高三数学各地模拟考试专题精选圆锥曲线
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圆锥曲线
1、(2009江西八校4月联考)F 1、F 2是)0(122
22>>=+b a b
y a x 左、右焦点,过F 1的直线与
椭圆相交于A 、B ,且02=⋅AF ,||||2AF =,则椭圆离心率为( )
A .22
B .2
3
C .36-
D .26- C
2、(2009吉安市一模)若方程
14
42
2=+--k y k x 表示双曲线,则它的焦点坐标为 A .)0,2(),0,2(k k -
B .)2,0(),2,0(k k -
C .)0,||2(),0,||2(k k -
D .由k 决定
D
3、(2009九江市二模)椭圆22
221x y a b
+=(0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ,P 是椭圆
上一点,l 为左准线,PQ l ⊥,垂足为Q ,若四边形12PQF F 为平行四边形,则椭圆的离心率的取值范围是( )
A .1
(0,)2) B .(0,2) C .1(,1)2 D .(2
C
4、(2009上高二中第十次月考)抛物线x y 5362
=的准线与双曲线)0(192
2
2>=-b b y x 的左准线重合,则此双曲线的渐近线方程是( ) A .x y 4
3
±= B .x y 34±
= C .x y 35±= D .x y 5
3±= B
5、(2009江西师大附中等五所重点名校4月联考)如图,直线MN 与双曲
线22
22:1x y C a b
-=的左右两支分别交于M 、N 两点,与双曲线C 的右
准线相交于P 点,F 为右焦点,若|FM|=2|FN|,又()NP PM R λλ=∈,则实数λ的取值为( ) A .1
2
B .1
C .2
D .
13
A
二、解答题
1、(2009吉安市一模)已知椭圆)1(1:
22
221>>=+b a b
x a y C 与抛物线:2C )0(22>=p py x 的交点分别为B A ,,如图所示,
(1)若2C 的焦点恰好是1C 的上焦点F ,且;AB 过点
F ,求1C 的离心率;
(2)设4
1=
p 且抛物线2C 在A 点处的切线l 与y 轴的交点为)2,0(-D ,求2
2b a +的最小值和
此时椭圆的方程。
解:(1)如图,设F '为椭圆的下焦点,连结F A ' ∴p c F F =='2|| ∵p AF =||∴p F A 2||='…3分
∵a AF F A 2||||=+' ∴p p a +=22 ………4分
∴1C 的离心率为121
212-=+=+==
p p p a c e …………………………………………………………6分 (2)∵4
1=
p ,∴抛物线方程为:y x 212
=设点)2,(200x x A 则),0(0b x ∈ ∵x y 4='
∴A 点处抛物线2C 的切线斜率04x k = ……………………………………………………8分 则切线l 方程为:2
0002)(4x x x x y +-=……………………………………………………9分
又∵过点),(20-D ∴12
0=x ∴10=x ∴)2,1(A
代入椭圆1C 方程得:
11
42
2=+b a ……………………………………………………11分
∴144)14)((22
22222
2
2
2
+++=++=+a
b b a b a b a b a ≥9225=⨯+ ………………13分
1142
2=+b
a 62
=a 当且仅当 即 上式取等号
22224a
b b a = 32
=b
∴此时椭圆的方程为:13
62
2=+x y ………………………………………………14分 2、(2009南昌市一模)设双曲线2
2:12
x C y -=的左、右顶点分别为12,A A ,垂直于x 轴的直线m 与双曲线C 交于不同的两点P 、Q 。
(1)若直线m 与x 轴正半轴的交点为T ,且121A P A Q ⋅=,求点T 的坐标; (2)求直线1A P 与2A Q 的交点M 的轨迹E 的方程;
(3)过点(1,0)F 作直线l 与(2)中的轨迹E 交于不同的两点A 、B ,设FA FB λ= 若[]2,1λ∈--,求||TA TB + (T 为(1)中的点)的取值范围.
