第十章 灰色关联分析法

如果对 X (0) (k ) 作r次累加,用公式
x (k ) x ( r 1) (i)
(r ) i 1
k
(9-7)
则得到r次累加生成序列
X ( r ) (k ) x( r ) (1), x( r ) (2),, x( r ) (n)
由(9-7)式,可以得到递推关系式
k 1 i 1
第十章 灰色关联分析法

第一部分：简介 第二部分：基本原理 第三部分：主要内容 第四部分：研究方法 第五部分：应用
第一部分：灰色系统理论简介
一、产生背景 二、发展 三、基本概念
一、灰色系统理论产生的背景


人们在社会、经济活动或科学研究过程中，经常会 遇到信息不完全的情形。 请看下面的例子： 例1：在农业生产中，即使播种面积、种子、化肥、 灌溉条件等信息完全明确，但由于劳动力技术水平、 气候条件、市场行情等信息不明确，仍然难以准确 地预计出产量、产值； 例2：价格体系的调整或改革，常常因为缺乏民众心 理承受力的信息，以及某些商品价格变动对其它商 品价格影响的确切信息而步履维艰。
第三部分：灰色系统理论的主要内容


以灰色代数系统、灰色方程、灰色矩阵等为基 础的理论体系； 以灰色序列生成为基础的方法体系； 以灰色关联空间为依托的分析体系； 以灰色模型( GM) 为核心的模型体系； 以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、 优化为主体的技术体系。
第四部分：灰色系统理论的研究方法
2 (k ) (1,0.24,0.17,0.17,0.29,0.22,0.15,0.1,0.24,0.14,0.1,0.2,0.22,0.14,0.2,0.18.0.21,
0.1,0.22,0.16,0.21,0.13,0.13,0.23,0.17,0.19,0.14)
3 (k ) (1,0.26,0.17,0.2,0.32,0.19,0.16,0.11,0.23,0.18,0.1,0.27,0.25,0.16,0.24,0.22,0.23
X (0) (k ) x0 (1), x0 (2),, x(0) (n)
对X
( 0)


(9-6)
(k ) 作一次累加生成运算,用公式
X (1) (k ) x ( 0) (i)
i 1
k
得到一次累加生成序列
X (1) (k ) x(1) (1), x(1) (2),, X (1) (n)
试求 x ( 0) (k ) 的一次累加生成序列.
解: 按(9-6)式,可得到
X (1) (k ) {x(1) (1991 ), x(1) (1992 ), x(1) (1993 ),
x(1) (1994 ), x(1) (1995 ), x(1) (1996 )}
5.081 ,9.692,14.8097 ,24.1872 ,35.2446 ,46.297
Wk X k k 1,2,...,n
（2）确定各指标值对应的权重：
其中 Wk 为第k个评价指标对应的权重。
一、系统的灰色关联度分析方法
具体分析步骤：

（3）计算灰色关联系数 X 0 k X i k max max X 0 k X i k min min i k i k i k X 0 k X i k max max X 0 k X i k


x ( r ) (k ) x ( r 1) (i) x ( r 1) (k )
x( r ) (k 1) x( r 1) (k )
(9-8)
[例9-9]
某公司1991-1996年产品销售额(单位:万元)原始 数列为
X (0) (k ) 5.081 ,4.611 ,5.1177 ,9.3775 ,11.0574 ,11.0524
灰色系统理论揭示了灰色系统的表象明暗 统一原理、过程新旧交替原理、性质多成份统 一原理、信息部分性原理、结果非唯一性原理、 态度扬弃性原理和方法宽容性原理。其中主要 的是信息部分性原理和结果非唯一性原理。

信息部分性原理：是多与少和整体与局部辩 证统一的具体化。
第二部分：灰色系统理论的基本原理

结果非唯一性原理：揭示了计划具有可调性、 目标非唯一与可约束的统一、目标可接近、信 息可补充、方案可完善、关系可协调、思维可 多向、认识可深化、途径可优化、效果具有可 塑性。非唯一的求解过程，是定性和定量相结 合的过程；而对许多可能的解，需要补充信息、 定性分析，以确定一个或几个满意的解。
三、灰色系统理论的基本概念
灰色系统

