校4月联考）F 1、F 2是)0(122
22>>=+b a b
y a x 左、右焦点，过F 1的直线与
椭圆相交于A 、B ，且02=⋅AF ，||||2AF =，则椭圆离心率为（ ）
A ．22
B ．2
3
C ．36-
D ．26- C
2、（2009吉安市一模）若方程
14
42
2=+--k y k x 表示双曲线，则它的焦点坐标为 A ．)0,2(),0,2(k k -
B ．)2,0(),2,0(k k -
C ．)0,||2(),0,||2(k k -
D ．由k 决定
D
3、（2009九江市二模）椭圆22
221x y a b
+=(0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆
上一点，l 为左准线，PQ l ⊥，垂足为Q ，若四边形12PQF F 为平行四边形，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A ．1
(0,)2) B ．(0,2) C ．1(,1)2 D ．(2
C
4、（2009上高二中第十次月考）抛物线x y 5362
=的准线与双曲线)0(192
2
2>=-b b y x 的左准线重合，则此双曲线的渐近线方程是（ ） A ．x y 4
3
±= B ．x y 34±
= C ．x y 35±= D ．x y 5
3±= B
5、（2009江西师大附中等五所重点名校4月联考）如图，直线MN 与双曲
线22
22:1x y C a b
-=的左右两支分别交于M 、N 两点，与双曲线C 的右
准线相交于P 点，F 为右焦点，若|FM|=2|FN|，又()NP PM R λλ=∈，则实数λ的取值为（ ） A ．1
2
B ．1
C ．2
D ．
13
A
二、解答题
1、（2009吉安市一模）已知椭圆)1(1:
22
221>>=+b a b
x a y C 与抛物线:2C )0(22>=p py x 的交点分别为B A ，，如图所示，
(1)若2C 的焦点恰好是1C 的上焦点F ，且；AB 过点
F ，求1C 的离心率；
(2)设4
1=
p 且抛物线2C 在A 点处的切线l 与y 轴的交点为)2,0(-D ，求2
2b a +的最小值和
此时椭圆的方程。

解：(1)如图，设F '为椭圆的下焦点，连结F A ' ∴p c F F =='2|| ∵p AF =||∴p F A 2||='…3分
∵a AF F A 2||||=+' ∴p p a +=22 ………4分
∴1C 的离心率为121
212-=+=+==
p p p a c e …………………………………………………………6分 (2)∵4
1=
p ，∴抛物线方程为：y x 212
=设点)2,(200x x A 则),0(0b x ∈ ∵x y 4='
∴A 点处抛物线2C 的切线斜率04x k = ……………………………………………………8分 则切线l 方程为：2
0002)(4x x x x y +-=……………………………………………………9分
又∵过点），（20-D ∴12
0=x ∴10=x ∴)2,1(A
代入椭圆1C 方程得：
11
42
2=+b a ……………………………………………………11分
∴144)14)((22
22222
2
2
2
+++=++=+a
b b a b a b a b a ≥9225=⨯+ ………………13分
1142
2=+b
a 62
=a 当且仅当 即 上式取等号
22224a
b b a = 32
=b
∴此时椭圆的方程为：13
62
2=+x y ………………………………………………14分 2、（2009南昌市一模）设双曲线2
2:12
x C y -=的左、右顶点分别为12,A A ，垂直于x 轴的直线m 与双曲线C 交于不同的两点P 、Q 。

(1)若直线m 与x 轴正半轴的交点为T ，且121A P A Q ⋅=，求点T 的坐标； (2)求直线1A P 与2A Q 的交点M 的轨迹E 的方程；
(3)过点(1,0)F 作直线l 与(2)中的轨迹E 交于不同的两点A 、B ，设FA FB λ= 若[]2,1λ∈--，求||TA TB + (T 为(1)中的点)的取值范围．
解：（1）由题意得12(A A 设0000(,),(,),P x y Q x y -
则100200(),().AP x y A Q x y ==-
由2
2120
0.121,AP A Q x y =⇒--=即22003,x y -=① …………………………………2分
又00(,)P x y 在双曲线上，则2
2
00 1.2
x y -= ② 联立①、②，解得：02,x =±
由题意，00,x > ∴02,x =∴点T 的坐标为（2，0）. ………………………………4分 （2）设直线1A P 与2A Q 的交点M 的坐标为(,),x y
由1A 、P 、M 三点共线，得：00((x y y x = ①
由2A 、Q 、M 三点共线，得：00((x y y x =- ②
联①、②立，解得：002,.x y x x
=
= ……………………………………………6分
∵00(,)P x y
在双曲线上，∴2
2
2()() 1.2x x
-=
∴轨迹E 的方程为2
21(0,0).2
x y x y +=≠≠ ………………………………………8分 高三数学（理科）（模拟一）答案第4页
（3）容易验证直线l 的斜率不为0.
故要设直线l 的方程为1x ky =+代入2
212
x y +=中得：22(2)210k y ky ++-= 设11221(,),(,),0A x y B x y y ≠且20y ≠,则由根与系数的关系， 得：12222k y y k +=-
+，① 12
222
k
y y k =-+② ………………………………10分 ∵FA FB λ=，∴有
1
2
,y y λ=且0λ<。