解:(1)由题意得12(A A 设0000(,),(,),P x y Q x y -
则100200(),().AP x y A Q x y ==-
由2
2120
0.121,AP A Q x y =⇒--=即22003,x y -=① …………………………………2分
又00(,)P x y 在双曲线上,则2
2
00 1.2
x y -= ② 联立①、②,解得:02,x =±
由题意,00,x > ∴02,x =∴点T 的坐标为(2,0). ………………………………4分 (2)设直线1A P 与2A Q 的交点M 的坐标为(,),x y
由1A 、P 、M 三点共线,得:00((x y y x = ①
由2A 、Q 、M 三点共线,得:00((x y y x =- ②
联①、②立,解得:002,.x y x x
=
= ……………………………………………6分
∵00(,)P x y
在双曲线上,∴2
2
2()() 1.2x x
-=
∴轨迹E 的方程为2
21(0,0).2
x y x y +=≠≠ ………………………………………8分 高三数学(理科)(模拟一)答案第4页
(3)容易验证直线l 的斜率不为0.
故要设直线l 的方程为1x ky =+代入2
212
x y +=中得:22(2)210k y ky ++-= 设11221(,),(,),0A x y B x y y ≠且20y ≠,则由根与系数的关系, 得:12222k y y k +=-
+,① 12
222
k
y y k =-+② ………………………………10分 ∵FA FB λ=,∴有
1
2
,y y λ=且0λ<。
将①式平方除以②式,得: 22
1222
214142222
y y k k y y k k λλ++=-⇒++=-++ 由[]2
2
5111142,122002222k k λλλλλ∈--⇒-≤+≤-⇒-≤++≤⇒=-≤-≤+ 2222
077
k k ⇒≤
⇒≤≤ ……………………………………………………………12分 ∵1122(2,),(2,),TA x y TB x y =-=- ∴1212(4,),TA TB x x y y +=+-+
又122
2,2k
y y k +=-+ ∴2121224(1)4()2,2
k x x k y y k ++-=+-=-+ 故222
222
1212222216(1)4||(4)()(2)(2)
k k TA TB x x y y k k ++=+-++=+++
22222222
16(1)28(2)828816,(2)2(2)
k k k k k +-++==-++++
令21,2t k =
+ ∵2
207k ≤≤ ∴2
711,1622k ≤≤+ 即71[,],162
t ∈ ∴2
2
2717
||()828168().42
TA TB f t t t t +==-+=--
而71[,],162t ∈ ∴169()[4,].32f t ∈ ∴
||TA TB +∈ …………………14分
3、(2009上高二中第十次月考)如图所示,已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点,点P 在AM 上,点N 在CM 上,且满足N 点,0,2=⋅=的轨迹
为曲线E .
(1)求曲线E 的方程;
(2)若直线12++=k kx y 与(1)中所求点N 的轨迹E
交于不同两点O H F ,、是坐标原
点,且23
34
OF OH ≤⋅≤,求△FOH 的面积的取值范围.