定义：是介于信息完全知道的白色系统和一无 所知的黑色系统之间的过渡系统，是一门研究 信息部分清楚、部分不清楚并带有不确定性现 象的应用数学学科。
三、灰色系统理论的基本概念


灰色系统理论
定义：是从信息的非完备性出发研究和处理复杂系 统的理论，它不是从系统内部特殊的规律出发去讨 论，而是通过对系统某一层次的观测资料加以数学 处理，达到在更高层次上了解系统内部变化趋势、 相互关系等机制。 研究对象：“部分信息已知，部分信息未知”的 “小样本”、“贫信息”不确定性系统。
第四步,求出各种投入对商业收入的关联度
同样得出
r2=0.666,r3=0.648,r4=0.768,r5=0.72
r4>r5>r1>r2>r3
关联度排序是:
因此影响商业收入的主要因素是科技投入,其次 是交通投资
三、应用实例
[例] 2山西省汾河上游的输沙量与降雨径流的灰色关联分析 汾河是山西省的主要河流，在汾河下游距太原市100多公里 的西山修建了汾河水库。该水库不但对农业灌溉、防洪蓄水、 鱼类养殖等起着很大作用，并且还为太原市的用水提供了保证 。 建库以来，人们经常在考虑如何防止库容被泥沙淤塞，使水库 能长期有效为工农业生产与人民生活服务。 影响泥沙输入水库的因素较多，比如降雨量、径流量、植被 覆盖率等。在这些因素中哪些是主要的，哪些是次要的有待研 究和量化分析。
具体分析步骤：

（5）评价分析：根据灰色加权关联度的大小，对各 评价对象进行排序，可建立评价对象的关联序，关 联度越大其评价结果越好。
三、应用实例
[例 ] 1 某地区1989-1993年商业收入X0(t)固定 资产投资X1(t)，工业投资X2(t) 、农业投 资X3(t) 、科技投资X4(t) 、交通投资 X5(t) 的原始数据如表1所示，试做出各 种投资对商业收入的关联度分析
一、系统的灰色关联度分析方法
2、具体分析步骤：
（1）确定比较数列（评价对象）和参考数列（评价标准）； 设评价对象为m个，评价指标为n个，比较数列为：

Xi Xi k k 1,2,....,n
i 1,2,...,m
参考数列为：

X 0 X 0 k k 1,2,...,n
0.1,0.25,0.16,0.23,0.21,0.13,0.24,0.17,0.26,0.19)
பைடு நூலகம்
根据关联系数求关联度得 r1 0.41 （年径流量与输沙量的关联程度） r2 0.21（年平均降雨量与输沙量的关联程度） r3 0.23 （平均汛期降雨量与输沙量的关联程度）
相应的关联序为 r1 r3 r2 上述关联序表明对输沙量影响最大的是年径流量，其次是 汛期降雨量，再其次是平均年降雨量。 实际上，强度大的暴雨冲刷力大，难以被土壤吸收，从 而在地表形成径流，造成水土流失，引起河道泥沙流量的形成
一、系统的灰色关联度分析方法 二、灰色序列生成运算 三：GM(1，1) 模型
一、系统的灰色关联度分析方法
定义：是一种多因素统计分析方法，用灰色关联度来描述因素 间关系的强弱、大小和次序的。 基本思想：根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系 是否紧密，曲线越接近，相应序列之间的关联度就越大，反 之就越小。 优点：（1）对数据量没有太高的要求，即数据多与少都可以 进行分析； （2）它的数学方法是非统计方法，在系统数据资料较少和条件 不满足统计要求的情况下，更具有实用性； （3）不会出现定性分析结果与定量计算结果不符。
(0) ( x( r ) (k )) x( r ) (k )
( x (k )) ( x (k )) ( x (k 1))
一、灰色系统理论产生的背景