将①式平方除以②式，得： 22
1222
214142222
y y k k y y k k λλ++=-⇒++=-++ 由[]2
2
5111142,122002222k k λλλλλ∈--⇒-≤+≤-⇒-≤++≤⇒=-≤-≤+ 2222
077
k k ⇒≤
⇒≤≤ ……………………………………………………………12分 ∵1122(2,),(2,),TA x y TB x y =-=- ∴1212(4,),TA TB x x y y +=+-+
又122
2,2k
y y k +=-+ ∴2121224(1)4()2,2
k x x k y y k ++-=+-=-+ 故222
222
1212222216(1)4||(4)()(2)(2)
k k TA TB x x y y k k ++=+-++=+++
22222222
16(1)28(2)828816,(2)2(2)
k k k k k +-++==-++++
令21,2t k =
+ ∵2
207k ≤≤ ∴2
711,1622k ≤≤+ 即71[,],162
t ∈ ∴2
2
2717
||()828168().42
TA TB f t t t t +==-+=--
而71[,],162t ∈ ∴169()[4,].32f t ∈ ∴
||TA TB +∈ …………………14分
3、（2009上高二中第十次月考）如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足N 点,0,2=⋅=的轨迹
为曲线E .
（1）求曲线E 的方程；
（2）若直线12++=k kx y 与（1）中所求点N 的轨迹E
交于不同两点O H F ，、是坐标原
点，且23
34
OF OH ≤⋅≤，求△FOH 的面积的取值范围.
解：（I ）2=，0=∙所以NP 为线段AM 的垂直平分线，NM NA =
CA NM NC NA NC =>=+=+222，所以动点N 的轨迹是以()0,1-C ，
()0,1A 为焦点的椭圆，且长轴长为222=a ，焦距22=c ，所以2=a ，1=c ，12=b
曲线E 的方程为12
22
=+y x . 4分
（II ）（2）设Ｆ（x 1，y 1）H （x 2，y 2），则由⎪⎩
⎪⎨⎧++==+11
222
2k kx y y x ，
消去y 得)0(08,0214)12(22222≠>=∆=++++k k k x k k x k
1
22,12142
2
212
221+=++-=+∴k k x x k k k x x
12121212221212222222222
((1))1
(1)24(1)11212121OF OH x x y y x x kx kx k x x x x k k k k k k k k k k ⋅=+=+++=++++++⋅++=-++=+++
22221311,32142
k k k +∴≤≤∴≤≤+ 8分
||FH =
=
又点O 到直线FH 的距离1=d ，
1||2S d FH ∴==
22
121[2,3],
(1),2t k t k t =+∈=-
令
S
∴=
=
2111
23,943
t t ≤≤∴≤≤≤2
3S ≤≤ 12分
4、（2009上饶市一模）
标准椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的两焦点为12,F F ，M 在椭圆
上，且120MF MF ⋅=. （1）求椭圆方程；
（2）若N 在椭圆上，O 为原点，直线l 的方向向量为ON ，若l 交椭圆于A 、B 两点，且NA 、NB 与x 轴围成的三角形是等腰三角形(两腰所在的直线是NA 、NB )，则称N 点为椭圆的特征点，求该椭圆的特征点. 解：(1)在Rt 12F MF ∆中，12
22
F F OM =
=知2C = 则 222
2
231
1a b c a b
=++= 解得22
6,2a b ==∴椭圆方程为22162x y += -------4分 (2)设(,)N m n （m ≠0），l 为n
y x t m
=
+，1122(,),(,)A x y B x y
由n y x t m =+与22162
x y +=得 22
221()10622n n t x tx m m +
++-= -----6分 由点(,)N m n 在椭圆上知，22
21162n m m +=代入得22
2102
x n t tx m m ++-= ∴12x x mnt +=- 2
2
12(1)2
t x x m =-，① -------8分
∴1212212
121212()()()()
()NA NB y n y n y n x m y n x m k k x m x m x x m x x m ----+--+=
+=
---++ 12122
12122
(2)()2()
()n
x x t n x x m t n m x x m x x m +-+--=
-++ 将①式代入得2222
NA NB n k k mt mn -+=+ 又∵NA 、NB 与x 轴围成的三角形是等腰三角形得0NA NB k k +=， ------10分
∴2
1n =代入22
162
m n += 得23m =
(1)N ∴± -------12分
5、（2009江西师大附中等五所重点名校4月联考）图，已知直线l 与抛物线24x y =相切于点P （2，1），且与x 轴交于点A ，O 为坐标原点，定点B 的坐标为（2，0）. （Ⅰ）若动点M 满足2||0AB BM AM ⋅+=，求动点M 的轨迹C ；
（Ⅱ）若过点B 的直线/l （斜率不等于零）与（I ）中的轨迹C 交于不同的两点E 、F （E
在B 、F 之间），试求△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围.
解：（I ）由22144x y y x ==
得， 1
.2
y x '∴=∴直线l 的斜率为2|1x y ='=， 故l 的方程为1y x =-，∴点A 坐标为（1，0）……… 2分
设(,)M x y 则(1,0),(2,),(1,)AB BM x y AM x y ==-=-， 由2||0AB BM AM ⋅
+=
得 (2)00.x y -+⋅+
整理，得2
2 1.2
x y +=……………………4分
∴动点M 的轨迹C 为以原点为中心，焦点在x 轴上，长轴长为2的椭圆 …… 5分
（II ）如图，由题意知直线l 的斜率存在且不为零，设l 方程为y =k （x －2）（k ≠0）①
将①代入2
212
x y +=，整理，得 2222(21)8(82)0k x k x k +-⋅+-=，
由△>0得0<k 2<1
2
. ……………… 6分
设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2）,则2
1222
1228,21
82.21k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
②……………………………7分 令||,||
OBE OBF S BE S BF λλ∆∆==则，
由此可得122
,,0 1.2
x BE BF x λλλ-=⋅=<<-且……………… 8分 由②知1224
(2)(2),21
x x k --+-=
+
121212222
222222)(2)2()4.
21
2141,.10(1)8(1)2
1411
0,0,
2(1)22
3301,
x x x x x x k k k k λλλλλλλλ-⋅-=-++=
++∴==-++<<∴<-<+-<+<
<（即分
解得
31λ∴-<.
∴△
OBE 与△OBF 面积之比的取值范围是（3－1）.…………12分
6、（2009鹰潭市一模）设椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的一个顶点与抛物线C ：x 2＝43y 的
焦点重合，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，且离心率e ＝1
2
.且过椭圆右焦点F 2的直线l 与椭
圆C 交于M 、N 两点.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)是否存在直线l ，使得
OM ·ON ＝－2.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理
由.
(3)若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，MN ∥AB ，求证：|AB |2
|MN |
为定值.
解：椭圆的顶点为(0，3)，即b ＝3，1分 e ＝c a ＝1
2
，所以a ＝2，2分 ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 2
3
＝13分
(2)由题可知，直线l 与椭圆必相交.
①当直线斜率不存在时，经检验不合题意.
②设存在直线l 为y ＝k (x －1)(k ≠0)，且M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).
由⎩⎪⎨⎪⎧
x 24＋y 23＝1y ＝k (x －1)
得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，
x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k 2
，5分
OM ·ON ＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]
＝4k 2－123＋4k 2＋k 2(4k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 2＋1)＝－5k 2－123＋4k 2
＝－2， 所以k ＝±2，故直线l 的方程为y ＝2(x －1)或y ＝－2(x －1).7分 (3)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，A (x 3，y 3)，B (x 4，y 4)
由(2)可得：|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]
＝(1＋k 2
)[(8k 23＋4k 2)2－4(4k 2－123＋4k 2)]＝12(k 2＋1)3＋4k 2
.9分
由⎩⎪⎨⎪⎧
x 24＋y 23＝1y ＝kx
消去y ，并整理得x 2＝123＋4k 2
，
|AB |＝1＋k 2
|x 3－x 4|＝4
3(1＋k 2)
3＋4k 2
，11分
∴|AB |2
|MN |＝48(1＋k 2)3＋4k 212(k 2＋1)
3＋4k 2
＝4为定值.12分
7、（2009重点中学联考盟校一模）已知椭圆
22
110036
x y +=的左右顶点分别为A 1,A 2，是椭圆上不同于的动点，直线P A 1、PA 2与右准线分别交于M 、N 。

