第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式

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例3 （教材补充例题）已知抛物线与x轴交于点A（－1，0），B（1，0）并经过点M（0，1）， 求此抛物线的解析式. 分析：当抛物线与x轴有两个交点为（x1，0），(x2，0)时，二次函数y=ax2+bx+c可以转化为交 点式y=a(x-x1)(x-x2).因此当抛物线与x轴有两个交点为（x1，0），(x2，0)时，可设二次函数的解 析式为y=a(x-x1)(x-x2)，再把另一个点的坐标代入其中，即可解得a，求出抛物线的解析式. 解：因为抛物线与x轴的交点为A(－1，0)，B(1，0) ，所以设抛物线的解析式为y=a(x＋ 1)(x－1). 又因为点M( 0，1 )在抛物线上，所以a(0+1)(0-1)=1，解得a=-1. 故所求的抛物线解析式为y=-(x＋1)(x-1)，即y=－x2+1. 点拨：交点式y=a(x-x1)(x-x2)中， x1和x2分别是抛物线与x轴的两个交点的横坐标，这两个交点 关于抛物线的对称轴对称，则直线x= x1 x2 就是抛物线的对称轴.
解：（1）设此二次函数的解析式为y=ax2+bx+c. 将（0，3）、（﹣3，0）、（2，﹣5）代入y=ax2+bx+c，得
c 3， ___ 9a 3b 3 0 __， ___ 4a 2b 3 5 __ .
___ a 1 ____ ， 解得 ___ b 2 ____ ，
2
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（《名校课堂》22.1.4第2课时习题）已知一个二次函数的图象与x轴的两个交 点的坐标分别为(－1，0)和(2，0)，与y轴的交点坐标为(0，－2)，则该二次函 数的解析式为 y＝x2－x－2 .
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点拨：用待定系数法确定二次函数解析式的基本方法分四步完成： 一设、二代、三解、四还原. 一设:指先设出二次函数的解析式； 二代:指根据题中所给条件，代入二次函数的解析式，得到关于a、 b、c的方程组； 三解:指解此方程或方程组； 四还原:指将求出的a、b、c还原回原解析式中.
名
课
堂
流
学
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课
习
习校
踪固
堂
程
目 标
反讲 馈坛
训训 练练
小 结
22.1.4 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质
第2课时 用待定系数法求二次函数解析式
学习目 标
1.会用待定系数法求抛物线的解析式. 2.能熟练根据已知点坐标的情况，用适当的方法求二次函数的解析式.
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解：设所求二次函数为y=ax2+bx+c. 由已知，函数图象经过（-1，10），（1，4），（2，7）三点，得关于a，b， c的三元一次方程组
a b c 10,
,
4 a 2 b c 7 .
解这个方程组，得a=2，b=-3，c=5. 所求二次函数是y=2x2-3x+5.
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（《名校课堂》22.1.4第2课时习题）已知抛物线的顶点坐标是(3，－1)，与y
1
轴的交点是(0，－4)，则这个二次函数的解析式是 y＝－3 (x－3)2－1 .
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a b
= 2， =-3，
c 1，
c 1 .
∴二次函数的解析式为y＝2x2－3x＋1.
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例2 （教材补充例题） 已知抛物线的顶点坐标为（－1，－3），与y轴的交点为（0，－5）， 求此抛物线的解析式. 分析：若已知抛物线的顶点坐标和抛物线上的另一个点的坐标时，通常设函数的解析式为顶 点式y=a(x-h)2+k. 解：因为抛物线的顶点为（-1，-3），所以，设所求的二次函数的解析式 为 y=a(x＋1)2-3. 因为点（0，-5 ）在这个抛物线上，所以a-3=-5，解得a=-2. 故所求的抛物线解析式为y=－2(x＋1)2-3，即y=－2x2-4x－5. 点拨：特别地，当抛物线的顶点为原点是，h=0，k=0，可设函数的解析式为y=ax2； 当抛物线的对称轴为y轴时，h=0，可设函数的解析式为y=ax2+k； 当抛物线的顶点在x轴上时，k=0，可设函数的解析式为y=a(x-h)2.
预习反 馈
1.已知一次函数的图象经过点（-1，2）和（-3，4），则这个一次函数的解析式为 y=-x+1 .
2.已知二次函数y=2x2+bx+c的图象经过A（0，1）、B（-2，1）两点，则该函数的解析式是 y=2x2+4x+1 .
3.补全下列解答过程： 已知二次函数的图象经过点（0，3）、（-3，0）、（2，-5），试确定此二次函数的解析式.
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（《名校课堂》22.1.4第2课时习题）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝0 时，y＝1；当x＝－1时，y＝6；当x＝1时，y＝0.求这个二次函数的解析式.
a b c 0，
解：由题意，得 a b c 6， 解得
c 3.
∴此二次函数的解析式是 y=﹣x2﹣2x+3 .
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例1 （教材P39探究）如果一个二次函数的图象经过（-1，10），（1，4），（2，7）三个点， 能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式.
分析：确定一次函数，可用待定系数法，求出k，b的值，从而确定一次函数解析式.类似的，我 们可以写出这个二次函数的解析式y=ax2+bx+c，求出a，b，c的值.由不共线三点（三点不在同 一直线上）的坐标，列出关于a，b，c的三元一次方程组就可以求出a，b，c的值.
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