解:(I )2=,0=∙所以NP 为线段AM 的垂直平分线,NM NA =
CA NM NC NA NC =>=+=+222,所以动点N 的轨迹是以()0,1-C ,
()0,1A 为焦点的椭圆,且长轴长为222=a ,焦距22=c ,所以2=a ,1=c ,12=b
曲线E 的方程为12
22
=+y x . 4分
(II )(2)设F(x 1,y 1)H (x 2,y 2),则由⎪⎩
⎪⎨⎧++==+11
222
2k kx y y x ,
消去y 得)0(08,0214)12(22222≠>=∆=++++k k k x k k x k
1
22,12142
2
212
221+=++-=+∴k k x x k k k x x
12121212221212222222222
((1))1
(1)24(1)11212121OF OH x x y y x x kx kx k x x x x k k k k k k k k k k ⋅=+=+++=++++++⋅++=-++=+++
22221311,32142
k k k +∴≤≤∴≤≤+ 8分
||FH =
=
又点O 到直线FH 的距离1=d ,
1||2S d FH ∴==
22
121[2,3],
(1),2t k t k t =+∈=-
令
S
∴=
=
2111
23,943
t t ≤≤∴≤≤≤2
3S ≤≤ 12分
4、(2009上饶市一模)
标准椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的两焦点为12,F F ,M 在椭圆
上,且120MF MF ⋅=. (1)求椭圆方程;
(2)若N 在椭圆上,O 为原点,直线l 的方向向量为ON ,若l 交椭圆于A 、B 两点,且NA 、NB 与x 轴围成的三角形是等腰三角形(两腰所在的直线是NA 、NB ),则称N 点为椭圆的特征点,求该椭圆的特征点. 解:(1)在Rt 12F MF ∆中,12
22
F F OM =
=知2C = 则 222
2
231
1a b c a b
=++= 解得22
6,2a b ==∴椭圆方程为22162x y += -------4分 (2)设(,)N m n (m ≠0),l 为n
y x t m
=
+,1122(,),(,)A x y B x y
由n y x t m =+与22162
x y +=得 22
221()10622n n t x tx m m +
++-= -----6分 由点(,)N m n 在椭圆上知,22
21162n m m +=代入得22
2102
x n t tx m m ++-= ∴12x x mnt +=- 2
2
12(1)2
t x x m =-,① -------8分
∴1212212
121212()()()()
()NA NB y n y n y n x m y n x m k k x m x m x x m x x m ----+--+=
+=
---++ 12122
12122
(2)()2()
()n
x x t n x x m t n m x x m x x m +-+--=
-++ 将①式代入得2222
NA NB n k k mt mn -+=+ 又∵NA 、NB 与x 轴围成的三角形是等腰三角形得0NA NB k k +=, ------10分
∴2
1n =代入22
162
m n += 得23m =
(1)N ∴± -------12分
5、(2009江西师大附中等五所重点名校4月联考)图,已知直线l 与抛物线24x y =相切于点P (2,1),且与x 轴交于点A ,O 为坐标原点,定点B 的坐标为(2,0). (Ⅰ)若动点M 满足2||0AB BM AM ⋅+=,求动点M 的轨迹C ;
(Ⅱ)若过点B 的直线/l (斜率不等于零)与(I )中的轨迹C 交于不同的两点E 、F (E
在B 、F 之间),试求△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围.
解:(I )由22144x y y x ==
得, 1
.2
y x '∴=∴直线l 的斜率为2|1x y ='=, 故l 的方程为1y x =-,∴点A 坐标为(1,0)……… 2分
设(,)M x y 则(1,0),(2,),(1,)AB BM x y AM x y ==-=-, 由2||0AB BM AM ⋅
+=
得 (2)00.x y -+⋅+
整理,得2
2 1.2
x y +=……………………4分
∴动点M 的轨迹C 为以原点为中心,焦点在x 轴上,长轴长为2的椭圆 …… 5分
(II )如图,由题意知直线l 的斜率存在且不为零,设l 方程为y =k (x -2)(k ≠0)①
将①代入2
212
x y +=,整理,得 2222(21)8(82)0k x k x k +-⋅+-=,
由△>0得0<k 2<1
2
. ……………… 6分
设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2),则2
1222
1228,21
82.21k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
②……………………………7分 令||,||
OBE OBF S BE S BF λλ∆∆==则,
由此可得122
,,0 1.2
x BE BF x λλλ-=⋅=<<-且……………… 8分 由②知1224
(2)(2),21
x x k --+-=
+
121212222
222222)(2)2()4.
21
2141,.10(1)8(1)2
1411
0,0,
2(1)22
3301,
x x x x x x k k k k λλλλλλλλ-⋅-=-++=
++∴==-++<<∴<-<+-<+<
<(即分
解得
31λ∴-<.