（1）求证：OM ON ⋅为定值；
（2）求证：以MN 为直径的圆与x 轴交于两个不同的定点，并求这两点的坐标；
（3）当以MN 为直径的圆的面积最小时，在焦三角形PF 1F 2中，求1221
12
sin sin sin PF F PF F F PF ∠-∠∠的值。

解：（1）
由题意知：，()()1210,010,0A A -、，设()00,P x y ， 则直线1PA 的方程为()001010y y x x =
++ 直线2PA 的方程为()001010
y
y x x =-+。

则122525,,22M y N y ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
、，01045102y y x =
⨯+，0205102y y x =⨯- 222200001222003645581
1,10010010010041004
x y y y y y x x ⨯+=∴=∴=⨯=--- 则可得2
122562581136244OM ON y y ⎛⎫⋅=+=-= ⎪
⎝⎭
（2）以MN 为直径的圆的方程为：2
2
2
121225222y y y y x y ++⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
令()()2
1225810,181724y x y y x ⎛
⎫=-=-=∴= ⎪
⎝
⎭由知或 即此圆与x 轴的交点为与()28,0F 与()17,0Q （均为定点），得证。

（1） 以MN 为直径的圆的面积最小，则2F Q 也为直径 从而得001200455
0,0102102
y y y y x x +=⨯+⨯=+-即
0008y x ≠=，解得。