这就促使各种研究不确定性信息的理论及方法 逐步产生。
灰色系统理论是我国著名学者邓聚龙教授于 1982年提出的，是一种研究少数据、贫信息 不确定性问题的新方法。

二、灰色系统理论的发展



1989 年在英国创办的英文版国际学术刊物《灰色系 统学报》（The Journal of Grey System）已成为 《英国科学文摘》（SA）、《美国数学评论》（MR） 等重要国际文摘机构的核心期刊。 全世界有 300 余种学术期刊接受、刊登灰色系统论 文，美国计算机学会会刊、台湾《模糊数学通讯》、 系统与控制国际杂志 Kybernetes(SCI源期刊) 出版了 灰色系统专辑。 近年来，灰色系统理论发展较快，赢得了国际学术 界的肯定和关注。

三、灰色系统理论的基本概念


灰色系统理论
研究思路：对“部分”已知信息的生成、开发，提 取有价值的信息，从而实现对系统运行行为、演化 规律的正确描述和有效监控。即利用已知信息来确 定系统的未知信息，使系统由“灰”变“白”。 特点：对样本量没有严格的要求，不要求服从任何 分布。

三、灰色系统理论的基本概念


灰色系统理论
结论：社会经济等系统具有明显的层次复杂性，结 构关系的模糊性，动态变化的随机性，指标数据的 不完全性和不确定性。比如：由于技术方法、人为 因素等，造成各种数据误差、短缺甚至虚假现象即 灰色性。由于灰色系统的普遍存在，决定了灰色系 统理论具有十分广阔的发展前景。
第二部分：灰色系统理论的基本原理
而暴雨又大多在汛期，因此径流量是引起河道输沙的综合因 素，所以径流量大反映了雨强大，反映了水土保持较差，反映 了水土流失较严重，反映了汛期雨量较大。而汛期的降雨量可 能是雨强较大的的降雨量，也可能是雨强较小的降雨量。而平 均年降雨量则与雨强、水土保持、水土流失无直接关系。
二 、 序列的生成运算
① 累加生成运算(AGO) 设原有数据序列
原始序列 X (k ) 的曲线如图9-10,累加生成数列曲线如图 9-11.对比两曲线可知,经过累加生成后,原曲线的随机波动 被弱化,生成序列曲线变得比较平稳.对生成数列用模拟曲 线去逼近,可以提高逼近精度.
( 0)
② 累减生成运算(IAGO)
设 X ( r ) (k )为r次累加生成数列,对X ( r ) (k ) 作r次累减生成运 ( 0) (r ) (r ) (r ) 算,记作 ( x (k ))(r 0,1,2,), 其中 ( x (k )) 表示0次累减, 即没有累减.于是,有基本关系式
解:第一步,对原始数据作初值化处理,结果如表9-3
第二步,求母序列X0对各子序列Xi在各时刻的绝对差 △i(k)(i=1,2,3,4,5;k=1,2,3,4,5),计算结果如表9-4
于是得到最小绝对差△min=0,最大绝对差△max=1.45 第三步,取分辨系数ρ =0.5,计算各种投资与商业收入在 各时刻的关联系数,计算结果如表9-5
式中

i k 是比较数列
i
k
X i 与参考数列
X 0 在第k个评价指标上的相对差值。
（4）计算灰色加权关联度，建立灰色关联度 灰色加权关联度的计算公式为： 1 n ri Wk i k n k 1
ri 为第 i 个评价对象对理想对象的灰色加权关联度。 式中：
一、系统的灰色关联度分析方法
以输沙量为参考数列 x0 ，以年径流量为 x1，平均年降雨量为x2 平均汛期降雨量为 x3 则相应的关联系数序列如下：
1 (k ) (1,0.4,0.4,0.32,0.86,0.23,0.29,0.2,0.53,0.45,0.17,0.29,0.73,0.36,0.27,0.31,0.35
0.44,0.42,0.34,0.61,0.51,0.36,0.4,0.23,0.34,0.33)