∴△
OBE 与△OBF 面积之比的取值范围是(3-1).…………12分
6、(2009鹰潭市一模)设椭圆C :x 2a 2+y 2
b
2=1(a >b >0)的一个顶点与抛物线C :x 2=43y 的
焦点重合,F 1,F 2分别是椭圆的左、右焦点,且离心率e =1
2
.且过椭圆右焦点F 2的直线l 与椭
圆C 交于M 、N 两点.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)是否存在直线l ,使得
OM ·ON =-2.若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理
由.
(3)若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦,MN ∥AB ,求证:|AB |2
|MN |
为定值.
解:椭圆的顶点为(0,3),即b =3,1分 e =c a =1
2
,所以a =2,2分 ∴椭圆的标准方程为x 24+y 2
3
=13分
(2)由题可知,直线l 与椭圆必相交.
①当直线斜率不存在时,经检验不合题意.
②设存在直线l 为y =k (x -1)(k ≠0),且M (x 1,y 1),N (x 2,y 2).
由⎩⎪⎨⎪⎧
x 24+y 23=1y =k (x -1)
得(3+4k 2)x 2-8k 2x +4k 2-12=0,
x 1+x 2=8k 23+4k 2,x 1·x 2=4k 2-123+4k 2
,5分
OM ·ON =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+k 2[x 1x 2-(x 1+x 2)+1]
=4k 2-123+4k 2+k 2(4k 2-123+4k 2-8k 23+4k 2+1)=-5k 2-123+4k 2
=-2, 所以k =±2,故直线l 的方程为y =2(x -1)或y =-2(x -1).7分 (3)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),A (x 3,y 3),B (x 4,y 4)
由(2)可得:|MN |=1+k 2|x 1-x 2|=(1+k 2)[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]
=(1+k 2
)[(8k 23+4k 2)2-4(4k 2-123+4k 2)]=12(k 2+1)3+4k 2
.9分
由⎩⎪⎨⎪⎧
x 24+y 23=1y =kx
消去y ,并整理得x 2=123+4k 2
,
|AB |=1+k 2
|x 3-x 4|=4
3(1+k 2)
3+4k 2
,11分
∴|AB |2
|MN |=48(1+k 2)3+4k 212(k 2+1)
3+4k 2
=4为定值.12分
7、(2009重点中学联考盟校一模)已知椭圆
22
110036
x y +=的左右顶点分别为A 1,A 2,是椭圆上不同于的动点,直线P A 1、PA 2与右准线分别交于M 、N 。
(1)求证:OM ON ⋅为定值;
(2)求证:以MN 为直径的圆与x 轴交于两个不同的定点,并求这两点的坐标;
(3)当以MN 为直径的圆的面积最小时,在焦三角形PF 1F 2中,求1221
12
sin sin sin PF F PF F F PF ∠-∠∠的值。
解:(1)
由题意知:,()()1210,010,0A A -、,设()00,P x y , 则直线1PA 的方程为()001010y y x x =
++ 直线2PA 的方程为()001010
y
y x x =-+。
则122525,,22M y N y ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
、,01045102y y x =
⨯+,0205102y y x =⨯- 222200001222003645581
1,10010010010041004
x y y y y y x x ⨯+=∴=∴=⨯=--- 则可得2
122562581136244OM ON y y ⎛⎫⋅=+=-= ⎪
⎝⎭
(2)以MN 为直径的圆的方程为:2
2
2
121225222y y y y x y ++⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
令()()2
1225810,181724y x y y x ⎛
⎫=-=-=∴= ⎪
⎝
⎭由知或 即此圆与x 轴的交点为与()28,0F 与()17,0Q (均为定点),得证。
(1) 以MN 为直径的圆的面积最小,则2F Q 也为直径 从而得001200455
0,0102102
y y y y x x +=⨯+⨯=+-即
0008y x ≠=,解得。